2022年最新高中数学重点中学第22课时小结与复习教案湘教版必修 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 向量小结与复习（ 1）教学目的：1 明白本章学问网络结构；2 进一步熟识基本概念及运算律；3 懂得重要定理、公式并能娴熟应用；4 加强数学应用意识,提高分析问题,解决问题的才能 5 熟识事物之间的相互转化；6 培育同学的数学应用意识 教学重点： 突出本章重、难点内容 教学难点： 通过例题分析突出向量运算与实数运算的区分 授课类型： 复习课 课时支配： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法 : 自学辅导法 在给出本章的学问网络结构后,列出复习提纲,引导同学补充相关内容,同时加强同学 对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟识程度 教学过程 ：一、引入前面一段, 我们一起学习了向量的学问以及解斜三角形问题,决问题的方法这一节,我们开头对本章进行小结与复习 二本章学问 1 本章学问网络结构2 本章重点及难点并把握了肯定的分析问题解1 本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示,线段的定比分点,平移、正弦定理、余 弦定理及其在解斜三角形中的应用；2 本章的难点是向量的概念,向量运算法就的懂得和运用,已知两边和其中一边的对角 解斜三角形等；3 对于本章内容的学习,要留意体会数形结合的数学思想方法的应用 3 向量的概念 1 向量的基本要素：大小和方向名师归纳总结 2 向量的表示：几何表示法AB , a ；坐标表示法axiyjx,y3 向量的长第 1 页,共 7 页a 1度：即向量的大小,记作a 4 特别的向量：零向量a 0 a 0单位向量a为单位向量5 相等的向量：大小相等,方向相同x 1,y 1x 2,y 2x 1x 2y 1y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6 平行向量 共线向量 ：方向相同或相反的向量,称为平行向量记作 a b 由于向量可以进行任意的平移 即自由向量 ,平行向量总可以平移到同始终线上,故平行向量也称为共线向量4 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法a坐标方法y2运算性质bcb向1 平行四边形法就babba量ab cab的2 三角形法就x 1x 2,y 1加ABBCAC法向三角形法就aby2aba ba量ABBA的x 1x2,y 1减OBOAAB法1a 是一个向量 , 满意 : aa向ax,y 量aaa2>0 时,a 与 a 同向 ; 的<0 时,a 与 a 异向 ; 乘abab=0 时,a =0 法a babab是一个数abba向abab量1a0或b0时, ababcacc的ab=0 数2a0且b0时, x 1x2y 1y 2a2| a2 |a|x2y2量ab|a|b|cos a,b积|ab|a|b|5 重要定理、公式：1 平面对量基本定理实数e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对1,2,使a1e 12e 22 两个向量平行的充要条件名师归纳总结 aba bx 1y2x 2y 10第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 两个向量垂直的充要条件aba·bOx 1x 2y 1y 204 线段的定比分点公式设点 P分有向线段P 1P 2所成的比为 ,即P1P PP ,就OP 11OP 11OP 线段的定比分点的向量公式xx1x2, 线段定比分点的坐标公式1yy1y2.1当 1 时,得中点公式：OP 1 （2OP OP ）或xx 12x2,yy 12y2. 5 平移公式yxk设 点Px,y按 向 量ah,k平 移 后 得 到 点Px,y, 就O P OP + a 或xh , 曲 线yfx按 向 量ah,k平 移 后 所 得 的 曲 线 的 函 数 解 析 式 为 ：yyk.fxh6 正、余弦定理正弦定理：aAbBc2R .cosAb2c2a2sinsinsinC余弦定理：a2b2c22 bccosA2bcb2c2a22accosBcosBc2a2b22cac2a2b22abcosCcosCa2b2c22 ab三、讲解范例：例 1 在四边形 ABCD中, AB ·BC BC · CD CD ·DA DA ·AB ,试证明四边形 ABCD是矩形名师归纳总结 分析：要证明四边形ABCD是矩形,可以先证四边形ABCD为平行四边形,再证明其一组第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 邻边相互垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行摸索证明：设 AB a, BC b, CD c, DA d,就ab cdO ab（ cd两边平方得a22a·b b2 c22c· d d2,又 a·bc· d a2 b2 c2 d2（1）同理 a d2 b2 c2（2）由12 得 a2 c2, d2 b2,ac, db,即 ABCD,BCDA四边形 ABCD是平行四边形于是 AB CD ,即 a c,又 a·bb· c,故 a·bb· （ a）a·b O AB BC四边形 ABCD为矩形评述：向量具有二重性,一方面具有“ 形” 的特点,另一方面又具有一套优良的运算性质,因此,对于某些几何命题的抽象的证明,自然可以转化为向量的运算问题来解决,要注意体会例 2 设坐标平面上有三点A、B、 C, j 分别是坐标平面上x 轴, y 轴正方向的单位向量,如向量 AB 2j , BC j ,那么是否存在实数,使 A、 B、C三点共线分析：可以假设满意条件的存在,由 A、 