2022年高三数学课题数学归纳法公开课讲解.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题：数学归纳法【三维目标】：一、学问与技能1明白数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题.2抽象思维和概括才能进一步得到提高二、过程与方法通过数学归纳法的学习,体会用不完全归纳法发觉规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径,用数学归纳法进行证明时, “归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不行,而关键的其次步, 其本质是证明一个递推关系.三、情感,态度与价值观体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法,提高归纳、猜想、证明才能.【教学重点与难点】：重点：是明白数学归纳法的原理及其应用.难点：是对数学归纳法的原理的明白,关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用.【课时支配】： 2 课时第一课时【教学思路】：（一）、创设情形,揭示课题专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 1： P中的例 1.在数列 a中, a 1, aan（ nN+）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_71n1n+11an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先运算 a2, a3,a4 的值,再估计通项an 的公式生： a213141n1+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,a2, a3由此得到： a4（ nN ）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 2：通过运算下面式子,你能猜出1351 n 2n1 的结果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_吗？证明你的结论？13 135 1357 13579 生：上面四个式子的结果分别是：2, -3,4, -5,因此猜想：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1351 n 2n11 n n（* ） 怎样证明它了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 3：我们先从多米诺骨牌嬉戏说起,这是一种码放骨牌的嬉戏, 码放时保证任意相邻的两块骨牌,如前一块骨牌倒下,就肯定导致后一块骨牌也倒下.只要推倒第一块骨牌,由于第一块骨牌倒下,就可导致其次块骨牌倒下;而其次块骨牌倒下,就可以导至第三块骨牌倒下最终,不论有多少块,都能全部倒下.（二）、研探新知原理分析：问题3：可以看出,使全部骨牌都倒下的条件有两个：（1） 第一块骨牌倒下.（2） 任意相邻的两块骨牌, 前一块倒下 .肯定导致后一块倒下.可以看出,条件（ 2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时,相邻的第k+1 块也倒下.这样只要第1 块骨牌倒下,其他全部 的骨牌就能够相继倒下.事实上,无论有多少块骨牌,只要保证（1）专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）成立,那么全部的骨牌肯定可以全部倒下.问题 2：分析：这个问题的特点是：要证不等式（* ）在 n为任何正整数时都成立, 虽然我们可以验证n = 1,2,3,4,5,甚至 n = 1000, 10000,时这个等式成立.但是正整数是无限多个,我们无法对它们一一验证,所以验证的方法无法完成证明.要证明这个问题,必需查找一种有限个步骤,就能够处理完无限多个对象的方法.类比多米骨牌嬉戏,我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队 1, 2,3,4,k,k+1,可以验证（ 1） 当 n = 1 时,等式（ * ）的左右两边都等于 -1.即这时等式（ * ） 成立可以想象（ 2） 如从“ n = k 时等式（ * ）成立”能推出n = k + 1时等式（ * ）也成立,就可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推关系综合（ 1）（2）,就自然的想到一种证明这个等式的方法：第一证明（ 1）n = 1 时等式（ * ）成立然后证明（ 2）中的递推关系完成以上两步后,就可由n = 1 时等式（ * ）成立为起点,递推出n = 2时等式（ * ）成立,再由 n = 2时等式（ * ）成立,递推出n = 3 时等式（ * ）成立如此连续自动递推下去,就可以说：对于任意正专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -整数 n,等式（ * ）成立下面根据上述思路详细的证明等式（* ）证明：（1）当 n = 1 时,式（ * ）左右两边都等于-1,即这时等式（ * ）成立.（ 2 ） 假 设 当n=kk 1时 等 式 （ *） 式 成 立 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1351 k 2n11 k k在这个假设下,再考虑n = k + 1时式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（* ）的左右两边.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边=1351 k 2n11 k 1 2 k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k1) k 12k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 k 1k2k111 k1 k1右边 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 n = k + 1 时等式（ * ）成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）,（ 2）可知1351 n 2n11 n n nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结上述过程,我们用了两个步骤：第一步,证明n = 1 时命题成立,从而奠定了命题成立的一个起点.其次步,先作归纳假设,然后证明由前后的递推关系由这两步保证：对于从起点由前向后的全部正整数nN,命题都成立.一般的,证明一个与正整数n有关的命题,可按以下步骤进行：*（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值 n 0 n 0N 时命题成立.*（2）（归纳递推）假设n = kn 0N 时命题成立,证明当n = k +1 时命题也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只要完成这两个步骤,就可以肯定命题对从n 0 开头的全部正整数n 都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction） .专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -摸索：结合上面的证明,你认为数学归纳法的基本思想是什么？在数学归纳法的两个步骤中,第一步是奠基,其次步是假设与递推.这两步都是特别重要,缺一不行.第一步确定了n = n0时命题成立,n = n0成为后面递推的动身点, 没有它递推就成无源之水. 其次步确认一种递推关系, 借助它,命题成立的范畴就能从正整数n0开头,向后一个数一个数无限传递到n0以后的每一个正整数,从而完成证 明,因此,递推是实现从有限到无限的飞跃的关键,没有它我们就只能停留在对有限情形的把握上.以上就是数学归纳法的基本原理.下面的框图表示了数归纳法的基本过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_验证 n = n0 时命题成立.如 n = k k = n 0 时命题成立, 证明 n = k + 1 时命题也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归纳奠基归纳递推命题对从n 0 开头全部的正整数 n 都成立时命题成立.问题：数学归纳法适用于证明什么的命题了？对于一些与无限多个正整数相关的命题,假如不易有以前所学习过的方法证明,用数学归纳法可能收到较好的成效.摸索：假如要用数学归纳法证明某命脉题对于全体正整数都能立,应取 n0 为何值？为什么？（三）、例题剖析例 1：（教材第 94 页例 1）专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2：（教材第 94 页例 2）（四）、巩固深化,反馈矫正（教材第 95 页练习1、2）其次课时【教学思路】：（一）、复习回忆一般的,证明一个与正整数n 有关的命题,可按以下步骤进行：00（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值 n nN * 时命题成立 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） （归纳递推）假设nkkn0, kN * 时命题成立, 证明当 nk1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题也成立.