2022年空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案2 .docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面对量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；3. 培育用向量的相关学问摸索问题和解决问题的才能；【学问梳理】一、 空间向量的运算1、向量的几何运算1向量的数量积：已知向量,就0叫做的数量积,记作,即,使 ba 空间向量数量积的性质：；2向量共线定理：向量a a与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数2、向量的坐标运算1假设,就一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标；2假设,就,；,（3）夹角公式：1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 4两点间的距离公式：假设,就二、空间向量在立体几何中的应用 2. 利用空间向量证明平行问题 对于平行问题,一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明3. 利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题,一般是利用 进行证明；4. 利用空间向量求角度1线线角的求法：设直线 AB、CD对应的方向向量分别为a、b,就直线 AB与 CD所成的角为线线角的范畴 00,900 2线面角的求法：设 n 是平面的法向量,是直线的方向向量,就直线与平面所成的角为3二面角的求法：设 n1,n2 分别是二面角的两个面,的法向量,就就是二面角的平面角或其补角的大小如图5. 利用空间向量求距离1平面的法向量的求法：设 n=x,y,z,利用 n 与平面内的两个不共线的向 a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取 其一组解,即得到平面 的一个法向量如图 ；2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2利用法向量求空间距离a 点 A 到平面的距离：,其中,其中,是平面的法向量；的法向量；b 直线与平面之间的距离：,是平面c 两平行平面之间的距离：,其中,是平面的法向量；【经典例题】【例 1】2022 全国卷 1 理正方体ABCD-A B C D 中, BB 与平面 AC D 所成角的余弦值为A2B3 C2 3D6333【解析】 D【例 2】2022 全国卷 2 文已知三棱锥 SABC 中,底面 ABC 为边长等于2 的等边三角形, SA 垂直于底面ABC ,B SA=3,那么直线AB 与平面SBC所成角的正弦值为A3 B 5C 7 D 3S 4444【解析】 DABCA B C 中,底面边长和侧棱长都相等,1 1 1A F E C 【例3】 2022 全国卷三棱柱BAA 1CAA 160,就异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为_；【解析】6 63 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例 4】2022 重庆如图,在直三棱柱求异面直线 CC1 和 AB的距离；ABC-A1B1C1 中, AB=4, AC=BC=3,D为 AB的中点；假设AB1A1C,求二面角A1 CDB1 的平面角的余弦值；AC , D, 分别是棱BC,CC1上的点点 D 不同【解析】513【例 5】2022 江苏如图,在直三棱柱ABCA B C 中,A B 1于点 C,且 ADDE, 为B C 的中点A 1B 1F C 1求证：1平面 ADE平面BCC B ；A B D E 2直线A F/平面 ADEC 【例 6】2022 山东在如下图的几何体中,四边形BD,CB=CD=CF求证： BD平面 AED；求二面角 F-BD-C 的余弦值1 【解析】二面角F-BD-C 的余弦值为5 5ABCD是等腰梯形, AB CD, DAB=60° , FC平面 ABCD,AE【例 7】2022 江西在三棱柱ABCA B C 中,已知 1 1 1ABACAA 15,BC4,点A 在底面 ABC 的投 1影是线段 BC 的中点 O ；1证明在侧棱AA 上存在一点 E ,使得 OE平面BB C C ,并求出 AE 的长；AA1OCB1C12求平面A BC 与平面BB C C 夹角的余弦值；B【解析】5 ,530104 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例 8】2022 湖南四棱锥 P-ABCD中, PA平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, DAB=ABC=90° , E 是 CD的中点 . 证明： CD平面 PAE；假设直线PB与平面 PAE所成的角和PB与平面 ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积 . 