2022年指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点（一）指数与指数函数1根式（1）根式的概念（2）两个重要公式nnanna|a aa0n 为奇数；|an 为偶数a0aa（留意 a 必需使n a 有意义）；2有理数指数幂（1）幂的有关概念m正数的正分数指数幂:annam a0,m、nN,且n1;n1正数的负分数指数幂N,且: am1n1m a0,m、nnma0 的正分数指数幂等于an0,0 的负分数指数幂没有意义.注： 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算；（2）有理数指数幂的性质a ra s=a r+sa>0,r 、sQ; a r s=a rsa>0,r 、sQ; abr=a rb sa>0,b>0,r Q;. 3指数函数的图象与性质名师归纳总结 y=ax a>1 0<a<1 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点图象定义域 R 值域（0,+）性质（1）过定点（ 0,1）（2）当 x>0 时, y>1; 2 当 x>0 时, 0<y<1; x<0 时,0<y<1 x<0 时, y>1 3在（ -,+）上是增函数（3）在（ -,+）上是减函数注： 如下列图,是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x 的图象,如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,c>d>1>a>b ；即无论在轴的左侧仍是右侧,底数按逆时针方向变大；（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义假如axN a0 且a1,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作xlogaN,其中 a叫做对数的底数,N 叫做真数；（2）几种常见对数对数形式特点0, 且a1记法N一般对数底数为 aaloga常用对数底数为 10 lg N自然对数底数为 e ln N2、对数的性质与运算法就（1）对数的性质（a0, 且a1）：loga10, logaa 1,g oalaNN , logaaNN ；（2）对数的重要公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 换底公式：logbNlogaN学习必备精品学问点1, N0；b , a b 均为大于零且不等于logalogab1a；logb（3）对数的运算法就：假如a0,且a1,M0,N0那么logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaNNlogaMnnlogaMnR ；logambnnlogab；m3、对数函数的图象与性质a10a1图 象性（1）定义域：（0,+）质（2）值域： R （3）当 x=1 时, y=0 即过定点（ 1,0）（4）当 0x1时,y,0；（4）当x1时,y,0；当x1时,y0,当 0x1时,y0,（5）在（ 0,+）上为增函数（5）在（ 0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a,b,c,d 与 1 的大小关系提示：作始终线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数；0<c<d<1<a<b. 4、反函数名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 指数函数 y=ax 与对数函数学习必备精品学问点y=x 对称；y=log ax 互为反函数,它们的图象关于直线（三）幂函数1、幂函数的定义 形如 y=x （aR）的函数称为幂函数,其中x 是自变量, 为常数注：幂函数与指数函数有本质区分在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置；2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y=x ,y1-1 方法：可画出x=x 0；x ,y=x1名师归纳总结 当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为y=x3,y=x2, y=x ,yx2, y=x-1；第 4 页,共 4 页当 0<x 0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为y=x-1,yx1,y=x , y=x2,y=x3 ；23、幂函数的性质y1y=x-1y=x y=x2y=x3x2定义域R R R 0,）x xR 且x0值域R 0,）R 0,）y yR 且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,）时,增；增增x0,+时,减；x ,0 时,减x-,0 时,减定点（1,1）- - - - - - -