2022年抛物线知识点归纳总结与习题 .docx

精品_精品资料_抛物线总结y 2 p2px0y 22 px p0x 2 p2 py0x 2 p2py0抛物线lyOFxFylOxyFOxyO Fl xl平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫定义做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M MF=点 M到直线 l 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴x0, yRx0, yRxR, y0xR, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p ,0焦点2顶点p ,00,2焦点在对称轴上O0,0p 0,p 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率e=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p准线x2方程顶点到准ppp xyy222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等.p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线的距离2焦点到准p1线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦半径Ax1, y1AFxp 21AFxp 21AFyp 21AFyp 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦 点弦长AB x1x2 p x1x2 p y1y2p y1y2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA x1, y1oFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点弦AB 的几条性质A x1, y1B x2, y2以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切2 p2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Bx2, y2 如 AB 的倾斜角为,就 ABsin 2如 AB 的倾斜角为,就 ABcos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 2x1x24y yp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1211AFBFAB2AFBFAFBFAFBFp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线y0 yp xx0 方程y0 yp xx0 x0 xp yy0 x0xp yy0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得：（ 1）当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点.（ 2）当 k0 时,0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点. =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点. 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点.（ 3）如直线与抛物线只有一个公共点 , 就直线与抛物线必相切吗 .（不肯定）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l ： ykxb抛物线, p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 联立方程法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxbk 2 x22 kbp xb20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 22 px可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设交点坐标为A x1 , y1 ,B x2,y2 ,就有0 , 以及 x1x2 , x1x2 ,仍可进一步求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1y2kx1bkx2bk x1x22b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 y2kx1b kx2bk 2x xkbx1x2 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如22a. 相交弦 AB的弦长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB1kx1x21k 2 x1x 24 x1 x21k 22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或AB112 y1y2k112 y1ky 24 y1 y21k 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. 中点M x0, y0 ,x0x1x2 , y 2y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 点差法： 设交点坐标为A x1, y1 , B x2,y2 ,代入抛物线方程,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y12 px12y22 px2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将两式相减,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y2 y1y22 p x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2x1x22 py1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. 在涉及斜率问题时,2 pkAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M x0, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y22 p2 pp ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2即k ABy1y2p ,2 y0y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,对于抛物线x22 py p0) ,如直线 l 与抛物线相交于A、B两点,点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M x0, y0 是弦 AB 的中点,就有kABx1x22 x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 p2 pp（留意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不同的交点, 2）直线的斜率存在,且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例 1、设 P是抛物线 y2 4x 上的一个动点(1) 求点 P到点 A 1,1 的距离与点 P到直线 x 1 的距离之和的最小值.2 如 B3,2 ,求| PB| | PF| 的最小值例 2、2022 ·山东高考 设 M x0,y0 为抛物线 C：x28y 上一 点,F 为抛物线C的焦点,以 F 为圆心、 | FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,就 y0 的取值范畴是 A 0,2B0,2 C 2 , D 2 , 二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、抛物线 y2 2px p>0 的焦点为 F,准线为 l ,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B两点,交准线于 C点,点 A 在 x 轴上方, AK l ,垂足为 K,如| BC| 2| BF| , 且| AF| 4,就 AKF的面积是A4B33C 43D 8例 4、过抛物线 y22px p>0 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l于点 C,如| BC| 2| BF| ,且| AF| 3 就此抛物线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y232292可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A xB y29xCy xDy 23x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、抛物线的综合问题例 5、2022 ·江西高考 已知过抛物线 y2 2px p>0 的焦点,斜率为 22的直线交抛物线于 A x1 ,y1 , B x2,y2 x1 <x2 两点,且 | AB| 9.