2022年椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - （一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 、F 的距离之和等于定长（大于|F F 2|）的点的轨迹叫做 椭圆 ；这两个定点F 、F 叫做椭圆的 焦点 ,两焦点的距离|F F 2|叫做椭圆的 焦距；对椭圆定义的几点说明：（1）“ 在平面内” 是前提,否就得不到平面图形（去掉这个条件,我们将得到一个椭球 面）；（2）“ 两个定点” 的设定不同于圆的定义中的“ 一个定点”,学习时留意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“ 常数” ,必需满意大于 | F1F2| 这个条件； 如不然,当这个“ 常数” 等于 | F1F2| 时,我们得到的是线段 F1F2；当这个“ 常数” 小于 | F1F2| 时,无轨迹；这两种特别情形,同学们必需留意；（4）下面我们对椭圆进行进一步观看,发觉它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心, 我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得 | A1A2|的值就是那个“ 常数”,且 |B 2F2|+|B2F1| 、|B1F2|+|B1F1| 也等于那个“ 常数”；同学们想一想其中的道理；（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上, y 轴上的椭圆标准方程分别为：x2y21ab0,y2x21ab0,（第一个椭圆的a2b2a2b2相同点是：外形相同、大小相同；都有 a > b > 0 ,2 ac22 b ；不同点是： 两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同焦点坐标为（ c,0）和（ c,0）,其次个椭圆的焦点坐标为（焦点在 x 轴上 标准方程中 x 2 项的分母较大；椭圆的焦点在的分母较大；（二）椭圆的几何性质：0, c）和（ 0,c）；椭圆的 y 轴上 标准方程中 y 2 项椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质,只名师归纳总结 要x2x2y211abb00的 有 关 性 质 中 横 坐标x 和 纵 坐 标y 互 换, 就 可 以 得 出第 1 页,共 28 页a22 by2a的有关性质；总结如下：2 a2b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 几点说明：（1）长轴：线段（2）对于离心率A A ,长为 2a ；短轴：线段B B ,长为 2b ；焦点在长轴上；e,由于 a>c>0,所以 0<e<1,离心率反映了椭圆的扁平程度；由于eca22 b12 b,所以 e 越趋近于 1,b 越趋近于 0 ,椭圆越扁平； eaaa2越趋近于 0, b 越趋近于 a ,椭圆越圆；（3）观看下图,|OB2|b OF2|c ,所以|B F 2|a ,所以椭圆的离心率e = cosOF2B2（三）直线与椭圆：直线 l ：AxByC0（ A 、 B 不同时为 0）通过方程组的解的椭圆 C ：x2y21ab02 ab2那么如何来判定直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组,个数来判定直线和椭圆交点的情形；方法如下：名师归纳总结 AxByC10消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,化简后形式如下第 2 页,共 28 页2 xy2a22 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - mx2nxp0m0,n24 mp（1）当 0时,方程组有两组解,故直线与椭圆有两个交点；（2）当 0 时,方程组有一解,直线与椭圆有一个公共点（相切）；（3）当 0时,方程组无解,直线和椭圆没有公共点；注：当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,那么线段 AB 的长度（即弦长）为 | AB | x 1 x 2 2 y 1 y 2 2,设直线的斜率为 k ,可得：| AB | x 1 x 2 2 k x 1 x 2 21 k 2 | x 1 x 2 |,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出；典型例题一例 1椭圆的一个顶点为A2,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解：（1）当A2,为长轴端点时,a2,b1,是不能确定椭圆椭圆的标准方程为：x2y21；41（2）当A2,为短轴端点时,b2,a4,椭圆的标准方程为：x2y21；416说明： 椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,的横竖的,因而要考虑两种情形典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率解：2ca2213 c2a2,c3e1333说明： 求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 含 a 和 c 的齐次方程,再化含 e 的方程,解方程即可典型例题三a ,求 c ,再求比二是列名师归纳总结 例 3 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线xy10交于 A 、B 两点,M 为 AB第 3 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为解： 由题意,设椭圆方程为ax22y221,a2xy102x2ax0由x 2y21,得12 a2,求椭圆的方程x Mx 12x21a2,yM214xM112,a2akOMyM111,a,xa24Mx2y2为所求4说明：（ 