【解析】V1SPA1168 5128 533515CD PDAD , E 是 PB 中点,【例 9】2022 广东如下图,在四棱锥PABCD 中, AB平面 PAD ,AB/ /1F 是DC上的点,且 DF AB , PH 为21证明： PH 平面 ABCD ；PAD 中 AD 边上的高；h112122假设PH1,AD2,FC1,求三棱锥 EBCF 的体积；3证明： EF平面 PAB【解析】三棱锥EBCF 的体积V1SBCFh11FCAD3326212【例 10】2022 新课标如图,直三棱柱ABCA1B1C1中, AC=BC= 1 AA1,D是棱 AA1 的中点, DC1BD2B 1B1证明： DC 1BC；C12求二面角A1BD C1的大小A1【解析】二面角A 1BDC 1的大小为 30DCA【例 11】如下图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面 ABCD 点 E 在线段 PC 上, PC平面 BDE 1证明： BD平面 PAC ；P0,2假设PA1,AD2,求二面角BPCA 的正切值AED【解析】二面角BPCA 的平面角的正切值为3 BC【例 12】2022 天津如图,在四棱锥 PABCD 中, PA丄平面 ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄 BC ,ABC=45P5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - PA AD =2,AC =1 . 证明 PC 丄 AD ；求二面角APCD 的正弦值；BE与 CD所成的角为0 30 ,求 AE的长 . 设 E 为棱 PA 上的点,满意异面直线【解析】30 ,61010【课堂练习】1、2022 上海假设 n 2 1, 是直线 l 的一个法向量,就 l 的倾斜角的大小为用反三角函数值表示2、 2022 四川如图,在正方体 ABCD A B C D 中, M 、N 分别是 CD 、CC 的中点, 就异面直线 A M 与 DN所成角的大小是 _；D 1 C 1A 1 B 1ND CMA B3、2022 全国卷如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA 底面 ABCD ,AC 2 2,PA 2,E 是 PC 上的一点,PE 2 EC ；P证明：PC 平面 BED ；设二面角 A PB C 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小；E AB DC4、2022 辽宁理 已知三棱锥 PABC中,PA ABC,AB AC,PA=AC=.AB,N为 AB上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 . 证明： CMSN；求 SN与平面 CMN所成角的大小 . 5、2022 辽宁文如图,棱柱ABCA B C 的侧面BCC B 是菱形,B CA B6 _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明：平面AB C 1平面A BC ；1 1设 D 是AC 上的点,且A B/平面B CD ,求A D DC 的值 . 6、 2022 全国文 如图,直三棱柱 ABC-A1 B1C1 中,AC=BC, AA 1 =AB,D为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, AE=3 EB1证明： DE为异面直线AB1 与 CD的公垂线；平面 BCD,AB2 3；设异面直线AB1 与 CD的夹角为 45° , 求二面角 A1-AC1 -B 1 的大小7、 2022 江西理 如图 BCD与 MCD都是边长为2 的正三角形, 平面 MCD 平面 BCD,AB（1）求点 A 到平面 MBC的距离；（2）求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值；8、2022 重庆文四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA 底面7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ABCD ,PAAB2,点 E 是棱 PB 的中点 . 证明：AE平面 PBC ；ECD 的平面角的余弦值. ADE沿直线 DE假设AD1,求二面角 BABCD中, AB=2BC, ABC=120° ； E为线段 AB的中点,将9、2022 浙江文如图,在平行四边形翻折成ADE,使平面 ADE平面 BCD,F 为线段 AC的中点；求证： BF 平面 ADE；设 M为线段 DE的中点,求直线 FM与平面 ADE所成角的余弦值；10、2022 重庆理四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形, PA 底面 ABCD, PA=AB= 6 ,点 E是棱 PB的中点；1求直线 AD与平面 PBC的距离；P 2假设 AD= 3 ,求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值；E 11、2022 北京理如图,正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面相互垂直,A D B C CEAC,EF AC,AB= 2 ,CE=EF=1. 求证： AF 平面 BDE；求证： CF平面 BDE；求二面角 A-BE-D的大小；12、如图,弧 AEC是半径为 a 的半圆, AC为直径,点 E 为弧 AC的中点,点 B和8 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 点 C为线段 AD的三等分点,平面AEC外一点 F 满意 FC平面 BED,FB=5 a1证明： EB FD 2求点 B 到平面 FED的距离 . 