2022年根据递推公式,求数列通项公式的常用方法总结归纳 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求递推数列通项公式的常用方法归纳目录一、概述· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·二、等差数列通项公式和前 n 项和公式· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1、等差数列通项公式的推导过程· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2、等差数列前 n 项和公式的推导过程· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·三、一般的递推数列通项公式的常用方法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·名师归纳总结 1、公式法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·第 1 页,共 11 页 2、归纳猜想法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3、累加法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4、累乘法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5、构造新函数法 待定系数法）· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6、倒数变换法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7、特点根法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 108、不动点法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9、换元法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·、取对数法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11、周期法· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、概述在高中数学课程内容中,数列作为离散函数的典型代表之一,不仅在高中数学中具有重要位置,而且,在现实生活中有着特别广泛的作用,同时,数列的教学也是培育观看、分析、归纳、 猜想、 规律推理以及运用数学学问提出问题、分析问题和解决问题的必不行少的重要途径；数列这一章包蕴着多种数学思想及方法,如函数思想、方程思想,而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法,把握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的懂得, 而且运用数学思想方法解决问题的过程,往往能诱发学问的迁移,使同学产生举一反三、融会贯穿的解决多数列问题；在这一章主要用到了以下几中数学方法：1、不完全归纳法 不完全归纳法不但可以培育同学的数学直观,而且可以帮忙同学有效的解决问题,在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法；2、倒叙相加法等差数列前n 项和公式的推导过程中,就依据等差数列的特点,很好的应用了倒叙相加法,而且在这一章的许多问题都直接或间接地用到了这种方法；3、错位相减法 错位相减法是另一类数列求和的方法,它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化,并且是多个数求和的问题；等比数列的前 到了这种思想方法；n 项和公式的推导就用4、函数的思想方法 数列本身就是一个特别的函数,而且是离散的函数,因此在解题过程中,特别在遇到等差数列与等比数列这两类特别的数列时,可以将它们看成一个函数,进而运用函数的性质和特点来解决问题；5、方程的思想方法数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n 项和前 n 项和这些量的数学公式,而公式本身就是一个等式,因此,在求这些数学量的过程中,可将它们看成相应的已知量和未知数,通过公式建立关于求未知量的方程,可以使解题变得清楚、明白,而且简化明白题过程；二、等差数列通项公式和前n 项和公式第一节：等差数列前 n 项和的推导过程1、等差数列通项公式：1可以从等差数列特点及定义来引入；定义： n2时,有 anan 1=d,就：a2=a1d 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载a3=a2d=a12d a4=a3d=a13d a5=a4d=a14d 推测并写出 an=？（2）实行累加a2 a1=d a3 a2=d a4 a3=d an an 1=d 累加后,有：an a1=n 1d ,即：an=a1 n1d ；2、等差数列前 n 项和：方法一：高斯算法（即首尾相加法）1 + 2 + 3 + +50+51+ +98+99+100= ？1+100=101, 2+99=101, ,50+51=101 ,所以原式 =50（1+101）=5050 就利用高斯算法,简洁进行类比,过程如下：其中aa1aa2aa3a.aan2nan1an.1n2n13a2.