2022年抽象函数奇偶性对称性周期性总结知识点 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx 关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx （3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx 关于点（ a,0）中心对称,就以下三个式子成立且 等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx （3）f2a x f x 易知, yfx 为偶（或奇）函数分别为性质2、复合函数的对称性1（或 2）当 a0 时的特例；性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ba）/2 轴对称 性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中 心对称 推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称3、函数的对称性与周期性 性质 5 如函数 yfx 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx 必 为周期函数,且 T2|a b| 性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函 数 fx 必为周期函数,且 T2|a b| 性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴 对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T4|a b| 例 1、 函数 yfx 是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 yf6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称 C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1,0）对称解：据复合函数的对称性知函数y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 64）/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选 D；（原卷错选为 C）练习、（河南省郑州市 20XX 年高中毕业班第一次质量猜测数学（理）定义在 R上的函数 f x 的反函数为 f 1 x,且对于任意 x R,都有 f x f x 3,就f 1 x 1 f 14 x （）A0 B2 C2 D 2 x 4答案： A名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一. 概念 : 抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像 , 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数 , 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值 , 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点 , 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能 1 、周期函数的定义：对于 f x 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f x T f x 恒成立,就称函数 f x 具有周期性, T 叫做 f x 的一个周期, 就 kT（k Z k 0）也是 f x 的周期,全部周期中的最小正数叫 f x 的最小正周期；分段函数的周期：设 y f x 是周期函数,在任意一个周期内的图像为 C:y f x , x a , b , T b a；把 y f x 沿 x 轴平移 KT K b a 个单位即按向量a kT , 0 平移,即得 y f x 在其他周期的图像：y f x kT , x kT a , kT b；f x x a, bf x f x kT x kT a, kT b2、奇偶函数：设yffx ,xfa ,b或xyfb ,aa ,b如x fx ,就称fx 为奇函数；如fx x 就称yx 为偶函数；分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：名师归纳总结 点A x ,y 与B 2ax , 2 by 关于点a ,b 对称；关 于第 2 页,共 11 页点A ax,by 与Bax ,by 关于a ,b 对称；函数yfx 与 2 byf2 ax 关于点a ,b 成中心对称；函数byfax 与byfax 关于点a ,b 成中心对称；函数F（x ,y 0 与F 2 ax , 2 by 0 关于点a ,b 成中心对称；（2）轴对称：对称轴方程为：AxByC0；点A x ,y与Bx/,y/B x2AAxByC,y2BAxByCA2B2A2B2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线AxByC0 成轴对称；学习必备欢迎下载函数yCfx 与y2BAxByC,yfxB2A AxByC关于直线A2B2A2B2AxBy0成轴对称；Fx,yC0 与Fx2A AxByC2AxByC0关于直线A2B2A2B2AxBy0成轴对称；二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yfx图象本身的对称性（自身对称）2x ,就如fxaf xb ,就f x 具有周期性；如f axf bf x 具有对称性：“ 内同表示周期性,内反表示对称性”；b对称1、faxfbx yf x图象关于直线xax 2bxa推论 1：fax faxyfx的图象关于直线xa对称推论 2、fxf2 axyfx的图象关于直线xa对称推论 3、fx f2 axyf x 的图象关于直线xa对称2、faxfbx2cyfx的图象关于点a2b,c对称推论 1、fax fax2byfx的图象关于点a ,b对称推论 2、fxf2 ax2 byfx的图象关于点a ,b对称推论 3、fx f2ax2 byf x的图象关于点a,b对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）程懂得）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方名师归纳总结 1、偶函数yfx与yf x图象关于 Y 轴对称x 对称第 3 页,共 11 页2、奇函数yfx与yf x图象关于原点对称函数3、函数yf x 与yf x 图象关于 X 轴对称f x 与函数yf1 x 图象关于直线 y4、互为反函数y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 函数yfax与yfbx学习必备欢迎下载xb2a对称图象关于直线推论 1: 函数yfax与yfaxx图象关于直线x0对称推论 2: 函数yfx与yf2aa图象关于直线xa对称推论 3: 函数yf x与yf2x 图象关于直线xa对称（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx 关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx （3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx 关于点（ a,0）中心对称,就以下三个式子成立且 等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx （3）f2a x f x 易知, yfx 为偶（或奇）函数分别为性质 2、复合函数的奇偶性1（或 2）当 a0 时的特例；定义 1、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg x fgx,就复数函数 yfgx 为偶函数；定义 2、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg x fgx,就复合函数 yfgx 为奇函数；说明：（1）复数函数 fgx 为偶函数,就 fg x fgx 而不是 f gxfgx,复合函数 yfgx 为奇函数,就 fg x fgx 而不是f gx fgx；（2）两个特例： yfx a 为偶函数,就 fx a f xa ；yfxa 为奇函数,就 f xa fa x （3）yfx a 为偶（或奇）函数,等价于单层函数 yfx 关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a,0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称4、函数的周期性名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如 a 是非零常数,如对于函数 yfx 定义域内的任一变量 x 点有以下条件 之一成立,就函数 yfx 是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期；fx a fx a fx a fx fx a 1/fx fx a 1/fx 5、函数的对称性与周期性 性质 5 如函数 yfx 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx 必 为周期函数,且 T2|a b| 性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx 必为周期函数,且T2|a b| xb 轴2 nk性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线对称,就函数 fx 必为周期函数,且T4|a b| 6、函数对称性的应用（1）如yfx 关于点（h ,k 对称,就xx/2 h ,yy/2 k, 即fxfx/fx f2 hx2 kfx 1fx2fxnf 2hx nf2 hx n1f2 hx 1（2）例题 1、fx axaxa关于点（1,12）对称：fx f 1x 1 ; 2fx4xx112x1 关于（0,1）对称：fxfx 2112fxx11R ,x0 关于（11,2）对称：f（xf2x 2、奇函数的图像关于原点（0,0）对称：fxfx0； 3、 如fx f2 ax 或fax fax ,就yfx的 图 像 关 于 直 线xa对称；设fx0 有n 个不同的实数根,就2 axnna. x 1x 2x nx 1 2 ax 1x 22 ax 2x n22 当n2k1 时,必有x 12 ax 1,x 1a（四）常用函数的对称性名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、函数周期性的几个重要结论1、fxTf x T0 yf x 的周期为 T ,kT kZ 也是函数的周期2、f xafxbyfx的周期为Tba2ba3、fxafx yfx的周期为T2a4、fxa f1yfx 的周期为T2 ax 5、fxa f1yfx 的周期为T2ax6、fxa1fx yfx的周期为T3 a1fx 7、fxaf11yfx的周期为T2 ax8、fxa1fx yfx的周期为T4 a1fx 9、fx2a fxafxyfx的周期为T6a10、如p0 ,fpxfpxp,就Tp.2211、yfx有两条对称轴xa和xbbayfx周期T推论：偶函数yfx满意faxfaxyfx周期T2afx周 期12 、yfx有 两 个 对 称 中 心a,0和b ,0 bayT2 ba4 af x 的推论：奇函数yfx满意faxfaxyfx周期T13 、yfx有 一 条 对 称 轴xa和 一 个 对 称 中 心b,0baT4 ba四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型敏捷应用函数奇偶性、周期性与对称性,可奇妙的解答某些数学问题,它对名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载训练同学分析问题与解决问题的才能有重要作用 型；1. 