2022年排列组合知识点与方法归纳 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载排列组合学问点与方法归纳一、学问要点1. 分类计数原理与分步运算原理（1）分类运算原理（加法原理）：完成一件事,有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 种不同的方法,在其次类办法中有 m2种不同的方法, ,在第 n 类方法中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法；（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有m2 种不同的方法, ,做第n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1× m2× × m n种不同的方法；2.排列（1）定义叫做从 n 个不从 n 个不同元素中取出m（）个元素的全部排列的个数,同元素中取出m个元素的排列数,记为 . （2）排列数的公式与性质a排列数的公式： =n （n-1 ）（ n-2 ） （ n-m+1） =特例：当 m=n时, =n ！=n（ n-1 ）（ n-2 ） × 3× 2× 1规定： 0！=1 b排列数的性质：（）（） =（）名师归纳总结 3.组合定义第 1 页,共 5 页（1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a从 n 个不同元素中取出学习必备欢迎下载个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合b 从 n 个不同元素中取出 个元素的全部组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数,用符号 表示；（2）组合数的公式与性质a 组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例：4.b组合数的主要性质：（）（）排列组合的区分与联系（1） 排列与组合的区分在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且仍与取出元素的次序有关；因此,所给问题是否与取出元素的次序有关,是判定这一问题是排列问题仍是组合问题的理论依据；（2）留意到获得（一个）排列历经“ 获得（一个）组合” 和“ 对取出元素作全排列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系：二、经典例题名师归纳总结 例 1、某人方案使用不超过500 元的资金购买单价分别为60、70 元的单片软件和盒装第 2 页,共 5 页磁盘,要求软件至少买3 片,磁盘至少买2 盒,就不同的选购方式是（）A .5 种 B.6 种 C. 7种 D. 8种解：留意到购买3 片软件和2 盒磁盘花去320 元,所以,这里只争论剩下的180 元如何使用,可从购买软件的情形入手分类争论：第一类,再买3 片软件,不买磁盘,只有1种方法；其次类,再买2 片软件,不买磁盘,只有1 种方法；第三类,再买1 片软件,再买1 盒磁盘或不买磁盘,有2 种方法；第四类,不买软件,再买 2 盒磁盘、 1 盒磁盘或不买磁盘,有3 种方法；于是由分类计数原理可知,共有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - N=1+1+2+3=7种不同购买方法,应选学习必备欢迎下载C；例 2、在 中有 4 个编号为 1,2,3,4 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同 的涂法？解：依据题意,有相邻边的小三角形颜色不同,但“ 对角” 的两个小三角形可以是相同颜色,于是考虑以对角的小三角形 分步运算；1、4 同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中第一类： 1 与 4 同色,就 1 与 4 有 5 种涂法, 2 有 4 种涂法, 3 有 4 种涂法,故此时有 N1=5× 4× 4=80 种不同涂法；其次类： 1 与 4 不同色,就1 有 5 种涂法, 4 有 4 种涂法, 2 有 3 种涂法, 3 有 3 种涂法,故此时有 N2=5× 4× 3× 3=180 种不同涂法；综上可知, 不同的涂法共有80+180=260种；例 3、用数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字4 位数,其中,必含数字2 和 3,并且2 和 3 不相邻的四位数有多少个？解：留意到这里“0” 的特别性,故分两类来争论；第一类：不含“0” 的符合条件的四位数,第一从 1,4,5 这三个数字中任选两个作排列有 种；进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,又有 种排法,于是由分步计数原理可知,不含 0 且符合条件的四位数共有 =36 个；其次类：含有“0” 的符合条件的四位数,留意到正面考虑头绪较多,故考虑运用“ 间接法” ：第一从 1,4,5 这三个数字中任选一个,而后与 0,2,3 进行全排列,这样的排列共有 个；其中,有如下三种情形不合题意,应当排险：名师归纳总结 （1）0 在首位的,有个；个个 =30 个第 3 页,共 5 页（2）0 在百位或十位,但2 与 3 相邻的,有（3）0 在个位的,但2 与 3 相邻的,有因此,含有0 的符合条件的四位数共有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载于是可知,符合条件的四位数共有 36+30=66 个例 4、某人在打靶时射击 8 枪,命中 4 枪,如命中的 4 枪有且只有 3 枪是连续命中的,那么该人射击的 8 枪,按“ 命中” 与“ 不命中” 报告结果,不同的结果有（）A.720 种 B.480 种 C.24 种 D.20 种分析： 第一,对未命中的 4 枪进行排列, 它们形成 5 个空挡,留意到未命中的 4 枪“ 地位公平” ,故只有一种排法,其次,将连中的 3 枪视为一个元素,与命中的另一枪从前面 5个空格中选 2 个排进去, 有 种排法,于是由乘法原理知, 不同的报告结果菜有种；例 5、（1）,就 n= ；（2）如；（3）,就 n 的取值集合为（4）如（5）方程的解集为；解：（1）留意到 n 满意的条件原式 = =（ 2 ） 运 用 杨 辉 恒 等 式 , 已 知 等 式所求 n=4；（3）依据杨辉恒等式名师归纳总结 原式 = =第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =学习必备欢迎下载（4）留意到这里n 满意的条件* n5 且 nN在之下,原不等式由、得原不等式的解集为 5 ,6,7, , 11 （5）由留意到当y=0 时,无意义,原方程组可化为由此解得 经检验知是原方程组的解；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