1）此题求椭圆方程采纳的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题,常常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆x2y21上不同三点Ax 1,y 1,B9 4,5,Cx 2,y2与焦点F4,的距离259成等差数列（1）求证x 1x28；（2）如线段 AC 的垂直平分线与 证明：（1）由椭圆方程知 a 5,x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k b 3,c 4名师归纳总结 由圆锥曲线的统肯定义知：AFx 19c a,第 4 页,共 28 页a2cAFa5ex 154x 15同理CF4x 2,5AFCF2BF,且BF554x 154x218,555即x 1x28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由于线段 AC 的中点为4,y 12y2,所以它的垂直平分线方程为y y 1 y 2 x 1 x 2 x 42 y 1 y 2又点 T 在 x 轴上,设其坐标为 x 0,代入上式,得2 2x 0 4 y 1 y 22 x 1 x 2又点 A x 1,y 1,B x 2,y 2 都在椭圆上,y 1 2 9 25 x 1 2252 9 2y 2 25 x 225y 1 2y 2 2 9x 1 x 2 x 1 x 225将此式代入,并利用 x 1 x 2 8 的结论得x 0 4 36259kBT 5 0 54 0x 4典型例题五例 5 已知椭圆x2y21,F 、F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使 M 到左准43线 l 的距离 MN 是MF 1与MF 2的等比中项？如存在,就求出点M 的坐标；如不存在,请说明理由解：假设 M 存在,设Mx 1,y 1,由已知条件得a2,b3,c1,e1 2左准线 l 的方程是x4,MN4x 1又由焦半径公式知：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - MF 1aex 121x 1,2MF 2aex 121x 12MN2MF 1MF2,x 1x 14221x 12122整理得52 x 132x 1480解之得1x4或1x125另一方面21x2M 不存在就与冲突,所以满意条件的点说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,依据已知条 件进行推理和运算进而依据推理得到的结果,再作判定（3）本例也可设M2cos,3sin存在,推出冲突结论（读者自己完成）典型例题六例 6 已知椭圆x2y21,求过点P1,12 2且被 P 平分的弦所在的直线方程2分析一： 已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k,利用条件求k解法一： 设所求直线的斜率为k ,就直线方程为y1kx1代入椭圆方程,并22整理得名师归纳总结 12 k2x22 k22 kx1k2k301x 、x 、1y 、2y 的方程组,从第 6 页,共 28 页22由韦达定理得x 1x22 k22k12 k2k1 P 是弦中点,x 1x21故得2所以所求直线方程为2x4y30y2,列关于分析二： 设弦两端坐标为x ,y 1、x ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而求斜率：y1y 2x 1x 2解法二： 设过P1,12 2的直线与椭圆交于Ax 1,y 1、Bx2,y2,就由题意得x 1 22 y 11,22 x 2y 2 21,2x 1x 21,y 1y 21.得2 x 12x22 y 1y2022y21,即直线的斜率为1将、代入得y 1x 1x222所求直线方程为2x4y30说明：（1）有关弦中点的问题,主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“ 点差法”,解决有关弦中点问题的题较便利,要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“ 韦达定理应用” 及“ 点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程名师归纳总结 b2（1）长轴长是短轴长的2 倍,且过点2,6；y26a2148,第 7 页,共 28 页（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机相互垂直,且焦距为1求出分析： 当方程有两种形式时,应分别求解,如（1）题中由x22b2a37,在得方程x2y21后,不能依此写出另一方程y2x211483714837解：（1）设椭圆的标准方程为x2y21或y2x21a2b2a2b2由已知a2 b又过点2,6,因此有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22621或62221a2b2a2b2由、,得 a 2 148,b 237 或 a 252,b 213故所求的方程为2 2 2 2x y1 或 y x 1148 37 52 132 2（2）设方程为 x2 y2 1由已知,c 3,b c 3,所以 a 2 18故所求方程a b2 2为 x y 118 9说明： 依据条件求椭圆的标准方程的思路是“ 选标准,定参数”关键在于焦点的位置2 2 2 2是否确定,如不能确定,应设方程 x2 y2 1 或 y2 x2 1a b a b典型例题八例 8 椭圆x2y21的右焦点为 F ,过点A1,3,点 M 在椭圆上, 当AM2MF1612为最小值时,求点M 的坐标分析： 此题的关键是求出离心率最小值一般地,求AM,1MFe解： 由已知：a4c2l：x8e1,把2MF转化为 M 到右准线的距离,从而得2均可用此法所以e1,右准线2过 A 作AQl, 垂 足 为 Q , 交 椭 圆 于 M , 故e1,MQ2MF明显AM2MF的最小值为AQ ,即 M为所求点,因此yM3,且 M 在椭圆上故x M23所以M23,3说明： 此题关键在于未知式AM2MF中的“2” 的处理事实上,如图,2即 MF 是 M 到右准线的距离的一半,即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点M,使M到 A的距离与到右准线距离之和取最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 典型例题九例 9 求椭圆x2y21上的点到直线xy60的距离的最小值3分析： 先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为x3cos,设椭圆上的点的坐标为3cos,sin,就点到ysin.