B、C三点共线AB BC存在实数 ,使 AB BC ,从而建立方程来探究解法一：假设满意条件的存在,由 A、B、C三点共线,即AB BC ,存在实数 ,使 AB BC ,2j （j ）,m12 2当 2 时, A、B、C三点共线解法二：假设满意条件的存在,依据题意可知：（ 1,O）,j （ O,1） AB （ 1,O） 2（O,1）（ 1, 2）,BC （ 1,O） （O,1）（ 1,）,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由 A、B、C三点共线,即 ABBC,故 1· 1· （ 2） O解得 2当 2 时, A、B、C三点共线 评述： 1 共线向量的充要条件有两种不同的表示形式,但其本质是一样的,在运用中 各有特点,解题时可敏捷挑选2 此题是存在探干脆问题,这类问题一般有两种摸索方法,即假设存在法当存在时；假设否定法当不存在时 四、课堂练习：1 判定题1 AB BA O（）2O AB O（× ）（3） AB AC BC （× 2 挑选题已知 a,b 为两个单位向量,以下四个命题中正确选项 a 与 b 相等Aa 与 b 相等B假如 a 与 b 平行,那么Ca·b1Da2b2答案： D3 已知 A、B、C 是直线 上的顺次三点,指出向量 向相同的向量AB 、 AC 、 BA 、 CB 中,哪些是方答案： AB 与 AC 方向相同, BA 与 CB 方向相同4 已知 AC 为 AB 与 AD 的和向量,且AC a, BD b,分别用 a、b 表示 AB , AD解： AB 1 （ab）,2AD 1 （ab）25 已知 ABCDEF为正六边形, 且 AB a,AE b,用 a,b 表示向量 DE 、AD 、BC 、EF 、FA 、 CD 、 AC 、 CE解： DE a, AB ab, BC 1 （ab）, EF 21 （ab）, FA 21 （a b）,2CD 1 （ ba）, AC 23 a21 b, CE 21 b23 a 26 已知点 A 3, 4 、B（5, 12）1 求 AB 的坐标及 AB ；2 如 OC OA OB , OD OA OB ,求 OC 及 OD 的坐标；3 求 OA · OB 解： 1 AB （ 8, 8）, AB 8 2 2 OC （ 2, 16）, OD （ 8, 8）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 OA ·OB33 五、小结 通过本节学习,要求大家在明白向量学问网络结构基础上,进一步熟识基本概念及运算 律,并能娴熟重要定理、公式的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能 力 六、课后作业 ：七、板书设计 （略）八、课后记及备用资料：1 三点共线的证明 对于三点共线的证明,可以利用向量共线的充要条件证明,也可利用定比分点学问证明 由于,定比分点问题中所涉及的三个点必定共线,而三个点共线时,必定构成定比分点 例 1 已知 A（ 1, 1）、B（1,3）、C（2,5）,求证 A、B、C三点共线证明：设点B （ 1,y）是 AC 的一个分点,且A B ,就 112BC1解得 2y1 2 53 1 2 即点 B 与点 B 重合点 B 在 AC 上,点 B在 AC 上,A、 B、C三点共线 2 利用正、余弦定理判定三角形外形 例 2 依据以下条件,判定ABC的外形 1 acos Abcos B2sin2 sin2Bsin2C,且 c2acos BRsinAcosB,解： 1 acos AbcosBacosB2bcosA2RsinBcosA即 sin Acos Asin Bcos Bsin2 Asin2 B2A2B 或 2A 2B ABC是等腰三角形或直角三角形AB或 AB22 sin2Asin2Bsin2Ca2b2c2, a 2b 2c 22R2R2R2 B45° , A45°2故 ABC是直角三角形,且C9O° ,cos Ba ,代入 c2acosB c得 cosB综上,ABC是等腰直角三角形评注 1 条件中有边有角,一般须化边为角或化角为边,题1 也可以化角为边名师归纳总结 2 题 1 结论中用“ 或”,题 2 中用“ 且” 结论也就不同,切不行混淆第 6 页,共 7 页例 3 在 ABC中,如 a2b（bc）,就 A与 B 有何关系 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由正弦定理得sin2Asin B（sin Bsin C）sin2Asin2Bsin B·sin C,（sin A sin B）（sin Asin B） sin Bsin C,sin （A B）sin （AB） sin B·sin Csin （AB） sin C,sin （AB） sin B,AB B,A2B,或 A B B 舍去 故 A 与 B 的关系是 A2B3 利用正、余弦定理证明三角恒等式例 4 在 ABC中,求证a2b2c2tanB.a2b2c2tanC证明：由余弦定理,知a2b 2c22abcosC,a 2b 2c 22cacos B,tanB.a2b2c22abcosCbcosCsinBcosCa2b2c22cacosBccosBsinCcosBtanC评注：对于含有a2、b2、c2的形式,常用余弦定理化边为角例 5 在 ABC中,已知 2sin2A3sin2B3sin2Ccos2A3cosA3cos （BC） 1求： abc解：由得2a23b 23c 2cos A cos （BC）名师归纳总结 由得 3cos （BC） 3cos（BC） 1cos2A2sin2A 3sin2B3sin2C第 7 页,共 7 页cos （BC） cos（BC） sin2Bsin2C,2sin Bsin Csin2Bsin2C即（ sin Bsin C）2O,sin Bsin C,2Rsin B2Rsin C, bc 代入得a3 bab c3 bbb3 11- - - - - - -