2022年数列高考知识点归纳 2.docx

精品_精品资料_数列高考学问点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数, 对于数列这种特殊函数, 着重争论它的定义域、 值域、 增减性和最值等方面的性质, 依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列.依值域分为：有界数列和无界数列.依增减性分为递增数列、递减数列和摇摆数列.数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）.数列通项： anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等差数列1、定义当 nN , 且 n2 时,总有an 1and , d常 , d 叫公差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通项公式ana1n1) d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 、从函数角度看andna1d 是 n 的一次函数,其图象是以点1,a1为端点 ,斜率为 d 斜线上一些可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_孤立点.2） 、从变形角度看anan n1d ,即可从两个不同方向熟悉同一数列,公差为相反数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 ana1n1d , ama1 m1) d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相减得 anamnmd ,即 anamnmd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 n>m,就以am 为第一项,an 是第 n-m+1 项,公差为 d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 n<m ,就am 以为第一项时,an 是第 m-n+1 项,公差为 -d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）、从进展的角度看如 an是等差数列, 就 apaq2a1 pq2) d,aman2a1mn2 d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此有如下命题：在等差数列中,如mnpq2 r ,就 amanapaq2ar .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、前 n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sna1a2an, Snanan 1a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相加得Sa1ann ,仍可表示为Snan n1 d, d0 ,是 n 的二次函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,由 a1a2n12an 可得S2n12 n1) an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、等比数列1、 定义当 nN , 且 n2 时,总有anan 1qq0 , q叫公比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通项公式：aa qn 1a qn m ,在等比数列中,如mnpq2mnpqr2r ,就 aaaaa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1m3、前 n 项和公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sna1a2an ,qSna2a3anan1 , 两式相减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 q1 时, S11n, q1) .当 q1 时 ,sna.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11q1q关于此公式可以从以下几方面熟悉：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不能忽视 S11q1n成立的条件： q1q1 .特殊是公比用字母表示时,要分类争论.公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如,公差为 d 的等差数列 a , Sa xa x2a xn,就 xSa x2a x3axna xn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn12nn12n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相减得Sn1xa xdx 2dxna xn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn 1dx 1xa xa xn 12n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时,S 1xa xa xn1 , S1ndx 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nn1x1x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时 ,Saaanann1d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 ）从函数角度看Sn 是 n 的函数,此时q 和a1 是常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等差与等比数列概念及性质对比表名称等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义aad , d常aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1an 2nan 1an 1an nN *n 1q, q常 ,ann 2an 1n 1 nN * an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa n1daa qn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n通项公式am1nm dn1ma qn m.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： a1an n1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnpq2rmnpq2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质aaaa2a .aaaa a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnpqrmnpqr d0可逆q1可逆 mn2 rmn2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项aa2 a .aaa2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnrmnr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性d0 时增a10, q1 或 a10,0q1 增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d0 时常数列d0 时减a10, q1 或 a10,0q1 时减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q1 经常数列, q0 时摇摆数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前Snna1an n 2Sa111qn q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项na1和nn21 d , d0a1an q , q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（推导方法：倒加法）（推导方法：错位相消法）snna1d0snna1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论 1、 an等差 , 公差 d , 就 kanb 等差 an等比 ,公比 q,就 kan等比, 公比 q ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差kd.子数列 an 22等比 , 公比q ; an等比, 公比q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ,a, a, a, mN * 等差 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk mk2 mk nm子数列 a, a , a ,a等比,公比q 2 ;如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差 md; 如 kn 等差 ,公差d1 ,就 akn kn 2442 nn等差 , 公差 d,就 ak 等比 ,公比为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d等差,公差 d1d .q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2、 a 等差 , 公差 d就 anan1 等差, an1等比 ,公比 q ,就an等比,公比 1 ;q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差 2d; an 1anan 1等差 ,公差 aaa3等比,公 比 q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3d.Sk , S2kSk , S3kS2 k等 差 ,公 差n 1 an 1nn 1anan 1等比,公比 q;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2d , 且 S3 SS . 即连续相同个S , SS , SS等比,公比qk ,（当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 k2 kkk2 kk3k2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数的和成等差数列.k 为偶数时, qk0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 an等差 . 公差 danam .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SmSnnmSm n0. an等比,公比 qn m an .am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snm, SmnSmn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4、等差 a 共 2n 项,就Q偶Q奇a1a3a2n1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q偶Q奇Q偶nd ,Q奇anan 1= a111q2 n q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差 an,共 2n+1 项,就Q偶a2a4a2 nq.