数值计算方法--数值微分与数值积分.ppt
五. Gauss型求积公式,第7章 数值微分与数值积分,目的,求积公式:,当节点数n固定时, 选取适当的节点xk及系数Ak, 使其具有最高的代数精度.,为权函数.,对所有 精确成立.,Gauss型求积公式的思想,回顾: 若具有m次代数精度, 则:,其中,这里有m+1个方程, 未知量有2n个: xi, Ai (i=1,2,n),可以证明: 当m+12n, 即m2n-1时, 方程有解.,求积公式的最大代数精度,即, 当m=2n-1时, 可以找到一组解xk,Ak, 使积分公式成立, 即代数精度可以达到2n-1.,求积公式不精确.,第7章 数值微分与数值积分,Gauss型积分公式的定义,另一方面, 当m=2n时, 取一个特殊的多项式:,求积公式:,而精确解:,结论: n个节点的积分公式最高代数精度为2n-1.,对于n个节点的积分公式: , 如果具有,2n-1次代数精度, 则称为带权函数 的Gauss型求积公式. xi 称为Gauss点.,如何求Gauss点及积分系数,直接求解上面的非线性方程组比较困难, 可采用正交多项式来求.,Gauss点与正交多项式的关系,从简单问题得到的启示,第7章 数值微分与数值积分,当n=2, 要使 具有2n-1=3次代数精度,则对任意3次多项式P3(x),利用多项式除法,因为积分公式具有3次精度,对 成立.,精确成立.,从简单问题得到的启示（续）,第7章 数值微分与数值积分,分别取:,再取两个特殊的多项式, 如:,于是, 求积公式:,具有3次代数精度.,推广到一般n节点的情况,第7章 数值微分与数值积分,将任意不超过2n-1次的多项式写为:,其中,都是不超过n-1次的多项式.,要求积分公式具有2n-1次代数精度, 则,精确成立.,即,分别令q(x)=1,x,x2,xn-1, 得到n个方程, 解出xi (i=1,2,n). 下面证明, xi 一定是Gauss 点.,定理7.4 Gauss积分点的充要条件,第7章 数值微分与数值积分,即,n点积分公式 中, xi (i=1,n) 为Gauss 点,其中,的充要条件是, 对于任意不超过 n-1 次的多项式p(x), 与 在a,b区间上关于权函数 正交, 即,证明.必要性,若xi (i=1,n)为Gauss点, 则对于任意不超过n-1 次的多项式p(x), 是不超过2n-1 次的多项式, Gauss 积分精确成立, 即,必要性得证.,定理7.4 【证明】(续-1),第7章 数值微分与数值积分,充分性 对于任意不超过 n-1 次的多项式q(x), 正交条件成立:,对于任意不超过2n-1次多项式 , 总可以写成:,且,. (*),下面证明, 以xi 为积分点, 一定能找到合适的Ai, 使,精确成立.,这样, 积分公式至少具有2n-1次代数精度, xi 即为Gauss点.,为此, 取Ak 满足:,定理7.4 【证明】(续-2),第7章 数值微分与数值积分,对于任意不超过n-1次的多项式r(x), 可写成:,这样, 积分公式至少具有2n-1次代数精度, xi 即为Gauss点. 证毕#,即,注意到,于是, (*) 式:,精确成立.,Gauss点正好是正交多项式的根,第7章 数值微分与数值积分,由第6章定理6.3:,如果正交多项式 的k个根为: xi (i=1,k), 则:,c 是给定的常数.,对 次多项式Qk-1(x)成立.,设 是最高次系数非零的k次多项式, 则 是a,b上关于权函数 的正交多项式的充要条件是, 对任意次数不超过k-1次的多项式 , 都有:,由定理7.4, xi 一定是Gauss 积分点. 故Gauss点正好是正交多项式的根.,如何求Gauss积分系数Ai,第7章 数值微分与数值积分,分别取n-1次多项式:,则积分公式:,精确成立.,其中 也可写成:,故,其中,可分别取不超过n-1次多项式: 1, x, x2, , xn-1, 代入积分公式, 解n个联立方程组, 得到Ai. 这样做比较麻烦. 