2022年正多边形和圆讲义教案 .docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -正多边形和圆一）一内容综述正多边形的有关运算方法、圆及简洁组合图形的周长与面积的运算方法, 是本单元的重点.实际上,这部分运算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图 OAD ）中解决的.把握这些学问,一方面可以为进一步学习打好基础,另一方面这些学问在生产和生活中经常用到,所以要赐予足够的重视.在正多边形的有关运算中,假如分别以 n、an、rn、Rn、Pn 和 Sn 表示正 nn 3,n 为整数 边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积,就有： n=. an=2Rn·sin. rn=R n· cos.+. Pn=nan. Sn=Pnr n. Sn=nsin.（由于一个三角形的面积为：h· OB ）留意两点： 1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等.2、精确记忆相关公式.在圆的有关运算中,假如用R 表示圆的半径,n 表示弧或弧所所对的圆心角的度数,L表示弧长,就有：圆周长： C=2 R.弧长： L=圆面积： S=R2扇形面积：S 扇形 =LR弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来运算需依据不同的情形作出不同的处理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）当弓形所含弧为劣弧时,S 弓=S 扇-S（ 2）当弓形所含弧为优弧时,S 弓 =S 扇+S（ 3）当弓形所含弧为半圆时,S 弓 =S 圆圆柱与圆锥的侧面积可以转化为运算侧面绽开图的面积二例题分析：例 1.正六边形两条对边之间的距离是2,就它的边长是（）A 、B、C、D、解：如图 1, BF=2 ,过点 A 作 AG BF 于 G,就 FG=1 , 又 FAG=60 °,应选 B.说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形,要留意正六边形的一些特别性质.例 2.如图 2,两个同心圆被两条半径截得的的长为 6cm,的长为 10 cm,如AB=12cm, 求图中阴影部分的面积.解：设 O= ,由弧长公式得6 =, 10 =, OA=, OB=.又 AB=OB-OA, 12=-, =60 ° , OA=18, OB=30.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 阴影部分的面积为：-=96说明：此题主要考察弧长、扇形面积的有关运算,要熟记公式,正确运用. 例 3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.分析 :外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证 .证明 :设外切多边形周长为P,内切圆 O 半径为R,连结 O 与正多边形的各顶点及切点,如图 OM AB,ON BC, S OAB =OM · AB R·AB,S OBC =ON · BCR· BC, 正多边形ABCD面积为S=RAB+BC+=R· P.说明：圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的运算要通过所分成的n 个等腰三角形进行, 这也是由复杂到简洁的一种转化,象四边形的问题一样,正 n 边形的问题第一应转化为三角形的问题,转化是解决数学问题的关键.例 4.已知如图 O1 为含 120°弧的弓形的直径最大的内切圆,求证： 这个内切圆的周长等于弧长的.分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系,需求出：内切圆O1 的周长 2 r,及弓形的弧AB 的长,找到r 与 O 的半径 R 的关系,结论易证.证明：设 O1 切弓形于C、D ,OA=R ,O1C=r , AOB=120 °,的长 =×= R,又 OAB=180° -120°=30 °, OC=OA=R, r=OD-OC=R-R=R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -又 O1 的周长 =2 r=2 ·R= R, O1 的周长等于弧长的.例 5.已知如图半径OA=6cm,C 为 OB 的中点 , AOB=120 ° ,求阴影部分面积S 阴影 ABC .