2022年高三数学毕业班课本知识点整理归纳之十六.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2022-20XX 年高三毕业班数学课本学问点整理归纳之十六第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理,证明请读者完成）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_梅涅劳斯定理设A' , B ' , C ' 分别是 ABC的三边 BC,CA,AB或其延长线上的点, 如A' , B ', C '可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三点共线,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BA'A' CCB'B' AAC'1. C' B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_梅涅劳斯定理的逆定理条件同上,如BA'A'CCB'B' AAC 'C' B1. 就A' , B ', C ' 三点共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_塞 瓦定理设A' , B ' , C ' 分 别是 ABC 的 三边BC, CA, AB 或其延长线上的点 ,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA' , BB ', CC ' 三线平行或共点,就BA'A' CCB'B' AAC'1. C' B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_塞瓦定理的逆定理设A', B' ,C ' 分别是 ABC的三边BC, CA,AB 或其延长线上的点,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BA'A' CCB'B' AAC'C' B1. 就AA' , BB ', CC ' 三线共点或相互平行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角元形式的塞瓦定理A', B' , C ' 分别是 ABC 的三边BC, CA, AB 所在直线上的点,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA' , BB ', CC ' 平行或共点的充要条件是sin sinBAA' A' ACsin sinACC' C' CBsin sinCBB'1. B' BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_广义托勒密定理设 ABCD为任意凸四边形,就AB.CD+BC.AD AC.BD,当且仅当A, B, C,D四点共圆时取等号.斯特瓦特定理设 P 为 ABC的边 BC上任意一点, P 不同于 B, C,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22AP =AB.PC +AC2.BCBP -BP.PC.BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,就三垂足共线.西姆松定理的逆定理如一点在三角形三边所在直线上的射影共线,就该点在三角形的外接圆上.九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆.蒙日定理三条根轴交于一点或相互平行.（到两圆的幂 （即切线长） 相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_欧拉定理 ABC的外心 O,垂心 H,重心 G三点共线,且OG二、方法与例题1 GH .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1同一法. 即不直接去证明,而是作出满意条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重合.000例 1在 ABC中, ABC=70, ACB=30,P,Q为 ABC内部两点, QBC= QCB=10,0PBQ= PCB=20,求证： A, P, Q三点共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 证明 设直线 CP交 AQ于 P1 ,直线 BP交 AQ于 P2,由于 ACP= PCQ=10,所以AP QP1AC ,CQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载在 ABP, BPQ, ABC中由正弦定理有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinABAP2 BsinAP2ABP2QP2,sin 200sinBQ,BP2 QABsin 30 0AC.sin 700可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,得AP1 QP1AP2 QP2.又由于P1, P2 同在线段AQ上,所以P1, P2 重合,又 BP 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CP仅有一个交点,所以P1, P2 即为 P,所以 A, P, Q共线. 2面积法.例 2见图 16-1 , ABCD中, E,F 分别是 CD,BC上的点,且BE=DF,BE交 DF于 P,求证：AP为 BPD的平分线. 证明 设 A 点到 BE, DF 距离分别为h1,h 2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABE1 BE2h1 , SADF1 DF2h2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于S ABE1S ABCD=SADF,又 BE=DF.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 h1=h2,所以 PA为 BPD的平分线.3几何变换.例 3（蝴蝶定理） 见图 16-2 ,AB是 O的一条弦, M为 AB 中点, CD,EF 为过 M的任意弦, CF, DE分别交 AB于 P, Q.求证： PM=M.Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 证明 由题设 OMAB.不妨设AFBD .作 D关于直线OM的对称点D ' .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连 结 PD ' , D ' M , DD ' , D ' F, 就 D ' MDM .P M D'DM Q.要 证PM=MQ, 只 需 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PD ' MMDQ,又 MDQ=PFM,所以只需证F, P,M,D ' 共圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于PFD ' =1800 -MDD ' =1800- MD ' D=180 - PMD' .（由于DD 'OM.AB/DD ' ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0所以 F, P, M,D ' 四点共圆.所以PD' M MDQ.所以 MP=M.Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明：存在这样的两个相像三角形,它们的相像比为1995 ,而且每个三角形三个顶点同色. 证明 在平面上作两个同心圆,半径分别为1 和 1995,由于小圆上每一点都染以红、蓝两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为A, B,C, D, E,过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1,B1, C1, D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨 设为 A1, B1, C1,就 ABC与 A1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相像比为1995. 