较方便的方法如下:,Gauss求积公式的误差及稳定性,定理7.5 Gauss 型求积公式的误差公式,第7章 数值微分与数值积分,设f(x)在a,b上2n阶连续可微, 则带权函数 的Gauss型求积公式的误差(余项)为:,证明.用节点x1,xn构造2n-1次的Hermite插值多项式H(x), 满足:,插值余项:,定理7.5 证明（续）,第7章 数值微分与数值积分,进一步还可以证明, 当 时, Gauss型求积公式收敛于精确解,在a,b内不变号,运用积分第一中值定理, 存在 , 使得:,证毕#,即,证明.(略),Gauss积分是数值稳定性的,第7章 数值微分与数值积分,Gauss求积时, 不会因为 Gauss 点数增加而使得舍入误差无限扩大 即, Gauss积分是数值稳定的.,证明.通常, Gauss点及积分系数是事先计算好的, 可以计算得比较精确. 因此, 误差主要来自于函数值的计算.,记函数值 的近似值为,则积分公式的计算误差:,记,则,下面证明:,Gauss积分数值稳定性的证明 (续),第7章 数值微分与数值积分,由于积分系数Ak 与被积函数无关, 分别取2n-2次函数:,Gauss积分精确成立:,xi 为Gauss积分点.,另外, Gauss积分对 也是精确的.,因此, 舍入误差E与积分点数 n 无关, Gauss积分是数值稳定的.,证毕#,积分公式的计算误差:,几种常见的Gauss 型求积公式,第7章 数值微分与数值积分,高斯-勒让德 (Gauss-Legendre) 求积公式,对于不同的权函数 , 选取不同的正交多项式, 从而推出不同的Gauss 求积公式.,Gauss-Legendre 求积公式的形式,Legendre多项式Pn(x) 是-1,1 区间上关于权函数 的正交多项式, 其形式为:,或者,Gauss 积分点为Legendre 多项式的零点. 书上表7-4列出了前6阶节点及系数.,求积公式:,Gauss-Legendre 求积公式中的系数,可以证明 (详见下页),第7章 数值微分与数值积分,例如, 对于n=3,可求得,因为,Gauss-Legendre 求积系数的证明,由Legendre多项式的递推关系式:,第7章 数值微分与数值积分,移项得, (1),将Pn(x)的零点(即Gauss积分点) xk 代入, 得:, (2),分别用n-1,2 代替n, 得:,将上面各式相加, 得,Gauss-Legendre求积系数的证明(续-1),第7章 数值微分与数值积分,注意到:,( 是 的根 ),或者,求积系数公式,Gauss-Legendre求积系数的证明(续-2),第7章 数值微分与数值积分,由正交多项式性质:,再利用Legendre多项式的关系式:,将 代入, 且已知,证毕#,Gauss-Legendre 积分的截断误差,对于Gauss-Legendre 积分,第7章 数值微分与数值积分,于是,由Gauss型积分截断误差的一般形式:,(利用正交关系),任意区间上Gauss-Legendre 积分公式,第7章 数值微分与数值积分,对于任意a,b区间上的积分:,作变换,将,其中,是-1,1区间上的Gauss-Legendre积分点与积分系数.,Gauss-Legendre 积分的例子,求:,【解】作变换,Gauss-Legendre 积分的例子 (续),若取n=2,第7章 数值微分与数值积分,误差,通常,在积分点数相同的情况下, Gauss积分精度总是高于N-C公式.,若用梯形公式(也是2个点),误差,高斯-切比雪夫求积公式,第7章 数值微分与数值积分,可以证明(详见下页),第一类Chebyshev多项式:,Gauss-Chebyshev 求积公式的形式,它的零点:,求积系数:,它是-1,1上关于权函数 的正交函数系.,求积公式:,于是, Gauss-Chebyshev积分公式:,Gauss-Chebyshev 积分系数,第7章 数值微分与数值积分,由递推关系式:, (2),分别用n-1,2 代替n, 得:,将上面各式相加, 得,两式相减, 