2022年高一上学期期末知识点总结.docx

精品_精品资料_高一数学主要学问点清单必修一第一章集合1. 集合与元素(1) 集合元素的三个特点：确定性、互异性、无序性(2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号或表示(3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言(4) 常用数集：自然数集N.正整数集 N* 或 N+.整数集 Z.有理数集 Q.实数集 R.(5) 集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集2. 集合间的基本关系(1) 子集、真子集及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子集：对任意的 xA,都有 x B,就 AB 或 BA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_真子集：如 A. B,且在 B 中至少有一个元素 x B,但 x.A, 性质： . A. A. A.A. B, B. C. A. C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A 含有 n 个元素,就 A 的子集有 2n 个, A 的非空子集有2n1个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 集合相等如 A. B 且 B. A,就A=B.3. 集合的运算及其性质(1) 集合的并、交、补运算并集： A B x|x A 或 xB . 交集： AB x|xA 且 xB .补集： C UA x|x U 且 x.A U 为全集, CUA 表示 A 相对于全集 U 的补集(2) 集合的运算性质A B A. B. A, A BA.AB .A A A,A .A A A,A A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_UA CA ,ACUAU,CUCUAA.（3）争论集合的两个工具：韦恩图和实数轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 函数的基本概念(1) 函数的定义：设 A、B 是非空 数集 ,假如根据某种确定的对应关系 f,使对与集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯独 确定的数 fx和它对应,那么称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作： yfx, xA.(2) 函数的定义域、值域在函数 y f x,x A 中,x 叫自变量, x 的取值范畴 A 叫做定义域,与 x 的值对应的 y 值叫函数值, 函数值的集合 fx|x A 叫值域值域是集合B 的子集(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4) 相等函数：假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,就这两个函数相等.这是判定两函数相等的依据5. 函数的三种表示方法(1) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法(2) 关于函数的解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.3 求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等, 假如已知函数解析式的构造时,可用待定系数法.已知复合函数 fgx 的表达式时,可用换元法,这时要留意元的取值范畴. 当已知表达式较简洁时,也可用凑配法.如已知抽象函数表达式,就常用解方程组消参的方法求出fx(4) 两个特别的函数形式分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：如：（1） 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数：假如函数 y=fu u M,u=gx x A, 就函数 y=fgx=Fx （ 定义域为 x称为 f、g 的复合函数.A g xM ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）复合函数的单调性两个函数 复合而成的复合函数fgx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性之间的关系是：同增异减.留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.6. 映射的概念一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独 确定的元素 y 与之对应,那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“ f： A B”7. 函数的单调性(1) 单调函数的概念设函数 yfx的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x , x ,当 x121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 时,都有2f x1 f x2 或f x1f x2 ,那么就说 f x在区间 D 上是增函数 减函数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 单调区间的概念假如函数 f x在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说f x在这一区间上具有 严格的 单调性,区间 D叫 f x的单调区间8. 函数的最值设函数 yfx 的定义域为 I,假如存在实数M 满意：对于任意的 xI,都有 fxM 或 f x M .存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x I,使得 fx0 M.那么,称 M 是函数 y f x的最大值 或最小值 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 偶函数、奇函数的概念一般的,假如对于函数f x 的定义域内任意 x,都有 fxf x,那么函数fx就叫做偶函数偶函数的图象关于y 轴 对称一般的,假如对于函数f x 的定义域内任意一个x,都有 fx fx,那么函数 f x 就叫做奇函数奇函数的图象关于原点 对称10. 判定函数的奇偶性判定函数的奇偶性,一般都根据定义严格进行,一般步骤是：(1) 考查定义域是否关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要非充分条件(2) 考查表达式 f x是否等于 fx或 fx：如 f x fx ,就 fx为奇函数.如 f x fx ,就 f x为偶函数. 如 f x fx且 f x fx,就 fx既是奇函数又是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x fx且 f x fx,就 fx既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数11. 周期性一般 的 ,对 于函数 fx , 假如 存 在一个非 零常 数 T, 使得当 x取定义 域内的每 一个 值都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xT f x ,那么函数 f x就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于一个周期函数 f x ,假如在它全部的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f x的最小正周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必修一其次章基本初等函数回忆、总结、升华1. 根式(1) 根式的概念假如一个数的 n 次方等于 an 1 且, nN* ,那么这个数叫做a 的 n 次方根也就是,如xna ,就 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做 a 的 n 次方根,其中 n 1 且 nN*. 式子 n a叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数 2根式的性质当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数, 这时,a 的 n 次方根用符号 n a表示当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n 次方根用符号 n a表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_负的 n 次方根用符号- n aa表示正负两个nn次方根可以合写为 ± aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nn a .当 n 为奇数时, nn a .