2022年概率论和数理统计复习笔记 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一. 基本概念随机试验 E:1可以在相同的条件下重复地进行；2每次试验的可能结果不止一个 , 并且能事先明确试验的全部可能结果；3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会显现 . 样本空间 S: E的全部可能结果组成的集合 随机大事 大事: 样本空间 S的子集 . . 样本点 基本领件 :E 的每个结果 . 必定大事 S: 每次试验中肯定发生的大事. 不行能大事 :每次试验中肯定不会发生的大事.二.大事间的关系和运算1.AB大事 B 包含大事 A 大事 A 发生必定导致大事B 发生. 2.AB和大事 大事 A 与 B 至少有一个发生 . 3. AB=AB 积大事 大事 A 与 B 同时发生 . 4. A- B差大事 大事 A 发生而 B 不发生 . 5. AB= A 与 B 互不相容或互斥 大事 A 与 B 不能同时发生 . A 与 B 必有一个且仅6. AB=且 AB=S A 与 B 互为逆大事或对立大事 表示一次试验中有一个发生 . B=A, A=B . 运算规章交换律 结合律 安排律 德.摩根律ABABABAB三.概率的定义与性质 1.定义对于 E 的每一大事 A 给予一个实数 ,记为 PA,称为大事 A 的概率 . 1非负性 PA0 ； 2归一性或规范性 PS=1 ；3可列可加性对于两两互不相容的大事A 1,A 2, A iA j= , i j, i,j=1,2, ,PA1A 2 =P A1+PA 2+2.性质 1 P = 0 , 留意:A 为不行能大事 PA=0 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2有限可加性对于 n 个两两互不相容的大事A 1,A2, ,A n , PA1A 2 A n=PA1+PA 2+ +PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3如 A B, 就 PAPB, PB- A=PB - PA . 4对于任一大事 A, PA1, PA=1- PA . 5广义加法定理 对于任意二大事 A,B ,PA B=PA+PB - PAB . 对于任意 n 个大事 A 1,A 2, ,A n PA 1A 2A nin1PA i1ijnPA iAj1ijknPA iAjA k +-1n-1PA1A 2 A n 四.等可能 古典 概型1.定义 假如试验 E 满意:1样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2, ,e n；2每一个基本领件的概率相等 ,即 Pe1=Pe2= = Pe n .就称试验 E 所对应的概率模型为等可能 古典概型. 2.运算公式 PA=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本领件数 , n 是 S 中包含的基本领件总数 . 五.条件概率1.定义 大事 A 发生的条件下大事B 发生的条件概率PB|A=PAB / PA PA>0. 2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0 ； PAB=PB P A|B PB>0. PA1A 2 A n=PA1PA 2|A1PA 3|A1A 2 PA n|A1A 2 A n-1 n2, PA1A 2 A n-1 > 0 3.B1,B2, ,B n 是样本空间 S 的一个划分 B iBj= ,i j,i,j=1,2, ,n, B1B2 B n=S ,就当 PB i>0 时,有全概率公式 PA=in P1BiPABiiPBiiPABii . 当 PA>0, PB i>0 时,有贝叶斯公式 P Bi|A=PAB inPBPABPA1六. 大事的独立性 1.两个大事 A,B, 满意 PAB = PA PB 时,称 A,B 为相互独立的大事 . 1两个大事 A,B 相互独立 PB= P B|A . 第 2 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2如 A 与 B, A 与 B , A 与 B, , A 与 B 中有一对相互独立 , 就另外三对也相互独立 . 2.三个大事 A,B,C 满意 PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC, 称 A,B,C 三 大事两两相互独立 . 如再满意 PABC =PA PB PC, 就称 A,B,C 三大事相互独立 . 3.n个大事 A 1,A 2, ,A n,假如对任意 k 1<kn,任意 1i1<i2< <i kn.有PA i1A i2A ikPA i1PA i2PA ik,就称这 n 个大事 A 1,A2, ,A n 相互独立 . 其次章 随机变量及其概率分布 一.