(1) 求该抛物线的方程.(2) O为坐标原点, C为抛物线上一点,如 OC OA OB ,求的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、2022 ·湖南高考 13分 已知平面内一动点P 到点 F1,0 的距离与点 P到 y 轴的距离的差等于 1.(1) 求动点 P 的轨迹 C的方程.(2) 过点 F 作两条斜率存在且相互垂直的直线l 1,l 2,设 l 1 与轨迹 C相交于点 A, B,l 2 与轨迹 C相交于点 D,E,求 AD · EB 的最小值例 7、已知点 M1 ,y 在抛物线 C：y22px p>0 上,M点到抛物线 C的焦点 F 的距离为ly2,直线 ： b12x与抛物线 C交于 A, B两点(1) 求抛物线 C的方程.(2) 如以 AB为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题1. 已知抛物线 x2 ay 的焦点恰好为双曲线y2 x2 2 的上焦点,就 a 等于A1B4C8D162. 抛物线 y 4x2 上的一点 M到焦点的距离为 1,就点 M的纵坐标是1715715可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 16B 16C.16D. 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32022 ·辽宁高考 已知 F 是拋物线 y2x 的焦点, A,B 是该拋物线上的两点,| AF| | BF| 3,就线段 AB的中点到 y 轴的距离为357A.4B1C.4D.44已知抛物线 y2 2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A相离B相交C相切D不确定 52022 ·宜宾检测 已知 F 为抛物线 y28x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛 物 线 于A、 B两 点 , 就 | FA| | FB|的值 等 于A42B8C82D 166. 在 y2x2 上有一点 P,它到 A1,3 的距离与它到焦点的距离之和最小,就点P的坐标是 A 2,1B1,2C2,1D 1,27. 设抛物线 y28x 的焦点为 F,准线为 l , P 为抛物线上一点, PAl ,A 为垂足假如直线 AF的斜率为 3,那么 | PF| A43B8C83D16 82022 ·陕西高考 设抛物线的顶点在原点,准线方程为x 2,就抛物线的方程是A y2 8xBy2 8xC y2 4xDy2 4x92022 ·永州模拟 以抛物线 x2 16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为10. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,抛物线上一点 Q 3,m 到焦点的距离是 5,就抛物线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 已知抛物线 y2 4x 与直线 2xy 40 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点为F,那么|FA | |FB | .12. 过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A x1,y1 ,B x2, y 2 两点,如 x1 x26,那么 | AB| 等于 13. 依据以下条件求抛物线的标准方程：(1) 抛物线的焦点是双曲线 16 x2 9y2 144 的左顶点.2 过点 P2 , 4 14. 已知点 A 1,0 ,B1 , 1 ,抛物线 C： y24x, O 为坐标原点,过点 A的动直线 l 交抛物线 C于 M,P 两点,直线 MB交抛物线 C于另一点 Q. 如向量 OM与 OP 的夹角为 ,求 POM的面积4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、抛物线的定义及其应用例 1、1 如图,易知抛物线的焦点为 F1,0 ,准线是 x 1.由抛物线的定义知：点P 到直线 x 1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是,问题转化为：在曲线上求一点P,使点 P 到点 A 1,1 的距离与点 P 到F1,0 的距离之和最小 明显,连结 AF交曲线于 P 点,就所求的最小值为 | AF| , 即为5.(2) 如图,自点 B 作 BQ垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,就| P1Q| | P1F|. 就有| PB| | PF| | P1B| | P1Q| | BQ| 4. 即| PB| | PF| 的最小值为 4.例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p,即 p 4,依据已 知只要| FM|>4 即可依据抛物线定 | FM| y02 由 y0 2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范畴是 2 , 二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、设点 A x1,y1 ,其中 y1>0. 由点 B作抛物线的准线的垂线,垂足为 B1. 就有| BF| | BB| .又| CB| 2| FB| ,因此有 | CB| 2| BB| ,cosCBB| BB1|12111 ,| BC|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1CBB . 即直线 AB 与 x 轴的夹角为 . 又| AF| | AK| xp4,因此 y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_331 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4sin 23,因此 AKF的面积等于 1AK|1y14× 2343.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23|· 2×例 4分别过点 A、B 作 AA1、BB1 垂直于 l ,且垂足分别为 A1、B1,由已知条件 | BC| 2| BF| 得| BC| 2| BB1| , BCB130°,又 | AA1| | AF| 3,| AC| 2| AA1| 6, | CF| | AC| | AF| 633,F 为线段 AC的中点 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2|点 F 到准线的距离为 p1AA1|32,故抛物线的方程为y23x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、抛物线的综合问题p2例 5、1 直线 AB的方程是 y22 x p20,所以： x1 x25p,与 y22px 联立,从而有 4x2 5px| AB| x1x2p9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 ,由抛物线定义得：2所以 p4,从而抛物线方程是 y 8x.2 由 p4,4 x2 5pxp2 0 可简化为 x2 5x40,从而 x11,x24,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22,y242,从而 A1 , 22 , B4,42 .设 OC x3,y3 1 , 22 4,42 4 1,4222 y2又 38x3,即222 1 2 84 1 2即2 1 4 1. 解得0,或2.例 6、 1 设动点 P 的坐标为 x,y ,由题意有x12y2 | x| 1. 化简得y2 2x2| x|.当 x0 时, y24x.当 x<0 时, y0.所以,动点 P 的轨迹 C的方程为 y2 4x x 0 和 y0 x<0 2 由题意知,直线 l 1 的斜率存在且不为 0,设为 k,就 l 1 的方程为 yk x ykx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 由y2 4x,得 k2 x22 k24 xk20.7分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A x, y ,B x ,y ,就 x ,x是上述方程的两个实根,于是 x4x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11221212k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2 1.8分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 ll ,所以 l1的斜率为设 D x , y , E x ,y ,就同理可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122k.3344可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 x4 24k2, x3 x41. x1 1 x2 1 x31 · x4 1 x1x2 x1x2 1x3x4 x3 x4 111分· 1 2 4 112 4k2 184 k2 1 8 4× 2k2116.k2k2k222,即± 1 时, AD · EB 取最小值 16.k当且仅当 k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 、1 抛物线 y2 2px p>0的准线为xp,由抛物线定义和已知条件可知2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p| MF| 1 21p2,解得 p2,故所求抛物线 C的方程为 y24x. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 联立y1xb, 2消去 x 并化简整理得 y2 8y8b0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 4x依题意应有 64 32b>0,解得 b>2. 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,就 y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2 8,y y 8b,设圆心 Q x ,y ,就应用 x y1 y2y 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 20002, 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于以 AB为直径的圆与 x 轴相切,所以圆的半径为 r | y0 | 4.又| AB| x1x22y1 y2214y1 y2221 25y1y24y y 56432b所以 ABrbb| 2 56432 8,解得8. 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x4821x22b2y12b2y24b 16 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 ,就圆心 Q的坐标为 244) 故所求圆的方程为 x24 y4 216.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 练习题：1. 解析：依据抛物线方程可得其焦点坐标为 0 , aa ,双曲线的上焦点为 0,2 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意就有2 解得 a 8.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2. 解析：抛物线方程可化为 x2y 1 . 设 M x0,y0 ,就由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4,其准线方程为16抛物线的定义,可知 1 y 1. y 1500.16163. 解析：依据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到 y 轴的距离为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1| AF| BF|214315424 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 解析：设抛物线焦点弦为AB,中点为 M,准线 l ,A1、B1 分别为 A、B 在直线l 上的射影,就| AA| | AF| ,| BB| | BF| ,于是 M到 l 的距离 d 1AA| | BB|11|11211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ | AF| | BF| 2| AB| 半径,故相切2yx 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 解析：依题意 F2,0 ,所以直线方程为 yx 2 由y28x,消去 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 x212x 4 0. 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,就| FA| | FB| | x12 x22| | x1 x2 | x1x2 2 4x1x214416 82.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 解析：如下列图,直线 l 为抛物线 y 2x2 的准线, F 为其焦点, PN l , AN1 l ,由抛物线的定义知, | PF| | PN| , | AP| PF| | AP| | PN| | AN1| ,当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号 P点的横坐标与 A点的横坐标相同即为 1,就可排除 A、C、D. 答案： B 7解析：设抛物线 y28x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点, PAl ,A为垂足假如直线 AF的斜率为 3,那么| PF| A43B8C83D168. 解析：由准线方程 x 2,可知抛物线为焦点在 x 轴正 ,半轴上的标准方程,同时得 p4,所以标准方程为 y 2 2px8x9. 解析：抛物线的焦点为 F0,4 ,准线为 y 4,就圆心为 0,4 ,半径 r 8.所以,圆的方程为 x2 y4 264.410. 解析 ：设抛物线方程为x2 ay a0 ,就准线为 y a Q 3, m 在抛a4物线上, 9am. 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离, | m |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 5.m9a| 5,解得, a± 2,或 a± 18,所求抛物线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4将 a代入,得 a|方程为 x2 ± 2y,或 x2± 18y.y24x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 解析 ：由2xy40,消去 y,得 x2 5x40* ,方程 * 的两根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2为 A、B 两点的横坐标,故 x1x25,由于抛物线 y 4x 的焦点为 F1,0 ,所以|FA | |FB | x11 x2 1 712. 解析：因线段 AB过焦点 F,就| AB| | AF| | BF|. 又由抛物线的定义知 | AF|x11,| BF| x2 1,故| AB| x1 x228.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 解析：双曲线方程化为x2y29 1,左顶点为 3,0 ,由题意设抛物线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为y2 2px p>0,就16p 3, p 6,抛物线方程为 y2 12x. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由于 P2 , 4 在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ mx或 x2ny,代入 P点坐标求得 m 8, n 1,所求抛物线方程为 y2 8x 或 x2 y.y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yP14. 解：设点 M1y2, 1 , y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44,P,M,A 三点共线,kAMkPM,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y1 y2即y11, y y4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyyy2222,即1 21121 4y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 14 4y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ OM · OPy y 5. 向量 OM 与 OP 的夹角为 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 4 · 4 1 2415可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |OM | · | OP | · cos4 5. S POM|OM | · |OP | · sin . 242可编辑资料 - - - 欢迎下载