13、2022 江苏卷如图,在四棱锥 P-ABCD中, PD平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB DC, BCD=90 0；1 求证： PCBC；2 求点 A 到平面 PBC的距离；PDC14、2022 上海如图,在四棱锥P- ABCD中,底面A16题图B2 , PA=2.ABCD是矩形, PA底面 ABCD,E 是 PCAB=2,AD=2求：1三角形 PCD的面积；2异面直线BC与 AE所成的角的大小. APB90,PAB60, AB BC CA,平面 PAB平面 ABC ；15、2022 四川 如图, 在三棱锥 PABC 中,求直线PC 与平面 ABC 所成角的大小；P求二面角BAPC 的大小；CA B16、2022 安徽长方体ABCDA 1 B 1C 1 D 1中,底面A 1B 1 C 1D 1是正方形,O是 BD 的中点, E 是棱AA 上任意一点；9 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明：BDEC 1；假如 AB =2, AE =2 ,OEEC 1, 求AA 1的长；AC AB 的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点,17、2022 北京文 如图 1,在 Rt ABC 中,C90,D E 分别为将ADE沿DE折起到A DE 的位置,使A FCD ,如图 2；AEB求证：DE/平面ACB ；求证：1AFBE；DEA1线段1A B 上是否存在点Q ,使AC平面DEQ？说明理由；F图1BCFDC图218、2022 湖南如图6,在四棱锥P-ABCD中, PA平面 ABCD,底面 ABCD是等腰梯形, AD BC,ACBD. 证明： BDPC；假设AD=4,BC=2,直线 PD与平面 PAC所成的角为30° ,求四棱锥P-ABCD的体积 . AB2,AC2 3,19、如图,在三棱锥 PABC 中, PA 底面 ABC ,D 是 PC 的中点, 已知 BAC 2,PA2,求：1三棱锥 PABC 的体积10 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小结果用反三角函数值表示20、2022 安徽文如图,在四棱锥 OABCD中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,ABCO4, OA底面 ABCD , OA2, M 为OA的中点；求异面直线AB与 MD所成角的大小；求点 B到平面 OCD的距离；MA DB C【课后作业】1. 2022 全国如图,正四棱柱ABCD ABC D 中,AA 12AB4,点 E 在CC 上且C 1E3 EC证明：1AC平面 BED ；D 1 C1 A1 B1 求二面角A 1DEB 的大小E 2、2022 湖南四棱锥P- ABCD的底面 ABCD是边长为D C A B 1 的菱形, BCD60° , E 是 CD的中点, PA底面 ABCD,PA2. 证明：平面 PBE平面 PAB; 求平面 PAD和平面 PBE所成二面角锐角的大小 . 11 _精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、2022 福建如图,在四棱锥P-ABCD中,就面 PAD底面ABCD,侧棱 PA=PD2 ,底面 ABCD为直角梯形,其中 BCAD, AB AD, AD=2AB=2BC=2, O为 AD中点 . 求证： PO平面 ABCD；求异面直线 PD与 CD所成角的大小；线段 AD上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD的距离为 3？2假设存在,求出 AQ 的值；假设不存在,请说明理由 . QD4、2022 海南、宁夏理 如图,已知点P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1上, PDA=60° ；1求 DP与 CC1所成角的大小； 2求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小；D 1C1OO5、2022 湖南文、理如图1,已知 ABCD是上、下底边长分别为2 和 6,高为A1PB 1DCAB3 的等腰梯形,将它沿对称轴_精品资料_ 折成直二面角,如图2；证明： ACBO1；求二面角OACO1 的大小；D O1 C B A D O1 C O 12 O B A 第 12 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 6、2022 安徽文、理 如图 , 在六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中, 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 , 四边形A 1B 1C 1D 1是边长为 1 的正方形 ,DD1平面A 1B 1C 1D 1,DD1平面 ABCD, DD1=2；BAC90° ,O 为 BC 中点 求证 :A 1C1与 AC共面,B 1D1与 BD共面 . 求证 : 平面A 1ACC 1平面B 1BDD 1; 求二面角ABB 1C的大小 . 