2022年等差数列知识点及类型题.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、数列由 an 与 Sn 的关系求 a n学习好资料欢迎下载等差数列学问点及类型题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sn 求 an时,要分 n=1 和 n 2 两种情形争论,然后验证两种情形可否用统一的解析式表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如不能,就用分段函数的形式表示为S1anSnSnn1.1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1依据以下条件,确定数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an分析：0, an222Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将无理问题有理化,而后利用an 与 Sn 的关系求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一种是利用定义,anan 1d 常数 n2 ,其次种是利用等差中项,即2anan 1an 1 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解挑选题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）通项法：如数列a n 的通项公式为n 的一次函数,即an =An+B,就a n 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）前 n 项和法：如数列a 的前 n 项和S 是 SAn2Bn 的形式（ A, B 是常数）,就 a 是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn列.注： 如判定一个数列不是等差数列,就只需说明任意连续三项不是等差数列即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列 a 的前 n 项和为S ,且满意 SS2SS0 n12, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证： 1Snnn 是等差数列.nn 1nn 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求an 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【变式】 已知数列 an的各项均为正数,a1 1.其前 n 项和 Sn 满意 2Sn 2pa2 an pp R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an 的通项公式为 （二）等差数列的基本运算学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、等差数列的通项公式a= a +（ n-1 ） d 及前 n 项和公式 Sna1an nan n1) d ,共涉及五个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n212量 a1 , an , d,n,Sn , “知三求二”,表达了用方程的思想 解决问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而们表示已知和未知是常用方法.a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 由于 Snd nadan1) d,故数列 Sn 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n222n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知数列 x 的首项x =3,通项 x2n pnqnN, p ,q为常数 ,且x , x , x 成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求：（ 1）n1np, q 的值.145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）数列 xn 的前 n 项和Sn 的公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： （1）由x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出p, q .（ 2）通过xn 利用条件分成两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求和的数列分别求和.（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d>0, 就数列递增.如d<0, 就数列递减.如d=0, 就数列为常数列. 2、等差数列的简洁性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列 an 是等差数列,Sn 是其前 n 项和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 m+n=p+q,就 amanapaq , 特殊：如 m+n=2p,就 aman2a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） am ,am k , am2k , am3k ,仍是等差数列,公差为kd;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）数列Sm , S2 m -Sm , S3m -S2 m ,L也是等差数列.S 奇a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4如等差数列的项数为 2 n nN,就 S 偶S 奇nd,S 偶.a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）如等差数列的项数为2n1 nN,就 S2n 12n1 an,且 S奇S奇nS 偶a n ,S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 假如数列a n , bn是等差数列,就数列can , can , a nbn ,panqbn也是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其中 c、p、q 均为常数）.典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1等差数列a n中, 如 Sn25, S2n100 ,就S3 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （厦门）在等差数列an中,a2a84 , 就 其前 9 项的和 S9 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 18B 27C 36D 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、（全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等差数列 a n的前 m 项和为30,前 2m 项和为 100,就它的前3m 项和为 A130B170C210D160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 湖北卷 已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为AnAn和 Bn ,且Bn7 n45n3,就使得an 为整数的bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正整数 n 的个数是（）A 2B 3C 4D56、已知方程 x2 2x m x2 2xn 0 的四个根组成一个首项为1的等差数列,就|m n|的值等于 47、在等差数列an中, a1 3,11a5 5a8 13,就数列 an的前 n 项和 Sn 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 如两个等差数列an和bn等差数列的最值：的前 n 项和分别为Sn 和 Tn ,且满意SnTn7n3 ,就 a8.n3b8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an 是等差数列,求前n 项和的最值时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 a1>0,d<0, 且满意an an 10,前 n 项和0Sn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 a1<0,d>0 ,且满意an an 10,前 n 项和0Sn 最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）除上面方法外,仍可将an 的前 n 项和的最值问题看作数的图象或配方法求解,留意nN.Sn 关于 n 的二次函数最值问题,利用二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4在等差数列an 中,a16a17a18a936 ,其前 n 项和为Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求Sn 的最小值,并求出Sn 取最小值时n 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求 Tna1a2an .an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：（ 1）可由已知条件,求出a1,d, 利用（ 2）将前面是负值的项转化为正值求解即可.例 5已知数列 an 是等差数列.an 1求解,亦可用0Sn 利用二次函数求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 am（ 2）如 Smn, an n, Snmmn, 求a m n ;mmn, 求Sm n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式】 已知数列 an 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的n N* ,满意关系式2Sn 3an 3.1求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设数列 bn 的通项公式是bn1log3an·log 3an1,前 n 项和为 Tn,求证：对于任意的正整数n,总有 Tn<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_跟踪训练1. 已知等差数列首项为2,末项为 62,公差为 4,就这个数列共有（ ）A 13 项 B 14 项 C 15 项 D16 项2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a,a 为常数,就公差d= （ ）3.在等差数列 a n 中,如 a1+a2=-18, a5 +a6=-2 ,就 30 是这个数列的（）A第 22 项 B 第 21 项 C 第 20 项 D第 19 项4.已知数列 a,-15 , b,c,45 是等差数列,就a+b+c 的值是（ ） A -5 B 0 C5 D10 5.已知等差数列 a n 中, a1+a2 +a3=-15 ,a3+a4=-16 ,就 a1 = （ ）A-1 B -3 C -5 D -76. 已知等差数列 a n 满意 a2+a7=2a3+a4,那么这个数列的首项是（ ）7. 已知数列 a n 是等差数列,且 a3+a11=40,就 a6+a7+a8 等于 （ ） A 84B 72C60D43 8.已知等差数列 a n 中, a1+a3 +a5=3,就 a2+a4= （ ）A 3B 2C 1D -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知数列a n：3 ,7 ,11 ,15 ,19,就191 在此数列a n中应是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A第 21 项 B 第 41 项 C 第 48 项 D第 49 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知数列 a 中, a3,前 n 和 S1 n1a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证：数列 an 是等差数列（2）求数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）设数列1an an 1的前 n 项和为Tn ,是否存在实数M ,使得 TnM 对一切正整数n 都成立？