分析 :欲求 S 阴影 ABC ,从图形上看是不规章图形,所以问题的关键是将不规章的图形转化为规章图形面积的和或差,观看图形会发觉S 阴影=S 扇形 OAB -S ACO ,故可求得 .解:由图示可知S 阴影 ABC =S 扇形-SACO ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 S 扇形 OAB =12 cm2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S ACO =×6× 3· sin60°=cm2, S 阴影 ABC =12 -cm2.说明： 求阴影部分的面积,最关键的就是将不规章图形的面积转化为规章图形的面积的和或差,以上为例,S 阴影可以折分为S 扇形 OAB 与 SDAOC 的差,也可以折分为SDABC 与 S 弓 形 AB的和,但由于这两个面积,求起来较繁锁,所以究竟用哪种方法,要有所挑选.例 6.如图 ,如正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.分析：如下图,线段OC 是正六边形的边心距,由内接正三边形的边长,就线段OC 可以将两图形联系起来.解:如图 ,设 AB 是正六边形的一条边长,C 点为切点 ,CD 为正六边形内切O 的内接正三角形的一条边长,过 O 点作 OE CD 于 E,分别连结OA 、OB、OC 、OD. OC=R,AB=a 6,BC=a6, BOC=30 ° ,CD=a3,CE=a3,OE=r 3,COE=60 °, S6=6 ·S OAB , S6=6×a6· OC=6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - OC=BC · cot30° , OC=a6, 6×a6·a6=6, a6 =2, OC=, OE=OC · cos60° , OE=, CE=OC · sin60° , CE=, CD=2CE=3, S3=3×CD · OE,S3=3×× 3×=.说明 :1 此例涉及到正多边形的有关运算,其中涉及的是正六边形与正三角形.2 因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系 .例 7.如图 ,PA,PB 分别切圆O 于 A 、B,并且 AOB 是钝角 ,假如四边形PAOB 的周长和面积分别为81+和 16,求劣弧 AB 与两切线所夹部分的面积,即阴影面积 解:连结 OP, PA、PB 分别切 O 于 A、 B, OAP= OBP=90 ° ,又 PA=PB,AO=BO Rt PAO Rt PBO, Rt PAO 的面积 =×四边形PAOB 的面积 =8.又 RtPAO 的面积 =× AO · PA, OA · PA=16.已知 OA+PA=× 81+=41+. OA 、PA 为方程 x 2-41+x+16=0 的两根,解得 x 1=4, x 2=4,但 AOB 是钝角,PA>OA, PA=4,OA=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在 RtPAO 中,tan POA=. POA=60 °, AOB=120 ° ,扇形 OAB 的面积 =×42 = . 劣弧 AB 与两切线所夹部分的面积为16- .说明 :求阴影部分的面积,第一要观看它的构成,是由四边形AOBP 的面积去掉扇形AOB的面积 .详细求它们的值时,尚须连结 OP,构造直角三角形.例 8.如图 ,AOB=90 ° ,AC OB,OA=1,是以 O 为圆心的弧 ,是以 A 为圆心的弧 ,求图中阴影部分ABC 的面积 .分析：摸索怎样转化为规章图形的面积运算？规章图形的面积如何运算？解:连结 AB, AOB 为等腰直角三角形, AB=, C=90 °,OA=OB=1, S 扇 形 OAB = R2=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 扇形 ABC =2=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 弓形 AmB =S 扇形 OAB -S AOB =-AO ·BO=-.S 阴影=S 扇形 ABC -S 弓形 AmB=-=说明：（ 1）求阴影部分的面积,涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等学问.（ 2）进行分析时,一般留意：第一： 求阴影部分的面积,因不是一个规章的图形,不易直接求, 需要从整体结构进行分析,将图形分解,转化为规章的能操作的基本图形,运用好面积的割补方法.