2022年第讲二次函数图象和性质知识点总结 .docx

精品_精品资料_第 5 讲二次函数的图象和性质一、学问点回忆1. 二次函数解析式的几种形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式： yax2bxc （ a、b、c 为常数, a 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点式： yaxh2点坐标.k （a、h、k 为常数, a 0）,其中（ h,k）为顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点式： ya xx1 xx2 ,其中 x1 , x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即一元二次方程 ax 2bxc0 的两个根,且 a0,（也叫两根式）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 二次函数 yaxbxc 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax2bxc 的图象是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线,几个不同的二次函数,假如 a 相同,那么抛物线的开口方向,开口大小（即外形）完全相同,只是位置不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任意抛物线 yaxh 2k 可以由抛物线 yax 2 经过适当的平移得到,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_移动规律可简记为： 左加右减,上加下减 ,详细平移方法如下表所示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22在画 yaxbxc 的图象时, 可以先配方成 yaxhk 的形式,然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后将 yax 2 的图象上（下）左（右）平移得到所求图象,即平移法.也可用描可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点法：也是将 yax 2bxc 配成 ya xh 2k 的形式,这样可以确定开口方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向,对称轴及顶点坐标.然后取图象与y 轴的交点（ 0,c）,及此点关于对称轴对称的点（ 2h, c）.假如图象与 x 轴有两个交点,就直接取这两个点（ x1,0）,（ x2,0）就行了.假如图象与x 轴只有一个交点或无交点,那应当在对称轴两侧取对称点,（这两点不是与 y 轴交点及其对称点）,一般画图象找 5 个点.3. 二次函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数函二次函数 yax2bxcyaxh 2k （a、h、k 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a、b、c 为常数, a0常数, a0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 0a 0a0a0图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 抛物线开口向上, 并向上无限延长1 抛物线开口向下, 并向下无限延长1 抛物线开口向上,并向上无限延长(1) 抛物线开口向下,并向下无限延长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性 2 对称轴是 x(2) 对称轴是 x2 对称轴是 x(2) 对称轴是 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbh,顶点是（ h, h,顶点是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a ,顶点是2a ,顶点是k）（ h, k）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b ,（ 2a质x4acb24a） （bb4acb2,2a4a）xb(3) 当 xh3 当 xh 时,时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 当2a 时, y(3) 当2a 时, yy 随 x 的增大而y 随x 的增大而增大.当 xh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_随 x 的增大而减小.当 随 x 的增大而增大.当bb减小.当 xh时,y 随 x 的增时,y 随 x 的增大而减小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2a 时, y 随 x 的2a 时, y 随 x 的大而增大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增大而增大增大而减小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 抛物线有最低点,b4 抛物线有最高点,b4 抛物线有最低点,当 xh4 抛物线有最高点,当 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x当小值,y最小值2 a 时, y 有最4acb 24ax当大值,y最大值2 a 时, y 有最4acb2 4 a时,y 有最小值y最小值kh 时,y 有最大值y最大值k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方法：将解析式 yax2bxc 化为 ya xh 2k 的形式,顶点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为（h,k）,对称轴为直线 xh ,如 a0,y 有最小值,当 xh 时, y最小值k .如 a0,y 有最大值,当 xh 时, y最大值k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式法：直接利用顶点坐标公式（b4acb 2,2 a4a）,求其顶点.对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x是直线ba2a ,如0 , y有最小值,当 xb时, y最小值2a4acb2.4a如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa0, y 有最大值,当b时, y最大值2a4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 抛物线与 x 轴交点情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于抛物线 yax2bxc a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有两个交点,反之也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当b 24ac为顶点.当b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有一个交点, 反之也成立, 此交点即0 时,抛物线与 x 轴无交点,反之也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、考点归纳考点一 求二次函数的解析式例1. 已知二次函数 f （x）满意 f （2） 1, f （ 1） 1,且 f （x）的最大值是 8,试求 f （x）.解答：法一：利用二次函数的一般式方程2设 f （x） ax bxc（a0）,由题意22故得 f （ x） 4x 4x 7.法二：利用二次函数的顶点式方程设 f （x） a（xm） n由 f （2） f （ 1）可知其对称轴方程为,故 m .又由 f （ x）的最大值是 8可知, a<0且 n8. 由 f （2） 1可解得 a 4.故.法三：利用二次函数的零点式方程由 f （2） 1,f （ 1） 1可知 f （x） 1的两根为 2和 1,故可设F（x）f （x） 1 a（x2）（x1）.又由 f （x）的最大值是 8可知 F（x）的最大值是 9,从而解得 a 4或0（舍）.2所以 f （ x） 4x 4x 7.