求函数值. 下面通过实例说明其应用类例 1.（1996 年高考题）设 f x 是 , 上的奇函数,f 2 x f x , 当0 x 1 时,f x x,就 f 7 . 5 等于（ -0.5 ）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例 2（1989 年北京市中同学数学竞赛题）已知 f x 是定义在实数集上的函数,且 f x 2 1 f x 1 f x ,f 1 2 3 , 求 f 1989 的值. f 1989 3 2；2、比较函数值大小1较f例 3. 如fx x、R 是以 2 为周期的偶函数, 当x1,0时,fx x1998,试比f10198、f104的大小 . 1917151解：fxxR是以 2 为周期的偶函数,又14fx x1998在1,0上是增函数,且0116141,f1f16f,即f101f98f104.1719151719151719153、求函数解析式,上且以 2 为周期的函例 4. （1989 年高考题）设fx是定义在区间x数,对kZ,用kI 表示区间2k,12k1 ,已知当0I时,fx x2.求f x在kI 上的解析式 . 名师归纳总结 解：设x2k,12 k1 ,2 k1x2k11x2k12. 第 7 页,共 11 页xI0时,有fx x2,由1x2 k1 得fx2 kx2k 2fx是以 2 为周期的函数,fx2 kfx,fxx2 k 例 5设fx是定义在,上以 2 为周期的周期函数, 且fx是偶函数,在区间,23上,fx 2 x3 24 .求x,1 2时,fx的解析式 . 解：当x,32,即x2 3,fx fx 2 x3242 x324- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又fx 学习必备欢迎下载x,12,即3x42时,是以 2 为周期的周期函数,于是当有fx fx4 3242 x1 24 1x2 .fx 2x4fx 2 x124 1x2 .4、判定函数奇偶性例 6. 已知 f x 的周期为 4,且等式 f 2 x f 2 x 对任意 x R 均成立,判定函数 f x 的奇偶性 . 解：由 f x 的周期为 4,得 f x f 4 x ,由 f 2 x f 2 x 得f x f 4 x ,f x f x , 故 f x 为偶函数 . 5、确定函数图象与 x 轴交点的个数例 7. 设函数 f x 对任意实数 x 满意 f 2 x f 2 x ,f 7 x f 7 x 且 f 0 ,0 判定函数 f x 图象在区间 30 , 30 上与 x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数 f x 图象关于直线 x 2 和 x 7 对称,又由函数的性质得f x 是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间 ,0 10 上,f 0 ,0 f 4 f 2 2 f 2 2 f 0 0 且 f x 不能恒为零 ,故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点 . 而区间 30 , 30 有 6 个周期,故在闭区间 30 , 30 上 f x 图象与 x轴至少有13 个交点 . 6、在数列中的应用名师归纳总结 算例 8. 在数列an中,a 13,an1a n1n42 ,求数列的通项公式,并计第 8 页,共 11 页1a n1a 1a 5a 9a 1997.2 思路类似 . tg分析：此题的思路与例1a 11tg解：令a 1tg,就a21a 11tg- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 31a21tg4学习必备4欢迎下载tg21a21tg4a n 1 tg n 1 , 于是 a n 1 a n 1tg n 14 1 a n 1 4不难用归纳法证明数列的通项为：an tg n ,且以 4 为周期 . 4 4于是有 1,5,9 1997 是以 4 为公差的等差数列,a 1 a 5 a 9 a 1997,由 1997 1 n 1 4 得总项数为 500 项,a 1 a 5 a 9 a 1997 500 a 1 500 .37、在二项式中的应用例 9. 今日是星期三,试求今日后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的绽开式后, 利用一周为七天这个循环数来进行运算即可. 解：92 92 911 920 C 9292 91C191 9190 C 922 91C91911929292 92 7131 92C0713 921 C 92713 9190 C 92713 292C91 713 11,即为余数,92由于绽开式中前 92 项中均有 7 这个因子,最终一项为故9292天为星期四 . 8、复数中的应用名师归纳总结 n z例 10.（上海市 1994 年高考题）设z13ii是虚数单位,就满意等式第 9 页,共 11 页22,z且大于 1 的正整数 n 中最小的是（D）7. （A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；分析：运用z13i方幂的周期性求值即可 . 