2022年变量与函数的概念教案 .docx

精品_精品资料_其次章函数§2.1函数2.1.1函数第 1 课时变量与函数的概念【学习要求】1. 通过丰富实例,加深对函数概念的懂得,学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用2. 明白构成函数的三要素3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填：学问要点、登记疑难点1. 函数的概念： 设集合 A 是一个非空的数集 ,对 A 中的任意数 x,依据确定的法就 f ,都有唯独确定的数 y 与它对应,就这种对应关系叫做集合 A 上的一个 函数. 记作 yfx , x A. 其中 x 叫做自变量,自变量的取值范畴 数集 A叫做这个函数的 定义域.2. 区间概念： 设 a,bR,且 a<b.(1) 满意 axb 的全体实数 x 的集合,叫做闭区间,记作 a ,b (2) 满意 a<x<b 的全体实数 x 的集合,叫做开区间,记作 a ,b (3) 满意 ax<b 或 a<xb 的全体实数 x 的集合,叫做半开半闭区间,分别记作a ,b 或a , b (4) 满意 xa, x>a,xa, x<a 的全体实数 x 的集合分别表示为 a , ,a , , , a , , a .研一研：问题探究、课堂更高效 问题情境 中学是用运动变化的观点对函数进行定义,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示 出函数概念的本质对于y1x R是不是函数,假如用运动变化的观点去看它,就不好说明, 显得牵强但假如用集合与对应的观点来说明,就非常自然因此,用集合与对应的思想来懂得 函数,对函数概念的再熟悉,就很有必要探究点一变量与函数的概念问题 1阅读教材 29 30 页中的 1 , 2 ,3 ,4 四个函数关系的例子,指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的对应关系采纳什么形式表达的？答：在上面的每个例子中,都指出了自变量的变化范畴、由自变量确定因变量的对应法就,以及由此确定的因变量的取值范畴例子1 和2 中的两变量关系通过图象的形式表达的,例子3 中的变量间的关系通过列表的形式表达的,例子 4 中的变量间的关系通过关系式表达的问题 2从上述的四个例子中,你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量？ 答：一个函数关系必需涉及到两个数集和一个对应法就问题 3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点？答：共同特点是：对于集合 A 中的任意一个数 x,依据确定的对应法就 f ,都有唯独确定的数 y 和它对应问题 4确定一个函数最少需要几个要素？为什么？答：最少需要两个要素：定义域和对应法就由于函数的值域被函数的定义域和对应法就完全确定问题 5如检查给定两个变量之间是否具有函数关系,只须检查什么？答： 1 定义域和对应法就是否给出.(2) 依据给出的对应法就,自变量 x 在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯独的函数值y.例 1对于函数 yfx,以下说法正确的有 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y是 x 的函数.对于不同的 x,y 的值也不同.fa 表示当 xa 时函数 fx 的值,是一个常量. fx 肯定可以用一个详细的式子表示出来A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个解读：正确,是错误的,对于不同的x, y 的值可以相同,这符合函数的定义,是错误的, fx表示的是函数,而函数并不是都能用详细的式子表示出来 小结：1 在 yfx中 f 表示对应法就,不同的函数其含义不一样.(2) fx不肯定是解读式,有时可能是“列表”、“图象”.(3) fx与 fa 是不同的,前者为变数,后者为常数跟踪训练 1以下函数中哪个与函数 yx 相等？22332x1y x .2y x . 3y x .4y x .2解： 1y x xx 0 ,y0,定义域不同且值域不同,所以两函数不相等.33(2) y x xx R ,y R,对应法就相同,定义域和值域都相同,所以相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) y x2|x| x,x0 x, x<0,y0.值域不同,且当x<0 时,它的对应法就与函数yx 不相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同,所以不相等.2x(4) y x 的定义域为 x|x 0 ,与函数 yx 定义域不相同,所以不相等探究点二区间的概念问题 1阅读教材 31 页下半段,然后回答区间的概念是如何定义的？ 答：设 a,bR,且 a<b,(1) 满意 axb的全体实数 x 的集合,叫做闭区间,记作 a ,b (2) 满意 a<x<b 的全体实数 x 的集合,叫做开区间,记作 a ,b (3) 满意 ax<b 或 a<xb的全体实数 x 的集合,叫做半开半闭区间,分别记作a ,b 或a ,b 问题 2实数集 R及 xa, x>a,xb, x<b 如何用区间表示？答：实数集 R可以用区间 , 表示.xa, x>a,xb, x<b 分别用区间表示为：a , ,a , , , b , , b 问题 3在数轴上如何表示区间 a , b 、a ,b 、a ,b 、a ,b 、a , 、a , .答： 如下列图：a,b 叫做区间的端点,在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数,用实心点表示,不属于这个区间端点的实数,用空心点表示 探究点三求函数的定义域导引在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就商定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合问题 1对于一个确定的函数关系式,我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域？