2022年解三角形题型总结.docx

精品_精品资料_解三角形题型总结ABC 中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1由于 A B C ,所以 sin ABsin C,cos ABcosC,tan ABtan C .sin ACsin B,cos ACcos B,tan ACtan B .sin BCsin A,cosBCcos A,tan BCtan A由于 ABC,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 sin ABcos C , cos ABsinC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222. 大边对大角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在 ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA 2A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60°.ta·nB ·tanC;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a、 b、c 成等比数列 .二、 正弦定理 ：文字：在ABC 中,各边与其所对角的正弦的比值都相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号：a sin Ab sin Bc2 Rsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式变形：a2 Rsin Ab2 Rsin Bc2 Rsin C 边转化成角）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin Aa sin B 2Rb sin C 2 Rc（角转化成边）2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a : b : csinA : sinB : sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Aab sin Bcsin Ca sin Ab sin Bc2 Rsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、余弦定理 ：文字：在ABC 中,任意一边的平方,等于另外两边的平方和,减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号： a 2b2c22bc cos Ab 2a 2c22ac cos Bc2a 2b 22ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形：cos Ab 2c2a 22bccos Ba 2c2b2 2accos Ca 2b 2c22 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 面积公式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） S（ 3） S1 aha21 absin C（ 2） S1 bcsin A1 r abc （其中 r 为三角形内切圆半径）21 ac sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222五、 常见三角形的基本类型及解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）已知两角和一边（如已知A, B, 边 c ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：依据内角和求出角C依据正弦定理a AB .bc2 R 求出其余两边a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）已知两边和夹角（如已知a,b,C ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法：依据余弦定理c22a b2ab cos C 求出边 c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据余弦定理的变形依据内角和定理求角cos A Bb 2c2a 22bc AC .求 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）已知三边（如：a,b, c ）2b 2c2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：依据余弦定理的变形依据余弦定理的变形依据内角和定理求角cos A cos B C2bca 2c22 acAB求 A . b求角 B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 4）已知两边和其中一边对角（如：a,b, A ）（留意争论解的情形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 1：如只求第三边,用余弦定理：c2a 2b 2ab cos C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：如不是只求第三边,先用正弦定理asin Absin Bcsin C2 R 求 B （可能显现一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解,两解或无解的情形,见题型一）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再依据内角和定理求角C先看一道例题： AB . .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 在 ABC 中,已知 b6, c23, B300,求角 C.（答案： C450 或1350 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、 在 ABC 中,已知 a,b, A ,就 ABC 解的情形为：法一：几何法（不建议使用）（注：表中, A 为锐角时,如ab sin A ,无解. A 为钝角或直角时,如ab ,无解 .A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式解的个数ab sin Ab sin Aababab一解两解一解一解法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边结合正弦定理一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用 正弦定懂得决 “两边一对角 ”的类型模型：在ABC 中,已知边 a, b和角 A ,如不是求第三边c,用正弦定理.例 1： 在 ABC 中,已知a2,c2, A45 ,求 C.（答案：0C300 ）例 2： 在 ABC 中,已知b6, c23, B300,求 C.（答案： C450 或1350 ）例 3： 在 ABC 中,已知a2, b2 , B3002,求 A .（答案：无解）例 4：（ 3）在 ABC 中,已知a2,b1, B30 ,求 A .（答案：一解）0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1.在ABC 中,已知 a2,b3, B600 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在 ABC 中,已知 b3. 在 ABC 中,已知 a3 ,c23, c3, C4, A450 解三角形.600 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二、利用 正弦定懂得决 “已知两角一边 ”的类型两角一边（两角一对边,两角一夹边）模型 1：在 ABC 中,已知角 A, B 和边 a ,解三角形.模型 2：在 ABC 中,已知角 A, B 和边 c ,解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用正弦定理例题：例题 1：在ABC 中,已知 A300, B450 , a2 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：依据三角形内角和定理,得C1800 AB2218007501050 ,再依据正弦定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理asin Ab sin B, 得 ba s i Bn2s i An1222, 再 根据 余弦 定 理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2a 2b 22ab cos C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 c222 （22）22 2 22 cos105084 3 （ 26）2 ,所以 c26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上： C1050, b2 2, c26 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 2：在ABC 中,已知 B750, C450 , a2 3 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：依据三角形内角和定理,得A1800 BC18001200600 ,再依据正弦定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理asin Ab sin B, 得 b26a s i nB23 4s i nA3223226 , 再 根 据 正 弦 定 理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin Ac sin C,得 canisCnisA222 .综上, A32600, b26, c22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1 在 ABC 中,已知 B600 ,C150, c4 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 在 ABC 中,已知 A450 ,C600, b6 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型三、利用余弦定懂得决“已知两边一夹角 ”的类型模型：在ABC 中,已知边 a, b和角 C ,解三角形.用余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1：在 ABC 中,已知 a1, b2, C600 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解析：依据余弦定理c2222ab2ab cos C ,得 c12122 1 23 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 c3 ,再依据余弦定理,得cosBa2c2b212（3）2- 220 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000又由于 00B1800 ,所以 B0900 ,2ac2 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再依据内角和定理,得A180BC18015030 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上, A300 , B900, c3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1 在 ABC 中,已知 a4, b2, C600 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四、利用余弦定懂得决“已知三边 ”的类型模型：已知边 a, b, c 解三角形.依据余弦定理,cos Ab 2c2a 22bc,cos Ba 2c2b2,2 ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Ca2b 22abc2,分别求得角A, B, C （或依据内角和定理求得角C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1：在ABC 中,已知 a2,b4,c2 3 解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2c2a242 （23）2- 223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 析 ： 根 据 余 弦 定 理 , 得c o sA, 又 因 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bc2 4 2 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00A1800 ,所以 A300 ,再依据余弦定理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 cosBa2c2b222 （23）2 - 420 ,又 00B1800 ,所以 B900 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ac2 2 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再依据三角形内角和定理,得C1800 AB18001200600 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上, A300,B900, C600 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1 在 ABC 中,已知 a2, b3, c62解三角形.