说明： 求函数解析式一般采纳待定系数法,即先依据需要设出函数方程,然后再代入求待定系数.考点二 二次函数的图像变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2. （ 浙江卷）已知 t 为常数,函数在区间0 ,3 上的最大值为2,就 t .解答：作出的图像, I 、如全部点都在 x 轴上方,就 ymax f（3） 2可解得 t 1.II 、如图像有部分在 x 轴下方,把 x 轴下方的部分对称的翻折到 x 轴上方即可得到的图像,就 ymaxf （1）或 ymax f（ 3）,解得 t 3或 t 1,经检验, t 1.综上所述, t 1.考点三 二次函数的图像的应用2例3. 已知函数 f （ x） 4x mx5在区间 2, 上是增函数,就 f （ 1） 的范畴是（）A. f （ 1） 25B. f（1） 25C. f（ 1） 25D. f （1）>25解答： 函数 f （x）4x2mx5在区间 2,）上是增函数,就区间 2,）必在对称轴的右侧,从而,故 f （1） 9m25.选 A.说明： 解决此类问题结合函数图像显得直观.考点四 二次函数的性质的应用例4. 设的定义域是 n ,n 1（n 是自然数）,试判定的值域中共有多少个整数？分析： 可以先求出值域,再争论其中可能有多少个整数.解答：的对称轴为,由于 n 是自然数,故, 所以函数在 n , n1 上是增函数.故故知：值域中共有 2n 2个整数.说明： 此题利用了函数的单调性,很快求出了函数的值域,这是求函数值域的一个重要方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点五 二次函数的最值例5. 试求函数在区间1 ,3 上的最值.分析： 此题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类争论：<1,1 , 2 ,（ 2,3 ,>3.解答： 函数的对称轴I 、 当<1 即时 ： 函 数 在 1 , 3 上 是 增 函 数 , 故.II 、当1,2即时：.III 、当（2,3即时：.IV 、 当>3 即时 ： 函 数 在 1 , 3 上 为 减 函 数 , 故综上所述： 当时 ,. 当时 ,. 当时,.当时,.考点六 方程的根或函数零点的分布问题例6. 已知二次方程的一个根比 1大,另一个根比 1小,试求的取值范畴.解答：设,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例7. 当 为何实数时,关于的方程（I ）有两个正实根.（II ）有一个正实根,一个负实根.解答：（I ）设,由方程有两个正实根,结合图像可知：（II ）设,结合图像可知：说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合 函数图像, 考虑三个内容： 根或零点所在区间端点的函数的正负、 判别式及对称轴的位置.考点七 三个“二次”的关系例8. 已知关于 的一元二次不等式的解集为,试解关于的一元二次不等式.解答：法一：由题意可知,一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根是 1和2,故.又即关于 的一元二次不等式的解集为.法二：,即关于的一元二次不等式的解集为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点八 二次函数的应用例9. （2022北京春招）某租赁公司拥有汽车 100辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出, 当每辆车的月租金每增加 50元时,未租出的车将会增加一辆, 租出的车每辆每月需保护费 150元.未租出的车每辆每月需保护费 50元.（I ）当每辆车的月租金定为 3600元时,能租出多少辆车？（II ）当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 答 ：（ I ） 当每 辆车 的月 租金 定 为 3600 元 时 , 未租 出的 车辆 数 为,故租出了 88辆.（ II） 设 每 辆 车 月 租 金 定 为元 , 就 租 赁 公 司 的 月 收 益 为故当月租金定为 4050元时,租赁公司的月收益最大为 307050元.三、综合练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、小李从如下列图的二次函数yax2bxc的图象中,观看得出了下面四条信息：（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b 4ac 0.（2） c 1.（ 3） ab 0.（ 4）a b c 0.你认为其中错误的有 A. 2 个B. 3个C. 4 个D.1个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA1,4B4,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 1 题CODx（第 4 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知二次函数 yax2bxca0 经过点 M（ -1,2 ）和点 N（ 1,-2 ）,交 x 轴于 A, B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点,交 y 轴于 C 就 b2 .该二次函数图像与y 轴交与负半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 存在这样一个a,使得 M、 A、C 三点在同一条直线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a1,就OA OBOC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上说法正确的有：ABCD23、在平面直角坐标系中,假如抛物线y 2x 不动,而把x 轴、 y 轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是A y2 x + 222B y 2 x2 2 + 222C y2 x 2 2D y 2 x + 2+ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如图,点 A, B的坐标分别为（ 1,4 ）和（ 4, 4）, 抛物线 ya xm 2n的顶点在线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB上运动,与 x 轴交于 C、D 两点（ C在 D的左侧）,点 C的横坐标最小值为3 ,就点 D的横坐标最大值为 A 3B 1C 5D 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 抛物线 yax 2bxc 图像如下列图,就一次函数ybx4ac2b与反比例函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yabcx在同一坐标系内的图像大致为xxxxx6. 把抛物线轴的两个交点之间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是.237. 如图,菱形 ABCD的三个顶点在二次函数y=ax 2ax+2yA（ a 0）的BD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象上,点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点, 就点 D 的坐标为COx第 7 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 老师给出一个 y 关于 x 的函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限.乙：函数图象经过第一象限.丙：当x<2 时, y 随 x 的增大而减小.丁：当x<2 时 y>0. 已知这四位同学表达都正确.请写出满意上述全部性质的一个函数.9. 已知关于 x 的函数 y（ m1）x 2 2xm图像与坐标轴有且只有2 个交点,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m10. 如图, 已知 P 的半径为 2,圆心 P在抛物线 y轴相切时,圆心 P 的坐标为.1 x221 上运动, 当 P与 x第 10 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_o11. 如图,在第一象限内作射线OC, 与 x 轴的夹角为 30 , 在射线 OC上取一y2点 A,过点 A 作 AH x 轴于点 H. 