4三角法.0例 5设 AD, BE 与 CF为 ABC的内角平分线,D, E, F 在 ABC的边上,假如EDF=90,求 BAC的全部可能的值. 解见图 16-3 ,记 ADE=, EDC= ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题设 FDA=2- , BDF=2- ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AEDECEDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理：sinsinA , sin2,sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 AEsinsinC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CEsinsin A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由角平分线定理有AEABAB,又BC,所以sinsinCsin C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ECBCsin Csin Asinsin A2sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得sinsin2 cos A ,同理2sinsinBDFADF2 cos A ,即2coscos2 cos A .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 sinsincoscos,所以 sin cos -cos sin =sin- =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又- < - < , 所以 = .所以5向量法.cos A212,所以 A= .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6设 P 是 ABC所在平面上的一点,G是 ABC的重心,求证：PA+PB+PC>3PG. 证明 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPBPCPGGAPGGBPGGC3 PGGAGBGC ,又 G为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC重心,所以GAGBGC0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（事实上设AG交 BC于 E,就AG2GEGBGC,所以 GAGBGC0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 PAPBPC3PG ,所以| PA | PB | PC | PAPBPC |3 | PG |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于PA, PB, PC 不全共线,上式“=”不能成立,所以PA+PB+PC>3P.G可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6解析法.例 7 H是 ABC的垂心, P 是任意一点, HLPA,交 PA 于 L,交 BC于 X, HMPB,交 PB于 M,交 CA于 Y, HNPC交 PC于 N,交 AB于 Z,求证： X, Y, Z 三点共线. 解以 H为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和 y 轴,建立直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系,用x k ,y k 表示点 k 对应的坐标, 就直线 PA的斜率为yPxP直线 HL 的方程为xx P-x A+yy P-y A=0.y A ,直线 HL斜率为xPxAy AxA ,yP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又直线 HA的斜率为y A,所以直线BC的斜率为xAx A,直线 BC的方程为xxA+yyA=xAx B+yAyB,y A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 C 在直线 BC上,所以xCxA+yCy A=xAx B+yAyB.同理可得x BxC+yBy C=xAxB+yAy B=xAx C+yAyC.又由于 X 是 BC 与 HL 的交点,所以点 X 坐标满意式和式,所以点 X 坐标满意xxP+yyP=xAx B+yAyB. 同理点 Y 坐标满意 xx P+yyP=xBxC+yByC. 点 Z 坐标满意 xx P+yyP=xCx A+yCyA. 由知,表示同始终线方程,故 X, Y, Z 三点共线.7四点共圆.例 8 见图 16-5 ,直线 l 与 O相离, P 为 l 上任意一点, PA,PB 为圆的两条切线, A, B为切点,求证：直线 AB过定点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 证明 过 O作 OCl 于 C,连结 OA,OB,BC,OP,设 OP交 AB于 M,就 OPAB,又由于 OAPA, OBPB, OCPC.所以 A, B, C 都在以 OP为直径的圆上,即O, A, P, C,B 五点共圆.AB与 OC是此圆两条相交弦,设交点为Q, 又由于 OPAB, OCCP,所以 P, M, Q, C 四点共圆,所以OM.OP=O.QOC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由射影定理2,所以,所以OA2（定值）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OA=OM.OPOA=OQ.OCOQ=OC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 Q为定点,即直线AB 过定点.三、习题精选1 O1 和 O2 分别是 ABC的边 AB,AC上的旁切圆,O1 与 CB,CA的延长线切于E, G,O2 与 BC, BA的延长线切于F,H,直线 EG与 FH交于点 P,求证： PABC.2设 O的外切四边形ABCD的对角线AC,BD的中点分别为E,F,求证： E,O,F 三点共线.3已知两小圆 O1 与 O2 相外切且都与大圆O相内切, AB 是 O1 与 O2 的一条外公切线, A, B 在 O 上, CD 是 O1 与 O2 的内公切线,O1 与 O2 相切于点P,且 P, C 在直线AB的同一侧,求证：P是 ABC的内心.4 ABC内有两点M, N,使得 MAB= NAC且 MBA= NBC,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AMAN ABACBMBNBCBACMCN1. CA CB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 ABC中, O为外心,三条高AD, BE, CF 相交于点H,直线 ED和 AB相交于点M,直线FD和 AC相交于点N,求证：（1） OBDF, OCDE.（2） OHMN.6设点 I , H分别是锐角 ABC的内心和垂心,点B1,C1 分别是边AC, AB的中点,已知射线 B1I 交边 AB 于点 B2B2 B ,射线 C1I 交 AC的延长线于点C2, B2C2 与 BC相交于点 K,A1为 BHC的外心.试证：A, I , A1 三点共线的充要条件是 BKB2 和 CKC2 的面积相等. 7已知点A1, B1, C1,点 A2,B2, C2,分别在直线l 1,l 2 上 , B2C1 交 B1C2 于点 M,C1A2 交 A1C2于点 N, B1A2 交 B2 A1 于 L.求证： M, N,L 三点共线.008 ABC 中, C=90, A=30 , BC=1,求 ABC 的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值.9 ABC的垂心为H,外心为O,外接圆半径为R,顶点 A, B, C 关于对边BC, CA, AB的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称点分别为A' , B' , C ' ,求证：A' , B' , C ' 三点共线的充要条件是OH=2R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