22解：n zz ,z n z110n z11,z3,1n1 必需是3 的倍数, 即n13 k kN,n3 k1kN.k1 时,n 最小 , n min4 . 故挑选B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载9、解“ 立几” 题例 11.ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 是单位长方体,黑白二蚁都从点 A 动身,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“ 走完一段”；白蚁爬行的路线是 AA 1 A 1 D 1 , 黑蚁爬行的路线是 AB BB 1 . 它们都遵循如下规章：所爬行的第 i 2 段所在直线与第 i 段所在直线必需是异面直线（其中 i N . 设黑白二蚁走完第 1990 段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2 ；（C）3；（D）0. 解：依条件列出白蚁的路线 AA 1 A 1 D 1 D 1 C 1 C 1 C CBBA AA 1 , 立刻可以发觉白蚁走完六段后又回到了 A 点. 可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点,可以判定每六段是一个周期 . 1990=6 331 4,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难运算出在走完四段后黑蚁在 D 点,白蚁在 C点,故所求距离是 2 .例题与应用例 1： fx 是 R上的奇函数 fx= fx+4 ,x0 ,2 时 fx=x ,求f2007 的值例 2：已知 fx 是定义在 R上的函数,且满意 fx+21fx=1+fx,f1=2 ,求 f2022 的值 ；故 f2022= f251× 8+1=f1=2 例 3：已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当 x 0,2 时,fx= 2x+1,就当 x 4 6, 时求 fx 的解析式1例 4：已知 fx 是定义在 R上的函数,且满意 fx+999=,f999+x=f999f x x , 试判定函数 fx 的奇偶性 . 例 5：已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当 x 0,2 时,fx 是减函数,求证当 x 4 6, 时 fx 为增函数例 6： fx 满意 fx =-f6-x,fx= f2-x,如 fa =-f2000,a5 ,9 且 fx 在5 ,9 上单调 . 求 a 的值 . 名师归纳总结 例 7：已知 fx 是定义在 R上的函数, fx= f4x ,f7+x= f7第 10 页,共 11 页x,f0=0,求在区间 1000,1000 上 fx=0至少有几个根？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：依题意 fx 关于 x=2,x=7 对称,类比命题 期是 10 2（2）可知 fx 的一个周故 fx+10=fx f10=f0=0 又 f4=f0=0 即在区间 0 ,10 上,方程 fx=0 至少两个根又 fx 是周期为 10 的函数,每个周期上至少有两个根,2000因此方程 fx=0 在区间 1000,1000 上至少有 1+ 2 =40110个根 . 例 1、 函数 yfx 是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 yf6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1,0）对称解：据复合函数的对称性知函数y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 64）/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选D；（原卷错选为C）例 2、 设 fx 是定义在 R上的偶函数,其图象关于 是周期函数；（ 20XX年理工类第 22 题）x1 对称,证明 fx例 3、 设 fx 是（,）上的奇函数, fx 2 fx ,当 0x1 时 fx x,就 f7.5 等于（ -0.5 ）（1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 fx 是定义在 R上的函数,且满意x f20 x ,就 fx 是（ C ）f10 x f10 x ,f20A偶函数,又是周期函数 B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 六、巩固练习 D奇函数,但不是周期函数1、函数 yfx 是定义在实数集R上的函数,那么y fx 4 与 yf6 x 的图象（）；A关于直线 x5 对称 C关于点（ 5,0）对称B关于直线 x1 对称 D关于点（ 1,0）对称时,0.5 x ,2、设 fx 是（,）上的奇函数,fx 2 fx ,当 0x1fx x,就 f7.5=（）；A0.5 BC1.5 D 1.5 3、设 fx 是定义在（,）上的函数,且满意f10 x f10 f20 x f20 x ,就 fx 是（）；数；A偶函数,又是周期函数 C奇函数,又是周期函数 4、fx 是定义在 R上的偶函数,图象关于B偶函数,但不是周期函数 D奇函数,但不是周期函数 x1 对称,证明 fx 是周期函参考答案： D,B,C,T2；名师归纳总结 5、在数列 中,已知x 1x 21,x n2x n1x nnN*,求x 100=-1第 11 页,共 11 页- - 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