2022年数列通项公式求法归纳 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列通项公式求法归纳高考数列问题第一问一般是对数列通项公式的求解。在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式求解往往是解决数列难题的瓶颈。方法，各位同学须熟练掌握。此文归纳出解数列通项公式求解的一般一、公式法若 已 知 数 列 的 前 n 项 和S n与an的 关 系 ， 求 数 列an的 通 项an可 用 公 式a nS 1S n1n1求解。S nn21求数列an的通项公式。【例 1】已知数列an的前 n 项和S 满足S n2 an(1 )n,n解：由a 1S 12a 11a11当n2时，有anSnS n12(anan1)2(1 )n,a n2a n12n ( 1)1,an12a n22()1n2, ，a 22a 12 .nan 21a 1n 21n ( 1) 222 ( 1)n 2 ( 1)1n 21()1n (n )21()2n2(2 )n 21()1n12()2n132 3n 22(n )11.经验证a 11也满足上式，所以an22n2()1n13二、由递推式求数列通项法No.1 累加法名师归纳总结 递推公式为an1a nf(n)anf(n)，利用 累加法 (逐差相加法 )求解。第 1 页，共 14 页解法：把原递推公式转化为an1【例 2】 .已知数列an满足1a1，an1a nn21n，求a 。2解：由条件知：a n1ann21111nn(n1 )nn1分 别 令n,12 ,3(,n1 )， 代 入 上 式 得(n1 )个 等 式 累 加 之 ， 即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (a2a 1)(a 3a2)(a4a 3)学习必备n欢迎下载(aan1)( 11 )2(111 )31(11 )4(n111 )n1, 且 a2ka 2k1k ( 1) ,a 2k1a2k3k,23所以ana 1na 11，an1113122n2n【真题】 (2004 全国卷I.22)已知数列an中 ,a 1其中k1,2,3, ，求数列an的通项公式。No.2 累乘法递推公式为an1f(n)an，利用 累乘法 (逐商相乘法 )求解。)1个等式累乘解法：把原递推公式转化为an1f(n)an【例 3】 已知数列an满足a 12，an1nn1an，求a 。3解：由条件知ann1nn1，分别令n,123, ,(,n1 )，代入上式得(na之，即a 2a3a 4anan1123nn1an1a 1a2a 3an234a 1n又1a2 3，23n【迭代法定义】由an1f(n)a n和a 确定的递推数列aan的通项可如下求得：，a2f( 1 )a 1依次向前代由已知递推式有a nf(n1 )an1，n1f(n2 )an2，入，得名师归纳总结 a nf(n1 )f(nk2 )f1( )a1，1f(k)1 )，这就是 迭代法 的基本模式。第 2 页，共 14 页简记为a nn ( k1f()a 1(n,1k01- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】 已知a13，a n13 n1学习必备1 )欢迎下载an(n，求a 。3 n2解：an3 (n1 )13(n2)1632131a 13(n1 )23 (n2)2322323 n4 3 n75 231。3 n1 3 n48 53 n三、构造法No.1 构造等比数列法（ 待定系数法）类型 1 递推公式为an 1pananq（其中 p，q 均为常数，(pq(p1 )0 )）。解法：把原递推公式转化为：1tp(a nt)，其中tq，再利用 换元法 转化为等1p比数列求解【例 5】（07 全国理 22）已知数列 a 中，a =2，an1= (21) (an2)nN解 得（）求 a 的通项公式。1)解：构造新数列a np ，使之成为q21 的等比数列an1p =(21) (anp )整理得：an1=( 21)a +(22) p使之 满足已知条件an1= ( 21)a +2 (21) (22)p2(2p2a n2是首项为 22q21的等比数列，由此得a n2=(22)(21)n1a =2(21)n2类型 2 同理，用待定系数法把原递推公式转化为：a nn 【例 6】 设数列an：a14,a n3an12n(,1n2)，求a . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设bnanAnB，则anb学习必备B欢迎下载anan1代入递推式，得nAn，将bnAnB3b n1A(n)1B2n1(6，故bn63n123n3 bn1(3A2 )n(3B3A1 )A3A2A1B3B3A1B1取b nann1 （）则bn3 bn1,又b 1BnC;(2)代入（）得an23nn1An2说明：（1）若f(n)为 n 的二次式， 则可设b nan本题也可由an3 an12n1,an13an22n1 )1（n3）两式相减得a nan13 (a n1an2)2转化为b npbn1q求之. 【真题】(2006.重庆.14）在数列a n中，若a 11,a n12a nan3(n1)，n则该数列的通项ann1，得类型 3 递推式为1panq1（p、q 为常数）时，可同除qan1pan1，令b nan从而化归为an 1pan1q（p、q 为常数）型qn1qnqnq【例 7】 已知数列an中，1a5,an11an(1)n，求a 。63212(2nan)1解：在an11an(1)n1两边乘以n 21得：2n1an323令b n2nan，则bn12bn1,应用例 7 解法得：bn32(2)n33名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a nb n3 (1)n2 (1 )3n学习必备欢迎下载2n2【真题】（2006 全国 I.22 ）（本小题满分 12 分）设数列a n的前n项的和S n4an1n 212，n1,2,3,qn1，得：333（）求首项a 与通项a ；解法：该类型较类型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以an1pan1qn1qqnqNo.2 构造等差数列法名师归纳总结 数列 a 既不等差，也不等比，递推关系式形如a n1banbn1f n ，那么把两边第 5 页，共 14 页同除以bn1后，想法构造一个等差数列，从而间接求出a 。【例 8】（07 石家庄一模） 数列 a 满足a n2a n12n1(n2)且a481。求 (1)1a 、a 、a3( 2 )是否存在一个实数，使此数列 a n为等差数列？若存在求出的值及a ；n 2若不存在，说明理由。解： (1)由a =2 a3241=81 得a =33；又a =2 a23 21=33 得a =13；又a =2a 1221=13，a =5 (2) 假设存在一个实数，使此数列 a n为等差数列n 2即anna n11= an2an1= 2n1= 11n 2该数为常数22n2n2n= 1即a n1 为首项a 1112， d=1 的等差数列n 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a nn1=2+(n1) 1=n+1 学习必备n欢迎下载2n1a =(1)2【例 9】数列 a 满足an1= 2a n( 2)n1( nN )，首项为a 12，求数列 a 的通项公式。n 1 n 1 a n 1 a n解：a n 1 = 2 a n ( 2) 两边同除以 ( 2) 得 n 1 = n +1 ( 2) ( 2)数列 a nn 是首项为 21 =1，d=1 的等差数列a nn =1+( n 1) 1 n( 2) ( 2) ( 2)n故 a = ( 2)n 1 n【例 10】（07 天津理 21）在数列 a 中，a =2，且 a n 1 a n (2 )2（ n N ）其中0， ( ) 求数列 a 的通项公式。n 1 n解：n 1的底数与 a 的系数相同，则两边除以 n 1得 a nn 11 a nn 1 2n 1 2nn 1 n n即 a n 1n 21 a nn 21 a nn 2 是首项为 a 1 2 0，公差 d=1 的等差数n列。a nn 2 0 ( n 1) n 1a n ( n 1) n2 n。No.3 构造法 For a n a n 1 名师归纳总结 递推式为an2pan1qan（p、q 为常数）时，可以设an2san1t(an1san)，第 6 页，共 14 页其待定常数s、t 由stp,stq求出 . 分 ） 已 知 数 列a n满 足【 例11 】（ 2006. 福 建 . 文 .22 ）（ 本 小 题 满 分14a 11 ,a23 , n a23 a12 a( n*N) .（I）证明：数列a n1a n是等比数列；（II）求数列a n的通项公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 12】数列an中，a1,1a2学习必备2欢迎下载an，求数列an的通项公式。