如存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 M 的最小值,如不存在,试说明理由.等差数列学问点及类型题一、数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 an 与 Sn 的关系求 a n学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sn 求 an时,要分 n=1 和 n 2 两种情形争论,然后验证两种情形可否用统一的解析式表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如不能,就用分段函数的形式表示为S1anSnSnn1.1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1依据以下条件,确定数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an分析：0, an222Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将无理问题有理化,而后利用an 与 Sn 的关系求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答：二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一种是利用定义,anan 1d 常数 n2) ,其次种是利用等差中项,即2anan 1an 1 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解挑选题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）通项法：如数列a n 的通项公式为n 的一次函数,即an =An+B,就a n 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）前 n 项和法：如数列a 的前 n 项和S 是 SAn2Bn 的形式（ A, B 是常数）,就 a 是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn列.注： 如判定一个数列不是等差数列,就只需说明任意连续三项不是等差数列即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列 a 的前 n 项和为S ,且满意 SS2SS0 n2, a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证： 1Snnn 是等差数列.nn 1nn 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求an 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： （1） SnSn 12Sn Sn 101 与1SnSn 1的关系结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由1Sn的关系式Sn 的关系式an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答：（ 1）等式两边同除以SS得1-1+2=0,即1 -1=2（n 2） . 1 是以1 = 1=2 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_首项,以2 为公差的等差数列.nn 1Sn 1SnSnSn 1SnS1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）知 1= 1 +（ n-1 ）d=2+n-1× 2=2n, S = 1, 当 n 2 时,a=2 S · S=1.又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnS1n2n1n1nnn 12nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a112,不适合上式,故an21.n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn1n【变式】 已知数列 an的各项均为正数,a1 1.其前 n 项和 Sn 满意 2Sn 2pa2 an pp R ,就 an的通项公式为 1 a1 1, 2a1 2pa2 a1 p, 即 2 2p 1 p,得 p 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 2Sn 2a2 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn当 n 2 时,有 2Sn 1 2a21 an 1 1,两式相减,得2an 2a2 2a2 1 an an 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n整理,得2an an 1 ·an an 1 121 0.nn1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 an>0 , an an 1 2,于是 an 是等差数列,故an 1 n 1 ·2.（二）等差数列的基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、等差数列的通项公式a= a +（ n-1 ） d 及前 n 项和公式 Sna1an nan n1d ,共涉及五个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n122量 a1 , an , d,n,Sn , “知三求二”,表达了用方程的思想 解决问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而们表示已知和未知是常用方法.a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 由于 Snd nadan1) d,故数列 Sn 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n222n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知数列 x 的首项x =3,通项 x2n pnqnN, p ,q为常数 ,且x , x , x 成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求：（ 1）n1np, q 的值.145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）数列 xn 的前 n 项和Sn 的公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： （1）由x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出p, q .（ 2）通过xn 利用条件分成两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求和的数列分别求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答 ：（ 1）由x1 =3 得 2 pq3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x2 4 p4q , x25 p5q, 且xx2x,得 325 p5q25 p8q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_45154由联立得p1,q1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）得 xn2 n n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d>0, 就数列递增.如d<0, 就数列递减.如d=0, 就数列为常数列. 2、等差数列的简洁性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列 an 是等差数列,Sn 是其前 n 项和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 m+n=p+q,就 amanapaq , 特殊：如 m+n=2p,就 aman2a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） am ,am k , am2k , am3k ,仍是等差数列,公差为kd;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）数列Sm , S2 m -Sm , S3m -S2 m ,L也是等差数列.S 奇a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4如等差数列的项数为 2 n nN,就 S 偶S 奇nd,S 偶.a n 1S奇n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）如等差数列的项数为2n1 nN,就 S2n 12n1 an ,且 S奇S 偶a n ,S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 假如数列a n , bn是等差数列,就数列can , can , a nbn ,panqbn也是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其中 c、p、q 均为常数）.典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1等差数列a n中, 如 Sn25, S2n100 ,就S3 n 225 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （厦门）在等差数列an中,a2a84 , 就 其前 9 项的和 S9 等于（ A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 18B 27C 36D 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、（全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 = 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等差数列 a n的前 m 项和为30,前2m 项和为 100,就它的前3m 项和为 CA130B170C210D160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 湖北卷 已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为AnAn和 Bn ,且Bn7 n45n3,就使得an为整数的bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正整数 n 的个数是（D）A 2B 3C 4D5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、已知方程2 2x m x2 2xn 0 的四个根组成一个首项为1的等差数列,就|m n|的值等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4如下列图, 易知抛物线y x2 2xm 与 y x2 2x n 有相同的对称轴x 1,它们与 x 轴的四个交点依次为A、B、C、D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 xA17, 就 xD . 4435可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又|AB | |BC | |CD|,所以 xB 4, xC 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_×故|m n| |14734 4×514| 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、在等差数列an中, a1 3,11a5 5a8 13,就数列 an的前 n 项和 Sn 的最小值为 设公差为d,就 11 34d 5 3 7d13,. d 59 数列 an为递增数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 an 0, 3 n 15 0, n 32,·95可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n N* .