名师归纳总结 如mnpq,就amanapaq第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载这里用到了等差数列的性质：问题是一共有多少个a1a n,同学自然想到对n 取奇偶进行争论；（1）当 n 为偶数时：S na 1nnanan1an22Sa 1an2（2）当 n 为奇数时：S na 1aan11an1an211a n分析到这里发觉n221“ 落单” 了,好像遇到了阻碍,此时勉励同学不能舍弃,在2老师的适当引导下,不难发觉,an1的角标与a 1a n角标的关系2S nn21a 1anan1n1n 取奇偶进行争论,思路自2n21a 1a na n212a2na 1anna 1an2从而得到,无论n 取奇数仍是偶数,S n2总结：（1）类比高斯算法将首尾分组进行“ 配对”,发觉需要对然,简洁把握；（2）不少资料对 n 取奇数时的处理方法是,当争论进行不下去时转向寻求其它解决方法,进而引出倒序相加求和法；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法二：学习必备欢迎下载n 的争论呢？接下来给出实际问题：对 n 的奇偶进行争论有点麻烦,能否回避对伐木工人是如何快速运算堆放在木场的木头根数呢？由此引入倒序相加求和法；S na 1a2an1an让同学在S na nan1a2a 1两式相加得：2S nna 1anS nna 1a n2总结：（1）数学学习需要最优化的学习,因此引导同学去寻求更有效的解决方法,解决问题的同时也体会到同一个问题有不同的解决方法,而我们需要的是具备高效率的方法；（2）倒序相加求和法是重要的数学思想,方法比公式本身更为重要,为以后数列求和的学习做好了铺垫；（3）在过程中体会数学的对称美；三、 一般的递推数列通项公式的常用方法一、公式法例 1、 已知无穷数列an的前 n 项和为S ,并且anS n1 nN*,求an的通项公式？名师归纳总结 【解析】：S n1a ,an1S n1S nanan1,an11a ,又a 11,第 5 页,共 11 页22a n1n. n2与提设条件,建2反思：利用相关数列an与S n的关系：a 1S ,anS nS n1立递推关系,是此题求解的关键. an再利用数学归纳法证二、 归纳猜想法 ：由数列前几项用不完全归纳推测出数列的通项公式,明其正确性,这种方法叫归纳法. 例 2、 已知数列an中,a 11,an2 an11 n2,求数列的通项公式 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】：a 11,an2an1学习必备,欢迎下载13,a32a 2171 n2a22 a 1推测 a n 2 n 1 n N *,再用数学归纳法证明 .（略）反思： 用归纳法求递推数列,第一要熟识一般数列的通项公式,再就是肯定要用数学归纳法证明其正确性 . 三 、累加法 ：利用 a n a 1 a 2 a 1 a n a n 1 求通项公式的方法称为累加法；累加法是求型如 a n 1 a n f n 的递推数列通项公式的基本方法（f n 可求前 n 项和） . n例 3 、 已 知 无 穷 数 列 a n 的 的 通 项 公 式 是 a n 1, 如 数 列 nb 满 足 b 1 1,2n1 b n 1 b n n 1,求数列 b n 的通项公式 . 2n【解析】：b 1 1 , b n 1 b n 1 n 1 , b n b 1 b 2 b 1 b n b n 1 =1+1 +.+ 2 2n 1 n 11= 2 1. 2 2反思 :用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 a n 1 a n f n ；四 、累乘法 :利用恒等式 a n a 1 a 2 a 3 a n a n 0, n 2 求通项公式的方法称为累乘法 ,a a 2 a n 1累乘法是求型如 : a n 1 g n a n 的递推数列通项公式的基本方法 数列 g n 可求前 n 项积；例 4、 已知a 11,ann a n1a nnN*,求数列an通项公式 . nq0,n2= ）【解析】：ann a n1a n,an1nn1,又有ana 1a 2a 3a n1aa na a2an1×2 1×3××n= n ,当n1时a 11,满意a nn ,a nn . 2n-10,d0反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为a n1g n an. 五、构造新数列 （待定系数法） : 将递推公式a n+1qand （q d 为常数,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通过an1xq anx学习必备欢迎下载1qd1q a nd 1的方法叫构与原递推公式恒等变成a nq造新数列,也即是待定系数法；例 5、已知数列 a n 中, a 1 1 , a n 2 a n 1 1 n 2 ,求 a n 的通项公式 . 【解析】 :利用 a n x 2 a n 1 x ,求得 a n 1 2 a n 1 1 , a n 1 是首项为a 1 1 2 ,公比为 2 的等比数列 ,即 a n 1 2 n, a n 2 n 1反思：构造新数列的实质是通过 a n 1 x q a n x 来构造一个我们所熟知的等差或等比数列 . 六 、倒数变换 ：将递推数列an1candc0,d0,取倒数变成11d11的形a na nc anc式的方法叫倒数变换；然后就转变为第五种情形,此时将数列1看成一个新的数列,即an再利用“ 构造新数列” 的方法求解；例 6、 已知数列 a n n N * 中, a 1 1 , a n 1 a n,求数列 a n 的通项公式 . 2 a n 1【解析】 :将 a n 1 a n 取倒数得 : 1 2 1, 1 1 2 , 1 是以 1 12 a n 1 a n 1 a n a n 1 a n a n a 1为首项 ,公差为 2 的等差数列 . 1 1 2 n 1 , a n 1. a n 2 n 1反思 :倒数变换有两个要点需要留意 :一是取倒数 .