其次：求阴影部分的面积,可转化为先求空白部分的面积,再进行面积的加减运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_测试挑选题1已知两圆的直径分别为20cm 和 8cm,一条外公切线为8cm,就这两圆的位置关系是（）A 、相离B 、 外切C 、 相交D、内切 2以下说法正确选项（）A 、各边相等的圆外切多边形是正多边形. B 、任何正n 边形都既是中心对称图形又是轴对称图形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、任何一个正多边形绕中心旋转,都与原先的正多边形重合.D 、任何正多边形都相像.3假如一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的,就这个正多边形的边数为（）A 、16B 、18C、20D 、224正六边形的边长为1,就它的面积为（）A 、3B 、2C、3D 、 5正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是（）A 、1B、2C、1D、 2 6如图,已知点A 在两个同心圆的大圆上,ABC是小圆的割线,且AB · AC=8 ,就圆环的面积为（）A 、4B、8C、12D、16 7扇形的周长为28cm,面积为49cm2,就它的半径为（）A 、7cmB、cmC、14+7cmD 、7cm 8扇形的圆心角是150,面积是 60 cm2, 就扇形的弧长为（）A 、6 cmB、8 cmC、10 cmD 、12 cm 9正三角形的边心距、半径和高的比是（）A 、1 2 3B 、1C、1 3D、 1 210如图 3,大的半圆的弧长为a, n 个小圆的半径相等,且相互外切,其直径之和等于大半圆的直径,如n 个小半圆的总弧长为b, 就 a 与 b 之间的关系是（）A 、a=bB 、a=nbC、a=bD、 a= b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -答案与解析答案： 1.C2.C3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.A10.A解析：1.关键是求出O1 O2,O1O22=R-r 2+8 2=36+64=100 , O1O2=10,R+r=14 , R-r=6 , 就 R-r<O 1O2<R+R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反例： 两圆相交.2.选项为 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ,菱形各边相等,四边可以与同一圆相切,但不是正四边形. B,正三角形不是中心对称图形.D,边数不同,不行能相像. 3.设正多边形边数为n,外角和为360°,内角和为n-2· 180°,就一个外角度数为,一个内角,=· n=22 .6.如图：作AE 切小圆于E,连 AO ,OE,就 AE 2=AB · AC=8 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 圆环=OA2 -OE2 =OA2-OE2 =AE2 =8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.设扇形半径为R,圆心角为n,就解得 R=7 .8.解：=60 , R=12, l =10 .9.解：如图 2,OD 是正三角形的边心距, OA 是半径,AD 是高,设 OD=r ,就 AO=OB=2r ,AD=3r , OD BO AD=r 2r 3r=1 2 3.应选 A .10 解：设大半圆的半径为R,小半圆的半径为r, 由题意,得a= R. R=, 小圆的半径r=, 每个小半圆的弧长为 ·=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - n 个小半圆的总弧长b=n ·=a, 即 b=a,应选 A .评注：此题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系,然后通过弧长和半径之间的关系求解.中考解析：例 1.杭州市 已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等,求它们的面积的比值.a解：设正三角形边长为a,就周长为c1 =3a,面积 S1=2又设正六边形边长为b,就周长为c2 =6b,面积 S2=b2由 c1=c2,得 a=2b,S1:S2=a2:b2=b2:b2 =.