随机变量及其分布函数1.在随机试验 E 的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量 . 2.随机变量 X 的分布函数 Fx=PX x , x 是任意实数 . 其性质为 : 10 Fx 1 ,F-=0,F =1. 2Fx单调不减 ,即如 x1<x2 ,就 Fx1 Fx 2. 3Fx右连续 ,即 Fx+0=Fx. 4Px 1<Xx2=Fx 2-Fx1. 二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量 1.离散型随机变量的分布律 PX= x k= p k k=1,2, 也可以列表表示 . 其性质为 : 1非负性 0Pk1 ； 2归一性 p k 1 . k 12.离散型随机变量的分布函数 Fx= P 为阶梯函数 ,它在 x=x k k=1,2, 处具有跳动点 ,其X k x跳动值为 p k=PX=x k . 3.三种重要的离散型随机变量的分布1X0-1 分布 PX=1= p ,PX=0=1 p 0<p<1 . 2Xbn,p 参数为 n,p 的二项分布 PX=k=np k1pnkk=0,1,2, ,n 0<p<1 kke k=0,1,2, >0 3X 参数为 的泊松分布 PX=k=k .三.连续型随机变量1.定 义f如 果 随 机 变 量X 的 分 布 函 数 Fx 可 以 表 示 成 某 一 非 负 函 数 fx 的 积 分Fx=xtdt,- < x <, 就称 X 为连续型随机变量 ,其中 f x称为 X 的概率密度 函数. 名师归纳总结 第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.概率密度的性质1非负性 fx0 ； 2归一性 f x dx =1 ；3 Px 1<Xx 2= x x1 2f x dx； 4如 f x在点 x 处连续 ,就 f x=F / x . 留意：连续型随机变量 X 取任一指定实数值 a的概率为零 ,即 PX= a=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布1XU a,b 区间a,b上的匀称分布fxb1aaxb . ,下,其它02X 听从参数为的指数分布 .fx1ex/如x0 >0. 0如x03XN ,2 参数为, 的正态分布fx1ex22 -<x<, >0. 22特殊, =0, 2 =1 时,称 X 听从标准正态分布 ,记为 XN 0,1,其概率密度x1ex2 , 标准正态分布函数x1xet2dt , -x=1- x .2222如 XN ,2, 就 Z=XN 0,1, Px 1<Xx2= x 2- x 1. 如 PZ>z = PZ<-z = P|Z|>z /2= ,就点 z ,- z , z / 2分别称为标准正态分布的上双侧分位点 . 留意：z =1-, z 1- = - z . 四.随机变量 X 的函数 Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数 X p k Y=gX x 1 x2 x kp 1 p2 p kgx1 gx2 gx k 如 gx k k=1,2, 的值全不相等 ,就由上表立得 Y=gX 的分布律 . 如 gx k k=1,2, 的值有相等的 ,就应将相等的值的概率相加 2.连续型随机变量的函数,才能得到 Y=gX 的分布律 . 如 X 的概率密度为 fXx,就求其函数 Y=gX 的概率密度 f Yy常用两种方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1分布函数法先求 Y 的分布函数 FYy=PY y=PgX y=k y f X x dxk其中 ky是与 gXy 对应的 X 的可能值 x 所在的区间 可能不只一个 ,然后对 y 求导即得f Yy=F Y /y . 2公式法 如 gx到处可导 ,且恒有 g /x>0 或 g / x<0 , 就 Y=g X 是连续型随机变量 ,其概率密度为 f Y y f X h y0 h y其它 y其中 hy是 gx的反函数 , = min g -,g = max g - ,g . 假如 f x在有限区间 a,b以外等于零 ,就 = min g a,g b = max g a,g b . 第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 如 X 和 Y 是定义在样本空间 S上的两个随机变量 ,就由它们所组成的向量 X,Y 称为二维随机向量或二维随机变量 . 对任意实数 x,y,二元函数 Fx,y=PX x,Yy 称为X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 . 2.分布函数的性质1Fx,y分别关于 x 和 y 单调不减 . 20Fx,y1 , Fx,-=0, F-,y=0, F-,-=0, F , =1 . 