直线的距离为dsin3cossin62sin3262当31时,d最小值22说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e3,已知点P3 0,2到2这个椭圆上的点的最远距离是7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标分析： 此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的才能,在求 d的最大 值时,要留意争论 b 的取值范畴此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要 善于应用不等式、平面几何、三角等学问解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结 合的思想,提高规律推理才能名师归纳总结 解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是x2y21,其中ab0待定第 9 页,共 28 页a2b2由e2c2a2a2b21b2可得a2a2b1e2131,即a2 ba42设椭圆上的点x,y到点 P 的距离是 d ,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d2x2y32a21y2y23y92b24名师归纳总结 P4 b23 y23 y93y124 b233,1到点第 10 页,共 28 页42其中byb假如b1,就当yb时,2 d （从而 d ）有最大值2由题设得72b32,由此得b731,与b1冲突2222因此必有b1成立,于是当y1时,2 d （从而 d ）有最大值22由题设得724 b23,可得b1,a2所求椭圆方程是x2y2141由y1及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点3,1,点222b0,待定,3 0,2的距离是7 解法二： 依据题设条件,可取椭圆的参数方程是xacos,其中a0ybsin2,为参数由2 ec2a22 a2 b1b2可得2 aab1e2131,即a2 ba42设椭圆上的点x,y到点P0,32的距离为 d ,就d22 xy32a22 cosbsin32224 b23 b22 s i n3 bs i n94- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 3 bs i n124 b232 b假如1 2 b1,即bb1,就当sinb1时,2 d （从而 d ）有最大值112由题设得7232,由此得731,与b1冲突,因此必有22222b成立于是当sin1时d （从而 d ）有最大值23,1,3,12 b由题设知724 b23,b1,a2所求椭圆的参数方程是x2cosysin由sin1,cos3 2,可得椭圆上的是222典型例题十一例 11 设 x ,y R,2 x 2 3 y 2 6 x,求 x 2y 22 x 的最大值和最小值2 2分析： 此题的关键是利用形数结合,观看方程 2 x 3 y 6 x 与椭圆方程的结构一致设 x 2 y 2 2 x m,明显它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解： 由2x293y26x,得x32y212342点可见它表示一个椭圆,其中心在2, 点,焦点在 x 轴上,且过（ 0,0）点和（ 3, 0）设x2y22xm,就1,0）半径为m1 m1x12y2m1它表示一个圆,其圆心为（名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在同一坐标系中作出椭圆及圆,如下列图观看图形可知,当圆过（0,0）点时,半径最小,即2m211,此时m0；当圆过（3,0）点时,半径最大, 即m14,m15xy2x的最小值为0,最大值为15典型例题十二2 2例 12 已知椭圆 C：x2 y2 1 a b 0, A、 B 是其长轴的两个端点a b（1）过一个焦点 F 作垂直于长轴的弦 P P,求证：不论 a 、b 如何变化,APB 120（2）假如椭圆上存在一个点 Q ,使 AQB 120,求 C 的离心率 e 的取值范畴分析： 此题从已知条件动身,两问都应从 APB和 AQB 的正切值动身做出估量,因此要从点的坐标、斜率入手此题的第（2）问中,其关键是依据什么去列出离心率 e满意的 不 等 式 , 只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质 ：x a,y b, 根 据 A QB 120 得 到22 2 ay2 2 3,将 x 2a 2 a2 y 2代入,消去 x ,用 a 、b 、c 表示 y ,以便利用 y bx y a b列出不等式这里要求思路清晰,运算精确,一气呵成名师归纳总结 解：（1）设Fc,Aa,Ba,第 12 页,共 28 页xcP2 c,bab22 xa2y22 ab2b2a于是k APa2 ba,k BPaccAPB 是 AP 到 BP 的角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tanAPBab2aab2a2 a2ccb42c21a2ac22 