就它们的面积的比值为考点：正多边形的面积求法评析思路： 问题的关键是依据周长的关系求出正三角形和正六边形的边长的关系,分别求出正三角形的面积,正六边形的面积,然后可知它们比值.例 2.吉林省 如图, 一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°, AB长为 30cm,贴纸部分BD 长为 20cm,贴纸部分的面积为（） cm2A 、B 、C、800D 、500考点：环形,扇形的面积.评析思路,利用扇形面积的求法,分别求出大扇形,小扇形的面积,然后求差即可.也可以用环扇的面积等于圆环的面积的三分之一.答案为A .例 3.（贵阳市）如图, 正方形的边长为2,分别以两个对角顶点为圆心,2 为半径画弧,就图中阴影部分的面积是（） .（ A ） 4-2（ B） 2-4（C）-2（D ） 24-考点：圆的面积正方形面积评析： 连正方形对角,重新拼图知,阴影部分面积等于半圆面积与正方形面积的差.答案为 B .例 4.（重庆市）如图,矩形ABCD中, AB=1 , AD=,以 BC 的中点 E 为圆心的弧 MPN 与 AD 相切,就图中阴影部分的面积为（）（ A ）（ B ）（ C）（D ）考点：矩形的性质、扇形面积的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -评析思路： 由条件可知道扇形半径为AB 长,而 E 又是 BC 的中点依据矩形的对边相等可知BE=,再利用直角三角形边角的关系,易求得BEM= CEN=30 °,MEN=120 °,扇形面积是半径是1 的圆面积的.说明：此小题也是一个综合型小题,只有把握扇形面积的求法,才能找到解决问题的方法.答案为D.例 5. 北京市东城区 假如圆锥的底面半径为5,母线长为10,那么圆锥的侧面绽开图的面积是.考点：扇形面积运算圆锥侧面绽开图评析：圆锥侧面绽开图是一个扇形,扇开的弧长为圆锥底面周长,扇形的半径为圆锥的母线长,依据扇形面积公式得,所以答案为50 .黄金分割、黄金数、黄金长方形1.黄金分割和黄金长方形17 世纪欧洲闻名科学家开普勒曾说过：“几何学有两个宝藏,一个是勾股定理,一个是黄金分割”.什么是黄金分割？给定一条线段AB ,见（图）（ 1）过 B 作 BD AB ,截 BD=AB .（ 2）连 AD ,以 D 为圆心, BD 为半径画弧交AD 于 E.（ 3）以 A 为圆心, AE 为半径画弧交AB 于 C,就 C 点将线段AB 作黄金分割. C 点是线段 AB 的黄金分割点.线段AC 和 AB 之比,即大约等于0.618.黄金分割是个特别古老的数学问题.2500 年前的古希腊毕达哥拉斯学派是以五角星为他们的派徽.画一个五角星,见图 ,用尺子量一下GJ、GK 和 GL 的长度,求比值和,你会发觉它们大约都等于0.618,也就是说,这都是黄金分割.你或许会问：这个0.618 是怎样来的了 .下面介绍它的来历：任取一条线段AB ,我们想在线段 AB 上找一点C 使得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -满意上面比式的分点C 可以用代数方法求得：设 AB L , AC x ,此时 CBL-x , 如图 ,上述的比式就变成为,交叉相乘得L2 -Lx=x 2,整理得 x 2+Lx-L 2=0.这是一个一元二次方程,用求根公式可得x=L 0.618L.从这里可以看出0.618 是的近似值. C 点是线段AB 的黄金分割点, 把或0.618 叫做黄金数.2.神庙、雕塑和优选法黄金分割特别重要,它在数学、美术、建筑等方面有着广泛的应用.比如,古代希腊人就已经发觉： 假如一个长方形的长和宽是由黄金分割来组成的话, 看上去比其他长方形更和谐、更好看.古希腊的一些闻名建筑,它的高与长之比恰好是 0.618.希腊的巴台农神庙, 是两千多年前的古希腊建筑,它的高和宽之比就是 0.618.古希腊人仍认为,最美丽的人体应当是肚脐把身长作黄金分割.储存下来的古希腊雕塑作品充分说明白他们的观点.闻名的雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及那爱与美之神“维纳斯”,无不表现出最美的人体.北京城的内城建筑也用到黄金分割.北京的正阳门是北京内城的正南门,而大明门后曾改称“大清门” 、“中华门”,现已不存在了才是进入皇宫的南大门.然后顺着御道北上,依次经过天安门、端门、午门、太和门到达太和殿.景山是整个皇宫的屏风.从大明门到景山总长为5 里,从大明门到太和殿庭院中心的距离是3.09 里.两者之比 0.618.太和殿庭院中心是皇宫南北长的黄金分割点.黄金分割是最美的分割,在很长时间内曾统治着西方世界的建筑美学观点.法国的巴黎圣母院就是一个杰出的代表.