3 Fx,y关于每个变量都是右连续的 4对于任意实数 x 1<x 2 , y 1<y 2 ,即 Fx+0,y= Fx,y,Fx,y+0= Fx,y . Px 1<Xx 2 , y 1<Yy 2= Fx 2,y2- Fx 2,y1- Fx1,y2+ Fx1,y1 二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义如随机变量 X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i,y j i ,j =1,2, 称X,Y 为二维离散型随机变量 .并称 PX= x i,Y= y j = p i j 为X,Y 的联合分布律 .也可列表表示 . 2.性质1非负性 0p i j1 . xi2归一性ijp ij1 . 第 5 页,共 12 页3. X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 Fx,y=xyjyp ij名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 假如存在非负的函数f x,y,使对任意的 x 和 y,有 Fx,y=yxfu ,v dudv就称X,Y 为二维连续型随机变量 ,称 fx,y 为X,Y 的X 和 Y 的联合 概率密度 . 2.性质 1非负性 f x,y 0 . 2归一性x,2Ffx ,y dxdy1 . x,y 3如 f x,y 在点x,y连续,就fx,yyxyGfx,y dxdy . 4如 G 为 xoy 平面上一个区域 ,就PG四.边缘分布1. X,Y 关于 X 的边缘分布函数 FX x = PX x , Y< = F x , . X,Y 关于 Y 的边缘分布函数 FY y = PX< , Yy= F ,y 2.二维离散型随机变量 X,Y 关于 X 的边缘分布律 PX= x i = j1p = p i· i =1,2, 归一性 iji1ip11 . 关于 Y 的边缘分布律 PY= y j = i1p = p· j j =1,2, 归一性 ijjj . p13.二维连续型随机变量 X,Y 关于 X 的边缘概率密度f X x=ffx,y dy归一性f Xx dx1关于 Y 的边缘概率密度f Yy=x,y dx归一性fYy dy1五.相互独立的随机变量1.定义 如对一切实数 x,y,均有 Fx,y= F X x FY y ,就称 X 和 Y 相互独立 . 2.离散型随机变量 X 和 Y 相互独立p i j= p i· ·p· j i ,j =1,2, 对一切 xi,yj 成立. 3.连续型随机变量 X 和 Y 相互独立 六条件分布 1二维离散型随机变量的条件分布f x,y=f X xf Y y对X,Y 全部可能取值 x,y都成立 . 定义设 X,Y 是二维离散型随机变量j,对于固定的 j,如 PY=y j>0, 就称p i j, p j第 6 页,共 12 页PX=x i |Y=yj P Xx i,YjyP Yy名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为在 Y= y j条件下随机变量 X 的条件分布律 . 同样,对于固定的 i,如 PX=x i>0, 就称PY=y j|X=x i P Xx i,Yyjp ij,P Xx ip i为在 X=x i 条件下随机变量 Y 的条件分布律 . 第四章 随机变量的数字特点一.数学期望和方差的定义随机变量 X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律 PX=x i= p i i =1,2, 概率密度 f x 数学期望 均值EX x ip i 级数肯定收敛 xf x dx 积分肯定收敛 i 1方差 DX=EX-EX 2 x i E X 2p i x E X 2 f x dxi 1=EX 2-EX 2 级数肯定收敛 积分肯定收敛 函数数学期望 EY=EgX g x ip i 级数肯定收敛 g x f x dx 积分肯定收敛 i 1标准差 X= DX . 二.数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时 , Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX . 2.X,Y 为任意随机变量时 , E X± Y=EX ± EY . 3. X 与 Y 相互独立时 , EXY=EXEY , DX ± Y=DX+DY . 4. DX = 0 PX = C=1 ,C 为常数 . 三.六种重要分布的数学期望和方差 EX DX 1.X 0-1分布 PX=1= p 0<p<1 p p 1- p 2.X b n,p 0<p<1 n p n p 1- p 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.X 4.X Ua,b a+b/2 b-a 2/12 5.X 听从参数为 的指数分布 2 6.X N , 2 2 四.