答： 1 分母不为零.(2) 偶次根式的被开方数非负.(3) 如函数由几部分构成,就定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(4) 假如是实际问题,除应考虑解读式本身有意义外,仍应考虑实际问题有意义 问题 2在中学已学函数的定义域和值域是怎样的？答： 一次函数 fx axba 0 ：定义域为 R, 值域为 R.k2反比例函数fxx k 0 ：定义域为 x|x 0,值域为 y|y 0 .二次函数 fx ax bxca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4acb0 ：定义域为 R,值域为当 a>0 时,2y|y4a2.当4ac ba<0 时,.y|y4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求以下函数的定义域：111fxx .2fx 3x2. 3fx x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 1 x2时,分式1有意义,x22x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个函数的定义域是 x|x 2 22 3x20,即 x 3时,根式 3x2才有意义,2这个函数的定义域是 x|x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 要使函数有意义,必需x10.2x0x 1.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个函数的定义域是 x|x 1 且 x2 小结：求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取值范畴1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_跟踪训练 2求函数 fx的定义域x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 要使已知函数有意义,当且仅当x 1>0.所以,这个函数的定义域是 x|x> 1 , 即 1, 探究点四求函数值和值域1例 3求函数 fxx21 x R,在 x0,1,2处的函数值和值域1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f0 021,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简单看出,这个函数当 x 0 时,函数取得最大值1,当自变量 x 的肯定值逐步变大时,函数值逐步变小至趋向于 0,但永久不会等于 0. 于是可知这个函数的值域为 0,1 小结：1fa表示 xa 时函数 fx 的值,而 fx是一个函数 2 由于函数的定义域和值域都是一个集合,在求函数定义域和值域的时候,要把定义域和值域写成集合的形式,所以常用两种方法表示：集合、区间跟踪训练 3求以下函数的值域1y 2x1,x1,2,3,4. 2y x1.解： 1 值域为3,5,7,9.2 x0, x11,值域为 1 , 2例 41 已知函数 fxx ,求 fx 1 .22 已知函数 fx 1 x ,求 fx22解： 1fx1 x 1 x 2x1.2 由于 fx 1 x2x 1 1 2 2x 1 2x 1 1.22所以 ftt 2t 1,即 fx x 2x1.222小结：函数 fxx ,即 xx,表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值,所以xx 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222yy,t t,uu,都表示同一个函数关系fx 1 表示自变量 x 用代数式 x 1 代替后得到2的新函数跟踪训练 41 已知函数 fx的定义域为 0,1 ,求 fx 的定义域2 已知函数 f2x 1 的定义域为 0,1 ,求 fx的定义域 解： 1 fx 的定义域为 0,1 ,22要使 fx 有意义,须使 0<x <1,即 1<x<0 或 0<x<1,2函数 fx 的定义域为 x| 1<x<0 或 0<x<1 2 f2x 1 的定义域为 0,1 ,即其中的函数自变量 x 的取值范畴是 0<x<1,令 t 2x1,1<t<3 ,ft的定义域为 1<t<3 ,函数 fx的定义域为 x|1<x<3.练一练：当堂检测、目标达成落实处1. 以下说法中,不正确选项 A函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B函数的定义域和值域肯定是无限集合 C定义域和对应法就确定后,函数值域也就确定 D如函数的定义域只有一个元素,就值域也只有一个元素解读：由于函数的关系可以用列表的方法表示,有些用列表法表示的函数其定义域和值域都不是无限集合,应选项B 错2. 以下关于函数与区间的说法正确选项 A函数定义域必不是空集,但值域可以是空集 B函数定义域和值域确定后,其对应法就也就确定了C数集都能用区间表示 D函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应解读：函数的值域不行能为空集,故A错.当两函数的定义域和值域分别相同时,但两函数的对应法就可以不同,故B 错. 由于整数集没法用区间表示,故C错所以选 D.3. 已知函数 f 1x x,求 f2 的值1x1x1解： 由1x2,解得 x 3,13所以 f2 .课堂小结：1. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系由于函数的定义域和对应法就一经确定, 值域随之确定,所以判定两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法就一样即可.2. fx是函数符号, f表示对应法就, fx表示 x 对应的函数值,肯定不能懂得为f与 x 的乘积在不同的函数中f的详细含义不同,由课本的四个实例可看出对应法就可以是解读式、图象、表格等函数除了可用符号fx表示外,仍可用 gx ,Fx 等表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载