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型五、利用余弦定懂得决“已知两边一对角 ”的类型模型：在ABC 中,已知边 a, b和角 A ,如只求第三边 c,用余弦定理.模型：在 ABC 中,已知边 a,b 和角 A,如不是只求第三边c,用正弦定理.例题：例题 1：在ABC 中,已知 a2, c2 , A450 ,求边 b.解析：依据余弦定理a 2b 2c22bc cos A ,得 22b 2（ 2）22b2 cos 450 ,既 b22b20 ,解得 b13 或 b13 （舍去）,练习： 在 ABC 中,已知b6,c23, B30 ,求边 a.（答案：0a33 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型六、 三角形面积例 1在ABC 中, sin A积.cosA22, AC2 , AB3 ,求tan A 的值和ABC的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 sin Acos A 运算它的对偶关系式sin Acos A 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s i nA si nAcos A222c oA s12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 s i nAc Ao s12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0A1 8 0 ,sAi n0 A, c o s 0.另解 s i nA212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ s i nAs i nAc o sA 2cos A6212 s i nAc o sA3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 +得 sin A46 , 得 cosA26 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 tan Asin A cos A26442623 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABC1 ACABsin A 212326243 26 以下解法略去.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1 在 ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos2 A3cosBC1 .(I) 求角 A 的大小 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(II) 如 ABC 的面积 S53 , b5 ,求 sin Bsin C 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:I 由已知条件得 : cos2A3cos A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos 2 A3cos A20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 cos A11 ,角 A602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_IISbc sin A532c 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由余弦定理得 : a 221 ,2 R 2a28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin B sin Cbc54 R27sin2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2. 已知 ABC 的周长为21,且 sin Asin B2 sin C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）求边 AB 的长.（ II ）如 ABC的面积为 1 sin C ,求角 C 的度数6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I）由题意及正弦定理,得ABBCAC21, BCAC2 AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减,得 AB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）由ABC的面积 1BC ACsin C1 sin C ,得BC AC1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_263可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理, 得 cos CAC 2BC2AB 2 ACBC22 AC BCAB 21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 AC BC2 AC BC2所以 C60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 3在 ABC中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c2 , C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如 ABC的面积等于3 ,求 a, b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如 sin Csin BA2sin 2 A ,求 ABC的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）由余弦定理及已知条件得,a 2b2ab4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 ABC的面积等于3 ,所以 1 ab sin C23 ,得 ab4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立方程组a2b2ab4,a解得ab4,2 , b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由题意得 sin BAsin BA4sin A cos A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 sin B cos A2sinA cos A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 cos A0 时, A, B, a, b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 cos A20 时,得 sin B62sin3A ,由正弦定理得3b2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2ab4,2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立方程组解得 a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2a,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ABC的面积 S1 ab sin C23 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型七：看到“ a2 = b 2+c 2bc” 想到余弦定理例 1：在 ABC 中, a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长,已知 b2ac ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 a2c2=ac bc,求 A 的大小及bsin B c的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：因给出的是a、 b、c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边的关系,故可用余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦定理.由 b2 =ac 可变形为解法一： b2=ac.b 2c=a,再用正弦定理可求b sin B c的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a2 c222 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=ac bc, b +c=bc.222bcabc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在ABC 中,由余弦定理得： cosA=2bc= 2bc = 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A=60°.在ABC 中,由正弦定理得sinB= A=60°,bsinaA , b2=ac,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b sin Bcb 2 sin 60 ac=sin603=° 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：在 ABC 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由面积公式得1 bcsinA= 21 acsinB.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b2=ac, A=60 °, bcsinA=b2sinB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b sin Bc=sin A=3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述： 解三角形时, 找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型八：利用正、余弦定理判定三角形外形 边角互化问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.在 ABC 中,已知2 sinA cos Bsin C,那么ABC 肯定是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 1：由2 sinA cos Bsin C sinA B sin AcosB cosAsin B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 sin AcosB cosAsinB 0,得 sin A B 0,得 AB应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：由题意,得 cosB sin Cc,再由余弦定理,得cosB222acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin A2a2 ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222acb 2acc ,即 a b ,得 a b,应选 B 222a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：判定三角形外形,通常用两种典型方法：统一化为角,再判定如解法 1,统一化为边,再判定 如解法 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 2. 在 ABC 中,如 ab 2tan A tan B,试判定 ABC 的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：故 ABC 为等腰三角形或直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1. 在 ABC 中,a cos Abcos,判定 ABC 的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：ABC 为等腰三角形或直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2、在ABC 中,a 2 sin Bb2 sinA , 这个三角形是三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 3、 在ABC中, acsin A且 sinC2sin Asin B,判定ABC的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型九：三角形中最值问题例 1 ABC 的三个内角为 A、B、C并求出这个最大值.,求当 A 为何值时, cos A2cosBC取得最大值,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由 A+B+C=,得 B+C = A ,所以有B+Ccos=sinA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222B+CA2AAA1