负数没有偶次方根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 为偶数时,n an |a|a, a0.a, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nna m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 有理数指数幂1幂的有关概念 ：正分数指数幂 a m0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义(2) 有理数指数幂的性质m an负分数指数幂m a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aras a r s ar s a rs abr ar bra0,b 0, r 、sQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 指数函数的图象与性质指数函数a 10 a1图象定义域R值域0, .性质过定点0,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时, y1. x0 时, 0y1当 x 0 时, 0 y1. x 0 时, y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 , 上是增函数在 , 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 对数的概念(1) 对数的定义假如 axNa0 且 a 1,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlog a N ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其 中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数(2) 几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a0 且 a1logaN常用对数底数为 10lg N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自然对数底数为 eln N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 对数的性质与运算法就(1) 对数的性质 alog a N(2) 对数的重要公式N . log aaN Na0 且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换底公式：log a blog c ba, c 均大于零且不等于 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log c a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_alog b1log ba, 推广 logab·log bc ·log cd logad.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a(3) 对数的运算法就假如 a0 且 a 1, M 0, N0,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a MN log a Mlog a N. log aM log Mlog a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Nlog aMn nlog aM. log amM n n mlog aM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 对数函数的图象与性质a 10 a1图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质当 x1 时, y0当 0 x1, y 0定义域： 0 , 值域： R过点 1,0 .当 x 1 时, y0当 0x 1 时, y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是0, 上的增函数是0, 上的减函数7. 反函数指数函数 y ax 与对数函数 ylog ax 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称8. 幂函数的定义 ：一般的,形如 yx R 的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量, 为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 幂函数的图象 ：在同一平面直角坐标系下,幂函数y x, yx2, y分别如右图幂函数的九种图象1x3 ,y x 2 , y1x的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 幂函数的性质函数yxy x2y x31y x 2yx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域RRR 0, x|xR 且 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值 域R0 , R0, y|yR 且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性增x0 , ,增x, 0 ,减增增x0 , ,减x, 0 ,减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定点1,1第三章函数的应用回忆、总结、升华函数图象的作法1. 描点法作图描点步骤： 1确定函数的定义域. 2化简函数的解析式. 3争论函数的性质：即单调性、奇偶性、周期性、最值 甚至变化趋势 .4 描点连线,画出函数的图象2. 函数图象的变换法(1) 平移变换水平平移： y f x± aa 0的图象,可由 y fx的图象向左 或向 右 平移 a 单位而得到竖直平移： y f x ±bb 0的图象,可由 y fx的图象向上 或向下 平移 b 单位而得到(2) 对称变换yfx与 yfx的图象关于 y 轴对称y f x与 yf x的图象关于 x 轴对称y f x与 y fx的图象关于 原点 对称（3）周期变换假如函数 y fx 对定义域内的一切x 值,都满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx+T fx,就函数周期为 T.f xaf xa ,其中 a 是常数, 就函数周期为2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 翻折变换作为 y fx的图象, 将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方, 其余部分不变得到 y |fx|的图象.作为 y fx在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象,即得y f|x|的图象(5) 伸缩变换yaf x a 0的图象,可将 y fx图象上每点的纵坐标伸 a 1 时 缩a 1 时到原先的 a 倍1yfax a 0的图象,可将 y fx的图象上每点的横坐标伸 a1 时缩a1 时 到原先的 a.3. 函数的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 函数零点的定义对于函数 yfx,我们把使f x0 的实数 x 叫做函数 yf x的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 几个等价关系方程 fx0 有实数根 . 函数 y fx的图象与 x 轴有交点 . 函数 y fx有零点(3) 函数零点的判定 零点存在性定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数 yfx在区间 a,b 上的图象是 连续 不断的一条曲线,并且有f af b0 ,那么,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x在区间 a,b 内有零点,即存在 c a, b,使得 fc 0,这个 c 也就是方程 fx0 的根5. 二分法求方程的近似解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 二分法的定义： 对于在区间 a,b 上连续不断且f af b0 的函数 y f x ,通过不断的把函数fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2) 给定精确度 ,用二分法求函数fx零点近似值的步骤如下：确定区间 a,b,验证 fa·fb0,给定精确度 .求区间 a,b 的中点 c.运算 fc. 如 f c 0,就 c 就是函数的零点. 如 f a·fc 0,就令 bc此时零点 x0 a,c. 如 f c·f b 0,就令 ac此时零点 x0 c,b判定是否达到精确度 .即：如 |ab| ,就得到零点近似值a或 b.否就重复 .6. 