它的整个结构是按着黄金长方形建造的.文艺复兴时期的画家也把握着这个神奇的比例.达·芬奇闻名于世的作品蒙娜丽莎就是按着黄金分割的比例来构图的.不知你留意过没有 .有体会的报幕员自有她的风度.一上台,她不走到台口的中心,而是站在离右边 或左边 三分之一多一点的的方,使观众感到她特别大方,特别恰当,特别和谐.用数学观点来说明,她站的位置恰好是“黄金分割点” .黄金分割是个很古老的数学问题,过去人们大多是从美学角度来讨论它.近几十年数学上显现一个新的数学分支最优化方法,它给黄金分割找到了新的用途.从 1970 年开头,我国闻名数学家华罗庚教授推广的优选法,就是最优化方法的一种.优选法是一种又快又省的试验方法.下面举一个例子：比如要配制一种农药来治虫,兑多少水合适 .水兑多了,农药的浓度太低,杀不死害虫.水对少了,农药的浓度过大,既铺张农药,又给农作物造成药害.农药和水配成什么比例最合适,是需要通过试验来确定的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -假如预先知道稀释倍数在1000 到 2022 之间, 这就出新一个问题：怎样才能用最少的试验次数,找出最抱负的数据了.可以把稀释倍数1000 和 2022 看作是线段AB 的两个端点,见图,挑选AB 的黄金分割点C 作为第一个试点.C 点的数值是可以算出来的：1000+2022-1000 × 0.618 1618. 用稀释 1618 倍进行试验,假如试验结果是水对多了,可以进行其次次试验.其次次试验点应当选择 AC 的黄金分割点D,D 的位置是 1000+1618-1000×0.618 1382.假如 D 点仍不抱负,可以按求黄金分割点的方法连续试验下去.另一种情形是水兑少了,这时在进行其次次试验 时,试验点应当挑选CB 的黄金分割点. 用这种试验方法, 可以很快的找到合适的浓度数据. 这种方法每次都要用到黄金数0.618,所以又把这种方法叫做“0.618 法”.3.无处不在的黄金分割放开我们的眼界, 我们会发觉黄金分割是无处不在.先从生物方面说起：本书在前面 其次章、惊人的兔生兔提到了兔子的繁衍是按着费波纳契数列来增长的.费波纳契数列是1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, 89,144, 233, 377, .每相邻两项之比.这个比值越来越靠近0.618.英国的 T · W·汤姆森爵士指出,假如一棵树始终保持幼时长高和长粗的比例往上长,那么它终将由于自己长的“细高个”而翻倒,因此,他挑选了长高和长粗的正确比为0.618.有人讨论过小麦和水稻的茎节,发觉有些品种相邻两节长度之比为1:1.618.很多植物萌生的叶片、 树权和花瓣都是接着黄金分割的角度舒展的： 从上往下看时, 他们把水平面 360°分成 222.5 ° 和 137.5 ° 360×0.618 222.5 .任意两个相邻的叶片 枝头或花瓣 都沿着这两个角度舒展.这样它们不相互重叠,有利于进行光合作用.像蓟草,梨树枝和玫瑰花瓣.做一个黄金长方形,见图所示.在这个黄金长方形的内部做一个正方形,可以证明剩下的小长方形仍旧是一个黄金长方形.在这个小的黄金长方形内再做一个小的正方形,又可得到一个更小的黄金长方形依次连接这些正方形一条对角线的两个端点,可以得到一条光滑的曲线,这条曲线叫做“黄金螺线”.黄金螺线有好多别的名字,比如“对数螺线”,“等角螺线” ,“生长螺线”等等,说明他 有很多重要的性质.蕨类植物的琴状梢头,其螺线就是黄金螺线.向日葵不但葵盘上有一左 一右的黄金螺线,而且每朵小花或果花上也有两条黄金螺线.有一种叫梭尾法螺的海螺,它上面有很多条黄金螺线.人体最感到舒适的温度约为23° C,也是正常体温37° C 黄金分割点,由于2337×0.618.科学家发觉,人精神开心时,人的脑电波频率的下限为8 赫兹,上限为12.9 赫兹,两者之比约为0.618 .北纬30 度是特别好玩的的区.我国好茶的产的,如杭州、屯溪、祁门都位于北纬30度邻近 ; 我国的旅行胜的,如黄山、庐山、九寨沟在此纬度上.太湖、洞庭湖也在这个纬度上.我国的一些大城市,如上海、武汉、重庆、拉萨也位于北纬30 度邻近.一些航天发射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中心,如中国的西昌,美国的休斯敦、亚特兰大也同样位于北纬30 度邻近.的球是一个椭球体,纬度是椭球面的法线与赤道平面的交角.北纬30 度差不多是把北半球投影这个半椭圆分成 1 比 0.618 ,这里又显现了黄金数.黄金数、黄金分割,你真是无处不在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载