7、2022 海南 如图,在三棱锥SABC中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,证明：SO平面 ABC ；SC求二面角ASCB 的余弦值OB A8、2022 四川理如图,PCBM 是直角梯形,PCB 90° , PM BC , PM 1, BC 2,又 AC 1, ACB 120° , AB PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60° . 求证：平面PPAC 平面 ABC ; 求二面角MACB的大小 ; 求三棱锥MAC的体积 . 13 _精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 9、 2022 全国卷 如图,1l 、2l 是相互垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段. 点 A、 B在1l 上, C在2l 上,AMMBMN ； 证明ACNB；l2 假设ACB60O,求 NB 与平面 ABC所成角的余弦值；C l1A H N M B 10、2022 福建文、理如图,四周体 ABCD中,O、E 分别是 BD、BC的中点,CACBCDBD2,ABAD2.I 求证： AO平面 BCD； II 求异面直线AB与 CD所成角的大小；AIII 求点 E到平面 ACD的距离；DO11、 2022 福建文如图,在长方体ABCD A 1B1C1D1 中, E,H分别是棱BECA1B1,D 1C1 上的点点E 与 B1不重合,且EH/A 1D1；过 EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G；I 证明： AD/ 平面 EFGH；II 设 AB=2AA1=2a；在长方体 ABCD-A 1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体 A1ABFE D 1DCGH内的概率为p；当点 E, F分别在棱 A1B1, B 1B 上运动且满意 EF=a 时,求 p 的最小值；14 _精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 12、如图,四棱锥PABCD 的底面是正方形,PD底面ABCD,点 E在棱 PB上. 求证：平面AEC平面PDB；. AD4,AB2. 以 AC 的中点当PD2AB且 E 为 PB的中点时,求AE与平面 PDB所成的角的大小13、在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA平面 ABCD ,PAO 为球心、 AC 为直径的球面交PD 于点 M ,交PC于点N. BzNOMCDy第 15 页,共 18 页1求证：平面ABM 平面 PCD ；P2求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小；3求点 N 到平面 ACM 的距离 . A15 _精品资料_ x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 14、如图 4,在正三棱柱ABCA B C 中,AB2AA；D是A B 的中点,点E 在AC 上,且 DEAE ；1证明平面 ADE平面ACC A 12求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值；【参考答案】【课堂练习】16 _精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1、arctan22、 903、 30o 4、SN与面 CMN所成角为 45° 5 、A1D：DC1=1. 6、略7、215,2 5 5. 8、略 9 、略 10 、1 11 2、二面角 ABED 的大小为6. 12、42152113、点 A 到平面 PBC的距离等于2 ； 14、异面直线BC与 AE所成的角的大小是43915、直线PC二面角BAPC 的大小为 arctan 2 与平面 ABC 所成的角的大小为arctan1316、AEAC12AA122AA 132AOEA12217、略18、四棱锥 PABCD 的体积为V1SPA19412. 3319、略20、1 AB 与 MD 所成角的大小为2 点 B 到平面 OCD的距离为2 33【课后作业】1、二面角1ADEB 的大小为arccos14arccos15.AQ1. 422、平面 PAD和平面 PBE所成二面角锐角的大小是53、异面直线PB与 CD所成的角是arccos6, 存在点 Q满意题意,此时3QD34、1 DP 与 CC 所成的角为 45 2 DP 与平面 AA D D 所成的角为 30 5、coscosn ,BO >=|nBO 11|3.21n|BO46、二面角ABB1C 的余弦为1.57、二面角ASCB 的余弦值为338、二面角MACB 的平面角大小为arccos717 _精品资料_ - - - - - - -第 17 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - V P MACV A PCM11PCPMh11 1333262129、cosNBH= 6 32 4.6；10、异面直线AB与 CD所成角的大小arccos点 E 到平面 ACD的距离为21 . 745 .11、略 12、AE与平面 PDB所成的角的大小为13、所求角的大小为arcsin6所求距离为5 9h103 ,2714、线 AD和平面 AB C1所成角的正弦值为10 ；518 _精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 18 页