2 ,3 an2 an1解：由 3 a n 2 2 a n 1 a n 得 a n 2 2 a n 1 1 a n , 设 a n 2 ka n 1 h ( a n 1 ka n )3 3比较系数得 k h 2，kh 1，解得 k ,1 h 1或 k 1 h 13 3 3 3若取 k ,1 h 1，则有 a n 2 a n 1 1( a n 1 a n )3 3 a n 1 a n 是以 1为公比，以 a 2 a 1 2 1 1 为首项的等比数列3a n 1 a n ( 1 ) n 13由逐差法可得 a n ( a n a n 1 ) ( a n 1 a n 2 ) ( a 2 a 1 ) a 11 n 2 1 n 3 1 2 1= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 13 3 3 3= 11 ( 131 ) n 11 = 34 1 ( 13 ) n 11 74 34 ( 13 ) n 13【例 13】已知数列 a n 满足 1a 1 , a 2 2 , a n 2 2a n 1 1a n 求 a 3 3解：设 a n 2 sa n 1 t ( a n 1 sa n )a n 2 ( s t ) a n 1 sta n sst t13 23t s 113 或t s1 13则条件可以化为 a n 2 a n 1 1 ( a n 1 a n ) a n 1 a n 是以首项为 a 2 a 1 1，公比为31 1 n 1的等比数列 ,所以 a n 1 a n ( )问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解3 3得 a n 7 3 ( 1 ) n 14 4 3四、特征根法名师归纳总结 1、设已知数列an的项满足a1b ,an 1cand,其中c0 c,1求这个数列的通项公第 7 页，共 14 页式 。 作 出 一 个 方 程xcxd,则 当x0a1时 ，a n为 常 数 列 ， 即ana 1;当x 0a 1 时,a nb nx 0， 其 中b n是 以 c 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bnb 1cn1,b 1a 1x0. 学习必备欢迎下载【例 14】已知数列 a n 满足：a n 1 1 a n ,2 n N , a 1 4 , 求 a n .3解：作方程 x 1x 2 , 则 x 0 3 .3 2当 a 1 4 时，a 1 x 0 , b 1 a 1 3 11.2 2数 列 b n 是 以 1为 公 比 的 等 比 数 列 . 于 是3b n b 1 ( 1 ) n 1 11 ( 1 ) n 1 , a n 3 b n 3 11 ( 1 ) n 1 , n N .3 2 3 2 2 2 32、对 于 由 递 推 公 式 a n 2 pa n 1 qa n，a 1 , a 2 给 出 的 数 列 a n， 方 程2x px q 0，叫做数列 a n 的特征方程。 若 x 1,x 2 是特征方程的两个根，当 x 1 x 2 时，n 1 n 1数列 a n 的通项为 a n Ax 1 Bx 2，其中 A，B 由 a 1 ,a 2 决定（即把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2和 n ,1 2，代入 a n Ax 1 n 1Bx 2 n 1，得到关于 A、B 的方程组）；当 x 1 x 2 时，数列 a n的通项为 a n ( A Bn ) x 1 n 1，其中 A，B由 a 1 , a 2 决定（即把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2 和 n ,1 2，代入 a n ( A Bn ) x 1 n 1，得到关于 A、B 的方程组）。【例 15】已知数列 a n 满足 a 1 a , a 2 b 3, a n 2 5 a n 1 2 a n 0 ( n 0 , n N )，求数列an的通项公式。解法一（待定系数迭加法）名师归纳总结 由3 an25 an12an0，得2 为公比的等比数列，于是 3第 8 页，共 14 页an2an12(an1a n)，3且a2a1ba。ba为首项，则数列an1an是以an1a n(ba )(2)n1。把n2,13,n代入，得3a2a 1ba，- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a3a2( ba)(2)，学习必备欢迎下载3a4a3(ba)(2)2，3名师归纳总结 anan1(ba )(2)n2。