在抛物线 y=x x>0 上取点 P,在 y 轴上取点 Q,使得以 P,O,Q为顶点的三角形与 AOH全等,就符合条件的点A 的坐标是.O12. 我们知道,依据二次函数的平移规律,可以由简洁的函数通过平移后得到较复杂的函数,事实上,对于其他函数也是如此.如一次函数,反比例函数等.请问y=x2ACHx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3x x2可以由1y1 通过平移得到.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_313 如图,点 P 的坐标为（ 2,2于点 N.作 PM AN交双曲线）,过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A,交双曲线kyx>0 于点 M,连结 AM.已知 PN=4.xkyx>0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求 k 的值 . （ 3 分）（2）求 APM的面积 . （ 3 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 如图,已知A4, n , B2,4) 是一次函数ykxb 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和反比例函数 ym的图象的两个交点x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求反比例函数和一次函数的解析式.(2) 求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及 AOB 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 求方程 kxbmx0 的解（请直接写出答案） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 求不等式 kxbmx0 的解集（请直接写出答案）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15.如图,在直角坐标系xOy 中,正方形 OABC的边长为 2cm,点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正半轴上.抛物线yx2bxc 经过点 B、C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求抛物线的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 点 D、E 分别是 AB、BC上的动点,且点 D 从点 A 开头, 以 1cm/s 的速度沿 AB向点 B 移动, 同时点 E 从点 B 开头,以 1cm/s 的速度沿 BC向点 C移动.运动 t 秒（ t 2）后,能否在抛物线上找到一点P,使得四边形 BEDP为平行四边形. 假如能, 恳求出 t值和点 P 的坐标.假如不能,请说明理由.yCEBDPOAx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 已知二次函数 yax2bxc,其中a0,b 24a 2c20 ,它的图象与 x 轴只有一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个交点,交点为 A,与 y 轴交于点 B,且 AB=2 .(1) 求二次函数解析式.(2) 当 b<0 时,过 A 的直线 y=x m与二次函数的图象交于点C,在线段 BC上依次取 D、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E 两点,如 DE 2BD 2EC 2 ,试确定DAE的度数,并简述求解过程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x 轴交于 A、B 两点, D 是抛物线的顶点, O 为坐标原点 . A、 B 两点的横坐标分别是方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24 x122.0 的两根,且 cos DAB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求抛物线的函数解析式.（2） 作 AC AD, AC交抛物线于点 C,求点 C 的坐标及直线AC的函数解析式.（3） 在（ 2）的条件下,在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点P,使 APC的面积最大？假如存在,恳求出点P 的坐标和 APC的最大面积.假如不存在,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_218. 如下列图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax +bx+3（ a0）经过A1,0、 B 3,0 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点,抛物线与 y 轴交点为 C,其顶点为 D,连接 BD,点 P 是线段 BD上一个动点（不与B、D 重合）,过点 P作 y 轴的垂线,垂足为E,连接 BE（ 1）求抛物线的解析式,并写出顶点D 的坐标.（ 2）假如 P 点的坐标为（ x,y）, PBE的面积为 s,求 s 与 x 的函数关系式,写出自变量 x 的取值范畴,并求出s 的最大值.（ 3）在（ 2）的条件下,当 s 取得最大值时,过点P作 x 的垂线,垂足为 F,连接 EF,把 PEF沿直线 EF折叠,点 P 的对应点为 P,请直接写出 P点坐标,并判定点 P是Dy否在该抛物线上C 32E 1PAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_321O123x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19. 已知：抛物线yax2bxc 经过点O 0,0, A 7,4,且对称轴l 与 x 轴交于点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 5,0 .（1） 求抛物线的表达式.（2） 如图, 点 E 、 F 分别是 y 轴、对称轴 l 上的点, 且四边形 EOBF 是矩形, 点C5, 5是2BF 上一点,将BOC 沿着直线 OC 翻折, B 点与线段 EF 上的 D 点重合,求 D 点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 在（2）的条件下, 点 G 是对称轴 l 上的点, 直线 DG 交 CO 于点 H ,SDOH: S DHC1: 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 G 点坐标 .ylDEFCOBx 第 3题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20. 如图,抛物线yax2bx3与x轴交于A, B两点,与 y 轴交于点C ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OBOC3OA （ I ）求抛物线的解析式.（ II ）探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点 P, A, C 为顶点的三角形为直角三角形？如存在,求出P 点坐标,如不存在,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ III）直线 y1 x1 交 y 轴于 D 点, E 为抛物线顶点如DBC,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CBE, 求的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 如图,二次函数的图象经过点D0 , 793 ,且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得的线段 AB的长为 6.求二次函数的解析式.在该抛物线的对称轴上找一点P,使 PA+PD最小,求出点P 的坐标.在抛物线上是否存在点Q,使 QAB与 ABC相像？假如存在, 求出点 Q的坐标. 假如不存在,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载