2022年第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组 .docx
精品_精品资料_第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 对调两行,记作rir j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 以数 k0 乘以某一行的全部元素,记作rik .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 把某一行全部元素的k 倍加到另一行对应的元素上去,记作rikrj .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初等列变换： 把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换, 所用记号是把 “ r”换成“ c”.扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且类型相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵等价假如矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与B 等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价关系的性质（ 1）反身性 AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 对称性 如A B ,就B A;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 传递性 如A B,B C,就A C.（课本 P59）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线,线的下方全为零, 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元, 也是非零行的第一个非零元.行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如ErOF的矩阵,称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OO m n为标准型.标准形矩阵是全部与矩阵A 等价的矩阵中外形最简洁的矩阵.初等变换的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A 与 B 为 m× n 矩阵,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r(1) AB存在 m阶可逆矩阵P,使 PAB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c(2) A B存在 n阶可逆矩阵Q,使 AQB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) AB存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.初等矩阵的性质设 A 是一个 m× n 矩阵,就（ 1）对 A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r即A B存在m阶可逆矩阵P,使 PAB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）对 A 施行一次初等列变换,相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c即 A B存在n阶可逆矩阵Q,使 AQB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) A B存在 m阶可逆矩阵P,及 n阶可逆矩阵Q,使 PAQB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1, P2, Pl , 使AP1P2Pl .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）A可逆的充分必要条件是rA E.（课本 P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初等变换的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初等行变换1A初等列变换E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求逆矩阵： A | EE | A或EA 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r（ 2）求 A-1B ： A A, B E,P, 即 A | B行E | A 1B,就 P=A-1B.或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 初等列变换E.B BA 1其次节 矩阵的秩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵的秩任何矩阵 Am n ,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯独确定的.（非零行的行数即为矩阵的秩）矩阵的秩 在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D,且全部 r + 1 阶子式 假如存在的话 全等于 0,那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式. 数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 RA.规定零矩阵的秩, R0=0.说明1. 矩阵 Am × n,就 RAmimn,n;2. RA = RAT;3. RA r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零 ;4. RA r 的充分必要条件是全部 r + 1 阶子式都为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满秩和满秩矩阵矩阵Aa,如ijm nR Am ,称 A 为行满秩矩阵. 如R An ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称 A 为列满秩矩阵.如A为n阶方阵 ,且R An,就称A为满秩矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如n阶方阵 A满秩,即 R AnA0.A 1必存在.A为非奇特阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A必能化为单位阵En, 即A En .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵秩的求法定理 1矩阵 A 经过有限次行 列初等变换后其秩不变.即如A B,就 RA=RB.矩阵 Am× n,经过有限次初等行变换可变为行阶梯形,就非零行的行数就是A 的秩.（证明课本 P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论如P、Q可逆,就R PAQR A （课本 P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T矩阵秩的性质总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10R Am n min m, n 2 RA RA 3 如A B, 就R AR B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 如P、Q可逆,就R PAQR A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) max R A, R BR A, BR ARB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊当Bb为非零列向量时,有RAR A, bR A1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 6R ABR AR B(7)RAB min R A, R B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(8) 8如Am n Bn lO,就R AR Bn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(9) 设AB=O ,如A为列满秩矩阵,就 B=O（矩阵乘法的消去率） .（课本 P71）第三节线性方程组的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性方程组a11 x1 a21x1a12 x2 a22 x2a1n xn a2 n xnb1b2假如有解,就称其为相容的,否就称为不相容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am1 x1am2 x2amn xnbm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 2n 元齐次线性方程组Ax=0（ 1） RA = nAx=0 有唯独解,零解（ 2） RA < nAx=0 有非零解 .定理 3n 元非齐次线性方程组Axb（ 1） 无解的充分必要条件是RARA,b（ 2） 有唯独解的充分必要条件是RARA,bn（ 3） 有无限多接的充分必要条件是RARA,bn （证明课本 P71）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基础解系齐次线性方程组Ax0 的通解具有形式xc1 1c22 c1 , c2 为任意常数 ,称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通解式xc1 1c22c1 ,c2为任意常数 中向量 1,2 构成该齐次线性方程组的基础解系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性方程组的解法齐次线性方程组： 将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵,判定是否有非零解. 如有非零解,化成行最简形矩阵,写出其解.齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n RA,齐次线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合 ”.对应的未知量为非自由的.非齐次线性方程组解的通解具有形式xc11c*22c1, c2 为任意常数 ,不带参数部分*是非齐次方程组的一个解.带参数部分c1 1c的两个向量构成对应齐次方程的基22础解系.定理矩阵方程 AX B 有解的充分必要条件是RA RA,B定理设ABC, 就RCmin R A, RB非齐次线性方程组： 将增广矩阵 B=A,b化成行阶梯形矩阵,判定其是否有解如有解,化成行最简形矩阵, 写出其解. 在求解过程中, 一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元可编辑资料 - - - 欢迎下载