二是肯定要留意新数列的首项 ,公差或公比变化了；七、 特点根法： 形如递推公式为an2pan1qan（其中 p, q 均为常数）；an, 方 程对 于 由 递 推 公 式an2pan1qan, 有a 1, a 2给 出 的 数 列x2pxq0,叫做数列an的特点方程；如x 1, x2是特点方程的两个根,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当x 1x2时,数列an的通项为an学习必备n1欢迎下载,其中A ,B 由a 1, a2打算AxBxn112（即把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2 和 n ,1 2,代入 a n Ax 1 n 1 Bx 2 n 1,得到关于 A、B 的方程组）；当 x 1 x 2 时,数列 a n 的通项为 a n A Bn x 1 n 1,其中 A,B 由 a 1 ,a 2 打算（即n 1把 a 1 , a 2 , x 1 , x 2 和 n ,1 2,代入 a n A Bn x 1,得到关于 A、B 的方程组）；例 7: 数列 a n 满意 3 a n 2 5 a n 1 2 a n 0 n 0 , n N ,a 1 a , a 2 b ,求 a n【解析】：由题可知数列的特点方程是：3 x 2 5 x 2 0；x 1 ,1 x 2 2, 3n 1 n 1 2 n 1a n Ax 1 Bx 2 A B ；又由 a 1 a , a 2 b,于是3ab A A B2B B A 33 b a 2b a 故 a n 3 b 2 a 3 a b 23 n 13反思：此题解题的关键是先求出特点方程的根；再由初始值确定出 A,B 的用已知量 a,b表示的值,从而可得数列 a n的通项公式；八、不动点法如 A,B0 且 AD-BC0 ,解xAxD,设,1为其两根an的通项公CxDI、如,数列a an n是等比数列；2a2,求数列II 、如,数列是等差数列；an117an例 8、已知数列an满意an2a3n式；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】：令x7x2,得2学习必备4 x欢迎下载0,就 x=1 是函数fx3x1x222x34x7的不动点；7 a n 2 5 a n 5由于 a n 1 1 12 a n 3 2 a n 33 5所以 a n 11 1 25 a a nn 5 35 2 aa nn 21 25 1a n 21 a n 11 25,所以 数列 1 是以 1 11 为首项,以 2为公差的等差数列,就a n 1 a 1 1 2 1 51 1 n 1 2,故 an 2 n 8；a n 1 5 2 n 3反思：此题解题的关键是先求出函数 f x 3 x 1的不动点,即方程 x 7 x 2的4 x 7 2 x 3根 x 1,进而可推出a n 11 1 a n 11 5 2,从而可知数列 a n 11 为等差1数列,再求出数列 a n 1 的通项公式,最终求出数列 a n 的通项公式；九、换元法 即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示,从而使递推数列看起来更简单,更易找到解决的方法；例 9、 已知数列an满意an11 14an124an,a11,16名师归纳总结 求数列an的通项公式；24an,就an1b2 n1 第 9 页,共 11 页【解析】：令bn124故an11 1b2 n124- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入an1114an学习必备24欢迎下载得1an161 b 2n 1 1 1 1 4 1 b 2n 1 b n 24 16 24即 4 b 2n 1 b n 3 2由于 b n 1 24 a n 0,故 b n 1 1 24 a n 1 0就 2 b n 1 b n 3,即 b n 1 1b n 3,2 2可化为 b n 1 3 1 b n 3 ,21所以 b n 3 是以 b 1 3 1 24 a 1 3 1 24 1 3 2 为首项, 以 2为公比的等比数列,因此 b n 3 2 12 n 1 12 n 2,就 b n 12 n 2+3,即1 24 a n 12 n 2 3,得 a n 23 14 n 12 n 13；反思：此题解题的关键是通过将 1 24 a n 的换元为 b n,使得所给递推关系式转化1 3b n 12 b n2 形 式 , 从 而 可 知 数 列 b n 3 为 等 比 数 列 , 进 而 求 出 数 列 b n 3 的通项公式,最终再求出数列 a n 的通项公式；r十、取对数法：形如 a n 1 pa n p 0 , a n 0 这种类型一般是等式两边取对数后转化为 a n 1 pa n q,再利用构造新数列（待定系数法）求解；名师归纳总结 例 10：已知数列a 中,a1,1an11a2 na0,求数列a n的通项公式.；第 10 页,共 11 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】：由an1b n1学习必备欢迎下载ana12n1；a2两边取对数得lgan12lganlg1,ana令b nlgan,就2 b nlg1,再利用构造新数列 （待定系数法） 解得：1aa十一、周期型 ： 由已知递推式运算出前几项,查找周期；此题型一般是在不能运用以上各种方法的情形下可考虑到这种方法,具有肯定的探干脆,虽然比较简洁, 但也是一种很重要的数学思想,需要好好把握；2 a n,0a n1,如a16,就a20的值为 _；2例 11：如数列an满意an12 a n,117a n1 2反思：此题的关键在于观看递推数列的形式,取一些特定的n 的值,求出数列的前几项的值,从而找到其周期,这样问题就迎刃而解了；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页