2a ctan APB 2故 tan APB 3APB 120（2）设 Q x,y,就 kQA y,kQB yx a x a由于对称性,不妨设 y 0,于是 AQB 是 QA 到 QB 的角y ytan AQB x a x2 a2 2 ay2 21 2 y2 x y ax aAQB 120,2 2 ay2 2 3x y a整理得 3 x 2y 2a 2 2 ay 02x 2a 2 a2 y 2b23 1 a2 y 22 ay 0b2y 0,y 2 ab23 c2y b,2 ab2 b3 c2 2 2 2 22 ab 3 c,4 a a c 3 c4 c 4 4 a 2c 2 4 a 4 0,3 e 44 e 24 0e 2 3或 e 22（舍）,6e 12 3典型例题十三名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 13 已知椭圆kx28y21的离心率e1,求 k 的值92分析： 分两种情形进行争论解：当椭圆的焦点在x 轴上时,a2kb28,b289,得c21kk1由e1,得k42当椭圆的焦点在y 轴上时,a292,k,得c由 e 1,得 1 k 1,即 k 52 9 4 4满意条件的 k 4 或 k 54说明： 此题易显现漏解排除错误的方法是：由于 k 8圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上故必需进行争论典型例题十四与 9 的大小关系不定,所以椭例 14 已知椭圆x2y21上一点 P 到右焦点F 的距离为 bb1 ,求 P 到左准线4 b2b2的距离分析： 利用椭圆的两个定义,或利用其次定义和椭圆两准线的距离求解名师归纳总结 解法一： 由x2y21,得a2 b,c3 b,e33 2第 14 页,共 28 页4 b2b2由椭圆定义,PF 1PF 22 a4 b,得,PF 14 bPF 24 bb3 b由椭圆其次定义,PF 1e,d 为 P 到左准线的距离,d 1d 1PF 123 b,e即 P 到左准线的距离为23 b解法二： PF 2e,d 为 P 到右准线的距离,ecd2a2d2PF 2233be又椭圆两准线的距离为2a2833bc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P 到左准线的距离为833b233b23 b说明： 运用椭圆的其次定义时,要留意焦点和准线的同侧性否就就会产生误会椭圆有两个定义, 是从不同的角度反映椭圆的特点,解题时要敏捷挑选,运用自如 一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第肯定义； 假如遇到动点到定直线的距离问题,就用椭圆的其次定义典型例题十五例 15 设椭圆x4cos,.为参数 上一点 P 与x轴正向所成角POx3,求y23sinP 点坐标分析： 利用参数与POx 之间的关系求解解： 设P4cos,23sin,由 P 与 x 轴正向所成角为3,tan3243sin,即tan2cos而sin0,cos0,由此得到cos5,sin255,5 P 点坐标为455,4155典型例题十六例 16 设Px0,y 0是离心率为 e 的椭圆x2y21可将椭圆上点到焦点的距离转化a2b2ab0上的一点, P 到左焦点F 和右焦点F 的距离分别为1r 和2r ,求证：r 1aex 0,r 2aex 0分析： 此题考查椭圆的两个定义,利用椭圆其次定义,为点到相应准线距离名师归纳总结 解： P 点到椭圆的左准线l：xa2的距离,PQrx0aa2,第 15 页,共 28 页cc由椭圆其次定义,PF1e,2a1ex0PQr 1ePQaex 0,由椭圆第肯定义,r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 说明： 此题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时,有着广泛的应用请写出椭圆焦点在 y 轴上的焦半径公式典型例题十七2 2例 17 已知椭圆 x y 1 内有一点 A 1 , 1 ,F 、F 29 5分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆上一点1 求 PA PF 1 的最大值、 最小值及对应的点 P 坐标；2求PA3 PF 22的最小值及对应的点P 的坐标一是目标函数当,分析：此题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法：即代数方法二是数形结合,即几何方法此题如按先建立目标函数,再求最值,就不易解决；如抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解名师归纳总结 解 ： 1 如 上 图 ,2a6,F 22,0 ,AF 22, 设 P 是 椭 圆 上 任 一 点 , 由第 16 页,共 28 页PF 1PF 22 a6,PAPF 2AF 2,PAPF 1PF 1PF 2AF 22 aAF 262,等号仅当PAPF 2AF 2时成立,此时 P 、 A、F 共线由PAPF 2AF 2,PAPF 1PF 1PF 2AF 22 aAF 262,等号仅当PAPF 2AF 2时成立,此时P 、 A 、F 共线建立 A 、F 的直线方程xy20,解方程组x2 xy92,0得两交点52 y451P9152,5152、2P9152,5152714714714714综上所述,P 点与1P 重合时,PAPF 1取最小值62, P 点与P 重合时,PAPF 2取最大值622如下图, 设 P 是椭圆上任一点, 作 PQ 垂直椭圆右准线, Q 为垂足, 由a3,c2,e2 由椭圆第 二定义 知PF 2e2, PQ3 PF 22,PQ33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PA 3PF 2 PA PQ,要使其和最小需有 A 、P 、29Q 共线,即求 A到右准线距离右准线方程为 x2 A到右准线距离为 7 此时 P 点纵坐标与 A 点纵坐标2相同为 1,代入椭圆得满意条件的点P 坐标