2022年高三数学第一轮总复习考点教学设计数列归纳法.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案高三数学第一轮总复习考点教学设计数列归纳法高考命题分析数学归纳法在高考试题中常以解答题显现,主要有证明不等式、证明恒等式和整除三个方面的应用,考题又以数列问题为背景.值得留意的是将数学归纳法与探干脆的问题综合起来显现一些特别新奇的题型.考点回忆：1. 数学归纳法的内容：数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要方法,它的内容是：（ 1）验证当n 取第一个值n 0 时结论正确,这一步骤称为奠基步骤,是归纳的基础.（ 2）假设当 nk kN, 且kk0 时结论成立, 并以此推出当nk1时结论成立,这一步骤称为递推步骤.2. 数学归纳法的应用：在应用数学归纳法时要重点把握以下几种类型：（ 1）等式问题（ 2）不等式问题（ 3）数列问题（ 4）整除问题考点训练EG1 、自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为连续利用这一资源,需从宏观上考察其再生才能及捕捞强度对鱼群总量的影响 . 用 xn 表示某鱼群在第n 年年初的总量,nN * ,且 x1 0.不考虑其它因素,设在第n 年内鱼群的繁衍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与x 2 成正比,这些比例系数依次为正常数a, b,c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（1）求 xn+1 与 xn 的关系式.（2）推测：当且仅当x1, a, b,c 满意什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（ 3）设 a2, b 1, c=1,为保证对任意x1（ 0,2）,都有 xn0, nN * ,就捕捞强度b 的最大答应值是多少？证明你的结论 .解（ 1）从第 n 年初到第n+1 年初,鱼群的繁衍量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1ncx2 ,因此xxaxnbxncx 2 , nN * .*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n即xn 1xn ab1cxn , nN * .*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ） 如 每 年 年 初 鱼 群 总 量 保 持 不 变 , 就xn恒 等 于x1 ,n N*, 从 而 由 （ * ） 式 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn abcxn 恒等于0,nN *, 所以 abcx1ab0.即x1.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 x1>0,所以 a>b.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推测：当且仅当a>b ,且x1时,每年年初鱼群的总量保持不变.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如 b 的值使得xn>0 ,n N*由 xn+1=xn3 bxn, nN*,知0<xn<3 b, n N*,特殊的,有0<x1<3 b. 即 0<b<3 x1.而 x1 0, 2,所以 b0,1由此推测 b 的最大答应值是1.下证 当 x1 0, 2 , b=1 时,都有xn 0, 2, n N*当 n=1 时,结论明显成立.假设当 n=k 时结论成立,即xk 0, 2,就当 n=k+1 时, xk+1 =xk2 xk>0.又由于 xk+1=xk2 xk= xk 12+1 1<2,所以 xk+1 0, 2 ,故当 n=k+1 时结论也成立.由、可知,对于任意的n N* ,都有 xn 0,2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案综上所述,为保证对任意x1 0, 2, 都有 xn>0, n N* ,就捕捞强度b 的最大答应值是1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG2、已知数列 a n的各项都是正数,且满意: a 01, an 1a n , 42an , nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）证明 a nan 12, nN ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求数列 an 的通项公式an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（1）方法一用数学归纳法证明：13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1°当 n=1 时, a 01, a1a0 42a 0 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 0a12 ,命题正确 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2°假设 n=k 时有ak 1a k2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 nk1时, a k1a k 11a k 1 42a k 1 1 a 4k2ak 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a k 11a k ak 12a k a k 1a k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a k 12ak 4ak 1a k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 a k 1a k0.4a k 1ak0,aka k 10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a k 11 a 4k2ak 1 42a k2 2 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nk1时命题正确 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 1°、 2°知,对一切n N 时有a na n 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：用数学归纳法证明：13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1°当 n=1 时, a01,a1a 0 42a0 , 02a0a12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2°假设 n=k 时有a k 1a k2 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x1 x42x ,f x在0 , 2 上单调递增,所以由假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有： f ak 1 f ak f 2, 即 1 ak21 4ak 1 14ak2a k 12422,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也即当 n=k+1 时a kak 12 成立,所以对一切n11N , 有aka k 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）下面来求数列的通项：an 1an 42a n an224, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a n 12a n2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令bnan2, 就bn12bn 1211221bn 2 2211 22222bn 11 1 22n 1n22b0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 b0= 1,所以 bn 1 2 n2,即an2bn2 12 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG3 、 已 知 函 数f xx3 xx11.设 数 列 a n 满 足a11,a n 1f an , 数 列 bn 满 足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn| an3 |,Snb1b2bn nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）用数学归纳法证明bn31 n.2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明Sn23 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本学问,考查运用数学归纳法解决有关问题的才能,满分12 分.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：当x0时,f x11.由于 a1=1,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a n1 nN *.2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面用数学归纳法证明不等式3bnn21 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）当 n=1 时, b1=31 ,不等式成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）假设当n=k 时,不等式成立,即bk31 kk 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么bk 1| ak 13 |31 | ak3 |6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b31k231 k 12 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,当n=k+1 时,不等也成立.依据（ 1）和（ 2）,可知不等式对任意n N* 都成立.8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：由（）知,3bn2 n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以Snb1b2bn31312231 n2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实战训练1、已知某个命题与正整数有关,假如当 nkkN * 时该命题成立,那么可以推得nk1时该命题也成立.现已可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知 n5 时该命题不成立,就C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_An4 时该命题成立BCn4 时该命题不成立Dn6时该命题不成立 n6时该命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、用数学归纳法证明: 1112312 n1n nN * , n1 时,在证明过程的其次步从n=k 到 n=k+1 成立时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边增加的项数是.2 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、设平面内有n 条直线（ n 3）,其中有且仅有两条直线相互平行,任意三直线不过同一点.如用f n 表示这 n 条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线交点的个数,f 4=.当 n>4 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n=.（用 n 表示） 14 5,1 n22 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_114、已知不等式2311 logn22 n, 其中 n 为大于 2 的整数,log2 n 表示不超过log 2n 的最大整数 . 设数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列 a n 的各项为正,且满意a1bb0, annan 1, n nan 12,3,4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明a n2b2blog, n2 n3,4,5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）推测数列 a n 是否有极限？假如有,写出极限的值（不必证明）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）试确定一个正整数N ,使得当 n1N 时,对任意b>0,都有 an.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证法1：当 n2时,0annan 1,1na n 111 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即111 ,a na n 1nna n 1a nnan 1a n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是有11a2a11 , 112 a3a 21 , 13 a n11 .a n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全部不等式两边相加可得11111 .ana123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11由已知不等式知,当n 3 时有,a na11log 22n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1b,1a n11 logb21122 n1blog 2b2 n .2ba.n2blog 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法 2：设 fba nn , n233,4,5,第一利用数学归纳法证不等式n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f n b3a233b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（i ）当 n=3 时,由a33a23132a1.11f 3b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知不等式成立.a22a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案b（ ii ）假设当n=k（ k 3）时,不等式成立,即a k,1f k bk1 akk1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 ak 1k1akk11k11f kb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k1bk1 fakk bbb1 f kb1b1k1b f k,1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即当 n=k+1 时,不等式也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ i）、（ ii ）知, a nb, n1 f nb3,4,5,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由已知不等式得ban11log 22n b2b, n2 blog 2 n3,4,5,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）有极限,且lim an0.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）22b blog2 n2log 2, 令21 ,n log 2 n 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 log 2 nlog 2 n10,n2101024,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故取 N=1024 ,可使当n>N 时,都有 a n.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