得, (1), (n-1),Gauss-Chebyshev积分系数(续-1),第7章 数值微分与数值积分,令 , 由于,用 除以上式, 得,将 (*) 式代入, 得, (*),Chebyshev多项式的首项系数为 , 即,Gauss-Chebyshev 积分系数 (续-2),第7章 数值微分与数值积分,令, 则,证毕#,Gauss-Chebyshev 求积公式的误差,第7章 数值微分与数值积分,由Gauss积分的误差估计:,得Gauss-Chebyshev求积公式的误差估计:,由,高斯-拉盖尔求积公式,第7章 数值微分与数值积分,Laguerre多项式:,Gauss-Laguerre 求积公式的形式,它是0,上关于权函数 的正交函数系.,Gauss-Laguerre 求积公式的节点和系数,求积点为Laguerre多项式的零点, 求积系数:,可以证明,Gauss-Laguerre 求积公式的截断误差,利用正交性,一般形式的Gauss-Laguerre积分公式,第7章 数值微分与数值积分,利用Gauss-Laguerre求积公式:,求积分:,作变换:,将,Gauss-Laguerre 求积公式系数表,第7章 数值微分与数值积分,将Gauss-Laguerre 积分点及积分系数计算列表, 部分数据如下:,高斯-厄米特求积公式,第7章 数值微分与数值积分,Hermite多项式:,Gauss-Hermite 求积公式的形式,它是- ,+上关于权函数 的正交函数系.,求积点 xk 为Hermite多项式的零点, 求积系数:,可以证明,Gauss-Hermite 求积公式的截断误差,如何求:,作变换:,然后用积分公式即可.,Gauss-Hermite 求积公式系数表,第7章 数值微分与数值积分,将Gauss-Hermite 积分点及积分系数计算列表, 部分数据如下:,关于高斯型积分的几点总结,第7章 数值微分与数值积分,把所求积分化为区间-1,1, 0, 或 -,+ 上的形式, 根据被积函数确定用何种求积公式;,Gauss型积分的计算步骤,Gauss 型积分的优缺点及应用,选定Gauss积分的精度 (即积分点数n), 查表获得Gauss点xk 及系数 Ak;,按积分公式求积分的近似值.,优点:在积分点数确定的情况下, 它的代数精度是最高的; 或者说, 在获得相同的代数精度下, 它计算函数值的点数是最少的;,缺点: Gauss点xk 及系数 Ak须查表, 无法根据误差公式确定积分点数; 当增加节点时, 须重新查表计算所有的函数值;,应用: 在大规模力学计算中, 如有限元计算中, 经常要用到 Gauss积分, 应用十分广泛.,六. 振荡函数的积分,第7章 数值微分与数值积分,例子.,在工程计算中, 经常会遇到这类积分:,其中f(x)为非振荡函数, 为较大的正数. 如果采用Newton-Cotes积分或Gauss积分, 会引起较大的误差.,误差:,问题的提出,若用n=10 的复化梯形公式,精确解:,所以复化梯形公式连1位有效数字都无法保证.,计算积分:,例子（续）,第7章 数值微分与数值积分,若采用Gauss-Legendre 积分,用5个Gauss点 (n=5), 代数精度 2n-1=9,误差估计:,同样, 精度无法得到保证.,引起问题的原因,当较大时, 是高度振荡的函数, 很难用多项式精度来衡量.,求振荡函数积分的方法,第7章 数值微分与数值积分,基本思想,将a,b等分成n 个小区间, 在每个小区间上用低阶的多项式代替函数f(x), 然后求得精确的积分结果.,在xi,xi+1上对f(x)作线性插值.,具体表达式,记,或者,计算积分,计算得 (推导过程略),具体表达式（续）,第7章 数值微分与数值积分,计算积分,或者,其中,计算得 (推导过程略), (1),其中 同(1) 式.,例,第7章 数值微分与数值积分,计算积分:,取n=10,精确解: 两者十分接近.,分段积分的误差,第7章 数值微分与数值积分,由第5章分段线性插值得误差:,其中,同理,例. 计算积分 的误差,故用上述方法得到的积分结果是精确的.,