- 数学归纳法（二）、例题剖析：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1用数学归纳法证明：3n17 n1nN 能被 9 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：（ 1）当 n=1 时,（ 3+1 ）×71=27能被 9 整除,命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假设当 n=k 时命题成立,即3k1) 7 k1nN 能被 9 整可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_除那么,当 n=k+1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k117 k 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k1 7k 13 7 k 1173k1 7 k3 7 k 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 3 k1) 7k1) 7 k16 3k118k1 7k277k37k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由归纳假设3k1) 7 k1nN 能被 9 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_及 18k277 k 是 9 的倍数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 3k17 k118k277 k 能被 9 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 n=k+1时,命题成立专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 1）（2）知命题对任意的 nN均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2如 n 为大于 1 的自然数,用数学归纳法证明：1 1n1n21132n24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 1 当 n=2 时,1171321221224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设当 n=k 时成立,即11k1k21132k24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当nk1时,1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2k32k2k12k2k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_131111311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_242k12k2k1242k12k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13113 .不等式也成立2422k1k124由1、 2 知原不等式对一切大于2 的自然数都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知 an12 233nnn1n nN* 求证： a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n证明： 1 当 n=1 时, a1= 1 1,不等式成立 .212 233k k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假设 n=kk1时,不等式成立,即ak=k1k1亦即 1+2 2+33 +kk k+1 k当 n=k+1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ak+1 = 1233 kk kk11 k 11 k 1k1k kk2) k1 k 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k= k1k2 = k1 k 1.n=k+1 时,不等式也成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k2 k 1k2由（ 1）、（2）知,对一切 nN*,不等式都成立 .例 4用数学归纳法证明等式对全部nN* 均成立1111111112342n12nn1n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： i当 n=1 时,左式 =1121 ,右式 =12111 , 左式=右式,等2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -式成立ii假设当 n=kk N时等式成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即1111234112k12k111 ,k1k22k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 n=k+1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111234111112k11112k2k11112k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23411k1k22 k11 2k2k 12 k12k12k212k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11k2k3112 k1k112k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2k3k42k12k2111111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k11k12k13k1k12k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 n=k+1时,等式也成立,由 i ii 可知,等式对 nN 均成立小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时,留意分析n=k与n=k+1 的两个等式的差别 n=k+1时,等式左边增加两项,右边增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加一项,而且右式的首项由1变为k11因此在证明中,右式中k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的1应与-1k12k合并,才能得到所证式因而,在论证之前,把2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n=k+1 时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的由例 1 可以看出,数学归纳法的证明过程中,要把握好两个关键之处：一是 fn 与 n 的关系.二是 fk与 fk+1 的关系（三）、巩固深化,反馈矫正（教材第 95 页练习1、2）（四）、归纳整理,整体熟悉1用数学归纳法证明, 要完成两面个步骤, 这两个步骤是缺一不行的, 但从证题的难易来分析,证明其次步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从n=k 到 n=k+1 的转化,这个转化要求在变化过程中专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -结构不变.2数学归纳法常处理的几类问题证明有关整除问题证明不等式 证明数列有关问题.3运用数学归纳法时易犯的错误：对项数估算错误,特殊是查找n = k 与 n = k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错.没有利用归纳假设.关键步骤模糊不清, “假设 n=k 时结论成立,利用此假设证明n=k+1 时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环 节,对推导的过程要把步骤写完整,留意证明过程的严谨性,规范性.（五）、作业布置（教材第96 页习题 2.3A 组 1）（六）、板书设计（略）（七）、课后记：专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -敬请各位同行指正,感谢；专心爱心专心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - 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