定积分在几何上的应用.ppt

,定积分的元素法,一、什么问题可以用定积分解决 ?,二 、如何应用定积分解决问题 ?,表示为,一、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 U 是与区间a , b上的某函数 f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“分割, 近似, 求和, 取极限”,定积分定义,一个整体量 ;,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法成为元素法 (或微元法),近似值,精确值,四、 旋转体的侧面积,三、已知平行截面面积函数的 立体体积,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右图所示图形面积为,例1. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,例2. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,例3. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例4. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,例5. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,例6. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例7. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,柱壳体积,说明:,柱面面积,（以摆线为例）,例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,四、旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,取侧面积元素:,侧面积元素,的线性主部 .,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意:,侧面积为,例9. 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式,例10. 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S .,解: 利用对称性,绕 x 轴旋转,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,4. 旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下 ds 的表达式),绕 y 轴 :,(柱壳法),