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q奇a1a3a2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QQa中, Q偶n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶n 1Q奇n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 a 等差aad a 等比 ,公比 qn 1aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nSa1an na 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1S2n1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nSAn2BnSanknbnSan1, a0, a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a.2n 1n2n1联系 1、 各项不为 0 常数列,即是等差,又是等比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通项公式anS1 , n SS1., n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 13、a1a 2anand可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 等差,公差 d, c0, c1 ,就 c, cc, 即 c 等比,公比 c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 a 等比,公比 q, a0 a0, a1 ,loga1 ,loga2 ,logan , 即 logan 等差, 公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnaaaaalog q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 an等差 , bn 等比 ,就 anbn 前 n 项和求法,利用错位相消法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、求和方法：公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等.5、递推数列表示数列中相邻的如干项之间关系的式子叫数列递推公式.作为特殊的函数, 数列可用递推式表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求递推数列通项公式常用方法：公式法、 归纳法、 累加法、 累乘法. 特殊的, 累加法是求形如an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推数列的基本方法,其中数列f n可求前 n 项和,即 ana1a2a1anan 1.累乘法是求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形 如an 1g n an递 推 数 列 通 项 公 式 的 基 本 方 法 , 其 中 数 列 gn 可 求 前n项 积 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa2a3an, a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1a1a2an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一节等差数列的概念、性质及前n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题根一等差数列 a n 中, a6a9a12a1520,求 S20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路 等差数列前 n 项和公式 Sna1an nna1nn1 d ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221、 由已知直接求 a1 ,公差 d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 利用性质 mnpqamana paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题 由 a6a9a12a1520, a6a15a9a12a1a20,得2 a1a20 20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2010 ,Sna1a20 20100 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 敏捷应用通项性质可使运算过程简化. 请你试试 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 等差数列 a n满意 a1a2a1010,就有（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 a1a1010B、a2a1000C 、a3a990D 、a5151可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 等差数列中 , a3+a7- a10=8, a11- a4=4, 求S13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 1 变求和方法倒序相加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 变题 1等差数列 a n 共 10 项, a1a2a3a420, anan 1an 2an 360,求 Sn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想Sn 公式推导方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题 已知 a1a2a3a420 , anan 1an 2an 360 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 4aa80 ,得aa20 ,Sa1an n2010100 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 1 、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质：mnpqamana paq ,快捷精确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 求出 a1an 后运用“整体代换”手段奇妙解决问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 请你试试 1 21、 等差数列 a n 共 2k+1 项,全部奇数项和为S奇,全部偶数项和为 S偶,求 S奇 ： S偶的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 等差数列 a n 前 n 项和为 18 ,如S31,anan 1an 23 ,求项数 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的全部三位数的和.12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 求和SnC n2CnnCn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 2 变已知前 n 项和及前 m项和,如何求前 n+m项和 变题 2在等差数列 a n 中, Sn=a,S m=b,m>n ,求 Sn+m的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路 Sn , Sm , Sm n 下标存在关系： m+n=m+n, 这与通项性质mnpqamana paq 是否有关？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题 由 Sn=a,S m=Sn+a n+1 +an+2+ +am=b得 a n+1 +an+2+ +am =b-a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即an 12am mnba ,得an 1amba2mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由n+1+m=1+n+m,得 an+1+am=a1+am+n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 Sm na1am 2n mnan 12am mnba mmnn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 请你试试 1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、在等差数列 a n 中, S615 , S955 ,求S15.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在等差数列 a n 中, S31 , S93 ,求S12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 3 变已知已知前 n 项和及前 2n 项和,如何求前 3n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 变题 3在等差数列 a n 中,S1020 , S2040 ,求 S30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路 由 S10 , S20 , S30 查找S10 , S20S10 , S30S20 之间的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 题 设 数 列 a n公 差 为d,S10a1a2a10 ,S20S10a11a12a 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S30S20a21a22a30 , S20S10 S101010d , S30S20 S20S10 1010d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以S10 , S20S10 , S30S20成 等 差 数 列 , 公 差 100d,于 是2 S20S10 S10 S30S20 , 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S303S20S10 32060 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 1 、在等差数列a n 中,S10 , S20S10 , S30S20 成等差数列,即a1a2a10 , a11a12a20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a21a22a30 ,成等差数列,且S303S20S10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 可推广为S5n5 S3nS2n , S7n7 S4nS3n ,S2 k1 n2k1SknSk-1n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_请你试试 1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、在等差数列 a n 中, a1a23 , a3a46 ,求a7a8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在等差数列 a n 中, a1a2a1010 , a11a12a2020 ,求a31a32a40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、在等差数列 a n 中,S1020 , S2030 ,求 S50 及 S100 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、数列 a n 中, Sna , S2nb ,求S3n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、等差数列 a n 共有 3k 项,前 2k 项和S2k25,后 2k 项和S2k75 ,求中间 k 项和 S中 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2第 4 变 迁移变换 重视 Sx=Ax +Bx 的应用2 变题 4在等差数列 a n 中, Sn=m, Sm=n,m>n ,求 Sn+m的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思路 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,如所求问题与a1, d无关时,常设为 S=An +Bn 形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解题 由已知可设Sn=An +Bn=mSm=Am+Bm=n ,两式相减 ,得An+mn-m+Bn-m=m-n ,又 m>n ,所以AnmB1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m n得SAmn2Bmnmn AmnB mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 收成 “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化. 请你试试 1 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 在等差数列 a n 中,S1284 ,