2022年高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结精华版.docx

精品_精品资料_集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元 素 的 确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3. 集合的表示： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R1 ）列举法： a,b,c 2 ）描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法. xR| x-3>2 ,x| x-3>23 ）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 ）Venn 图:4 、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x 2 = 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集留意： AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分,.（ 2） A与 B 是同一集合.反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BA2 “相等”关系： A=B5 5,且 55,就 5=5实例：设A=x|x 2-1=0B=-1,1“元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集.AA真子集 :假如 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB或 BA假如 AB, BC , 那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集, 2 n-1 个真子集三、集合的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运交集并集补集算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型定 由全部属于 A 义 且属于 B 的元素 所 组 成 的集 合 , 叫 做A,B 的 交集记作 A B（读作 A 交B ）, 即AB= x|x A,且由全部属于集 合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集记作：AB（读作 A并B）,即 AB=x|xA , 或xB设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集, 由 S 中所 有不 属 于 A 的 元 素 组 成 的集合, 叫做 S 中子集 A的补集（或余集） 记作 CS A ,即CSA=S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xB韦AB恩图 1图示 x| xAB图 2S,且xASA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性 AA=AAA=ACu ACu B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A= A=A= C u ABAB=BAAB=BACu ACu BABAAB= C u AB质ABBABBACuA=UACuA=例题：1. 以下四组对象,能构成集合的是（）A 某班全部高个子的同学B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2. 集合 a, b , c 的真子集共有个3. 如集合 M=y|y=x2 -2x+1,xR,N=x|x 0,就 M 与 N 的关系是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设集合 A=x 1x2 , B=x xa ,如 AB,就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有 40 人,化学试验做得正确得有31 人,两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有人.6.用 描 述 法表示 图中 阴 影部 分的 点 （ 含 边 界上 的点） 组成 的 集合M=.7.已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2-mx+m2-19=0,如 BC, A C= ,求 m 的值二、函数的有关概念1 函数的概念：设 A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域. 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域留意：1 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零.(2) 偶次方根的被开方数不小于零.(3) 对数式的真数必需大于零.(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和函数值的字母无关） .定义域一样 两点必需同时具备见课本 21 页相关例 2 2 值域 : 先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx, xA 中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px, y的集合C,叫做函数y=fx,xA 的图象 C 上每一点的坐标x, y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x, y,均在 C 上 .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4 区间的概念（1） ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2） ）无穷区间（3） ）区间的数轴表 示 5 映射一般的,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“ f（ 对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f： AB 来说,就应满意：(1) 集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的.(2) 集合 A 中不同的元素, 在集合 B 中对应的象可以是同一个.(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxxA, 就 y=fgx=FxxA称为 f、g 的复合函数.二函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （1） ）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x 1<x 2 时,都有fx 1<fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2,当x1<x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx 在这个区间上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质.（2） ） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1 ,x 2D ,且 x 1<x 2.2 作差 fx 1 fx 2.3 变形（通常是因式分解和配方） .4 定号（即判定差 fx 1 fx 2 的正负）.5 下结论（指出函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性）(B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数 f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律： “同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8 函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般的,对于函数 fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（ 2）奇函数一般的,对于函数 fx 的定义域内的任意一个x,都有 f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.2确定 f x 与 fx 的关系.3作出相应结论： 如 f x = fx 或 f x fx = 0 , 就 fx 是偶函数.如 f x = fx 或 fx fx = 0 , 就 fx 是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数 .如对称, 1 再依据定义判定 ; 2 由 f-x ±fx= 0 或 fx f-x= ±1 来判定 ; 3 利用定理,或借助函数的图象判定.9 、函数的解析表达式（ 1）.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就, 二是要求出函数的定义域 .（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10 函数最大（小）值（定义见课本p36 页）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a ,b 上单调递增,在区间 b , c上单调递减就函数 y=fx 在 x=b 处有最大值 fb .假如函数 y=fx 在区间 a ,b 上单调递减,在区间 b , c上单调递增就函数 y=fx 在 x=b 处有最小值 fb . 例题：11. 求以下函数的定义域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx 22 x15x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yx33x12. 设函数 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 f x 2 的定义域为 _可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如函数f x1) 的定义域为 2,3 ,就函数f 2 x1) 的定义域是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 函数f xx2 1x2x x22) ,如f x3,就 x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求以下函数的值域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 yx2 x3 xR yx22x3x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 yx12x4yx24x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知函数f x1x24x ,求函数f x,f 2x1) 的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知函数fx满意 2fxf x3x4,就f x =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设fx是 R 上的奇函数, 且当 x0, 时, f xx13 x ,就当 x,0 时f x=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在 R 上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 yx22x3 yx22x3 yx26 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 判定函数 yx1的单调性并证明你的结论 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11xx22判定它的奇偶性并且求证：f 1 x11. 设函数f xf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载