三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y axa>1y logaxa>1y xnn>0在0, 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度爆炸性增长缓慢增长相对平稳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象的变化随x 增大逐步表现为与 _y 轴随x 增大逐步表现为与 _x 轴 随 n 值变化而不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行平行7. 三种增长型函数之间增长速度的比较在0, 上,总会存在一个x0,使 x>x0 时有 log ax < xn <ax. 8常用的几类函数模型(1) 一次函数模型f x kxbk、b 为常数, k 0.(2) 反比例函数模型 fx bk、b 为常数, k0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 二次函数模型f x ax2 bx ca、b、c 为常数, a 0.(4) 指数函数模型f x a·bx ca、b、c 为常数, a0, b>0,b 1.(5) 对数函数模型f x mlogax nm、n、a 为常数, m0, a>0 ,a1 . 6幂函数模型 fxaxnba、b、n 为常数, a 0, n1必修四第一章三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 就称为第几象限角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：第一象限角的集合为k 360k 36090 , k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为k 180 , k终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 9 0 k,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、与角终边相同的角的集合为k 360,k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是l r180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、弧度制与角度制的换算公式：2360 , 1180, 157.3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、如扇形的圆心角为为弧度制 ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S,就 lr,112C2rl , Slrr 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 、 设是 一个 任意 大小 的角 ,的 终边 上任 意一 点的坐 标是x, y, 它 与原 点的 距离 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrxy22y0 ,就 sinrx, cosr, tanyyx0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正10、三角函数线：sin, cos, tan11.同角三角函数间的关系（结合方程思想）sin tan（ 切化弦,通常弦化切应用于齐次式,即分子分母同时除以cos）cos22sin+ cos=1（平方关系,凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件；）PTOMAx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ sin,cos,tan知一求二, 在实际的运算中往往构造简洁的直角三角形来运算,留意符号看象限）（2）平方关系结合2sincos变形有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12sincossincos212sincossincos2（ sincos,sincos ,sincos即和、差、积知一求二）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12、函数的诱导公式：1 sin 2ksin, cos 2kcos, tan 2ktank可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 sin2cos,cos2sin6 sin2cos,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀：函数名称不变,符号看象限口诀：正弦与余弦互换,符号看象限13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数性 函y质sin xycosxytan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域RRx xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域1,11,1R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x2kk时 ,当 x22kk时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最值ymax1.当x2k2ymax1 .当x2k既无最大值也无最小值k时,ymin1 k时,ymin1 周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 2k, 2k22在2k,2 kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性k上是增函数.在上是增函数.在k, k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k, 2k3在 2k,2 kkk上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22k上是减函数上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称中心k,0k对称中心k,0k对称中心k,0k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性对称轴xkk22对称轴 xkk2无对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14、将函数 ysinx 的图象上全部点向左 （右） 平移个单位长度 ,得到函数 ysinx的图象.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、函数 ysinxk20,01的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_振幅：.周期：.频率：f.相位：x.初相：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 ysinxk ,当 xx1时, 取得最小值为ymin.当 xx2 时,取得最大值为ymax ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1就ymax2ymin1, kymax 2ymin,2x2x1x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论函数 ysinx的性质方法：把x当成整体 借助正余弦函数,或运用 五点法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16.yA sinxk ,2 0, A 0）的图象： T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五点法作图：x02xTx0x0432xT3T0x0242x0T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_010 10kA kk A+kksinxy快速作图 如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 解三角方程18. 解三角不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19.yA sinxk , 0, A 0）的性质： T2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质： 1xR,yAK , AKT2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20 单调性：令2kx222 k, kZ 得到增区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令2kx 32k, kZ 得到减区间.2230 对称性：令xk, kZ 得对称轴方程.2令x k, kZ（ x0,0 ）为对称中心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像变换：第一种方案： 函数 ysinx 的图象上全部点向左 （右） 平移个单位长度, 得到函数 ysin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品