利用导数研究函数的极值(上课用).ppt

用函数的导数判断函数单调性的法则：,1如果在区间(a，b)内， ，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； 2如果在区间(a，b)内， ，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；,3.如果恒有 ，则 是?。,常数,充分不必要条件,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数 f/（x）;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调递减区间.,3.3.2 利用导数研究函数的极值,1、如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 2、y=f（x）在这些点的导数值是多少？ 3在这些点附近,y=f（x）的导数的符号有什么规律？,探索思考：,x1,x3为极大值点,x2,x4为极小值点 统称极值点,f(x1),f(x3)为极大值 f(x2),f(x4)为极小值 统称极值,极大值一定比极小值大吗？,求函数极值的一般步骤：,三、例题选讲:,（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）求方程 的根 （4）由方程 的根左右的导数符 号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,(5)计算端点值， 并与极值比较大小,最值,练习,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,不一定是该函数的极值点.,导数为零的点是该点为极值点的什么条件？,左右导数异号.,必要不充分条件,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,例3求函数y=x42x2+5在区间2，2上的 最大值与最小值,当x=2时，函数有最大值13， 当x=1时，函数有最小值4,1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .,2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（-2，,2） 上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围 为 .,3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求 a、b的值.,极值逆用,a=4,b=-11.,1、下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处,(1)导函数 有极大值? (2)导函数 有极小值? (3)函数 有极大值? (4)函数 有极小值?,或,A,3函数f(x)=x 的极值情况是( ) (A) 当x=1时取极小值2，但无极大值 (B) 当x=1时取极大值2，但无极小值 (C) 当x=1时取极小值2，当x=1时取极大值2 (D) 当x=1时取极大值2，当x=1时取极小值2,D,(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4,练习:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,5、已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,