矩的概念随机变量 X 的 k 阶原点矩 EX k k=1,2,随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-EX k 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 EX kY l l=1,2,随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX-EX k Y-EY l 第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体 X 即随机变量 X ； 样本 X 1 ,X 2 , ,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量；样本值 x1 ,x2 , ,x n 为实数； n 是样本容量 . 统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本标准差 S k k=1,2, 样本均值X1in1Xi样本方差S2n11in1XiX2n样本 k 阶矩A k1in1Xik k=1,2, 样本 k 阶中心矩Bk1inXiXnn1二.抽样分布即统计量的分布1.X 的分布 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , D X = DX / n . 特殊,如 X N ,2 ,就 X N ,2/n . 第 8 页,共 12 页2.2分布 1定义 如 XN 0,1 ,就 Y =nXi2 2n自由度为 n 的2 分布. i12性质 如 Y 2n,就 EY = n , DY = 2n . 如 Y 1 2n1 Y2 2n2 ,就 Y 1+Y 2 2n1 + n2. 如 X N ,2 , 就n1 S2 2n-1,且 X 与 S 2 相互独立 . 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3分位点 如 Y 2n,0< <1 ,就满意n Y2 1/2n分位点 . P Y2nP Y2 1nPY2/2的点2n,2n,2/2n和2/2n分别称为2分布的上、下、双侧113. t 分布就1定义 如 XN 0,1,Y2 n,且 X,Y 相互独立 ,就 t=Xntn自由度为 n 的 t 分布. Y2性质 n时 ,t 分布的极限为标准正态分布. XN ,2 时, Xn t n-1 . S两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X N 1,12 且1 2=2 2=2X 1 ,X2 , ,X n1 X S12 Y N 2,22 Y1 ,Y2 , ,Y n2Y S22XY12 t n1+n2-2 , 其中2 Swn 11 S 1 2n 221 S 2 2S w11n 1n 2n 1n 23分位点 如 t t n ,0 < <1 , 就满意PttnPt2tnPtt/2n分位点 . 的点tn ,tn ,t/n 分别称 t 分布的上、下、双侧留意: t 1- n = - t n. 4.F 分布1定义 如 U2n1, V2n2, 且 U,V 相互独立 ,就 F =Un 1Fn1,n 2自由度为Vn 2n1,n2的 F 分布. 2性质条件同 3.2 S 1 221S2 2 2 2Fn1-1,n2-1 3分位点 如 F Fn1,n2 ,0< <1,就满意PFFn1,n2PFF1n 1,n2第 9 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PFF/2n 1,n 2,F,F1/2n 1,n 22分别称为F 分布的上、下、双侧的点Fn 1,n 2,F1n 1,n 2,F/2n 1n 2 和F1/2n 1,n分位点 . 留意:F1n 1n21.Fn2.n 1第七章 参数估量一.点估量 总体 X 的分布中有 k 个待估参数1, 2, , k. X 1 ,X2 , ,X n 是 X 的一个样本 ,x1 ,x2 , ,x n 是样本值 . 1.矩估量法111,2,k111,2,k, 先求总体矩221,2,k解此方程组 ,得到221,2,kkk1,2,kkk1,2,k, 1A 1,A 2,A k1以样本矩 A l 取代总体矩 l l=1,2, ,k得到矩估量量2A 1,A 2,A k2如代入样本值就得到矩估量值. kA 1,A 2,A kk2.最大似然估量法如总体分布形式 可以是分布律或概率密度 为 px, 1, 2, , k,称样本 X1 ,X2 , ,Xn的联合n分 布 L 1 , 2 , , k p x i , 1 , 2 , , k 为 似 然 函 数 . 取 使 似 然 函 数 达 到 最 大 值 的i 11 , 2 , , k ,称为参数 1, 2, , k的最大似然估量值 ,代入样本得到最大似然估量量 . 如 L 1, 2, , k关于 1, 2, , k可微,就一般可由似然方程组 L 0 或 对数似然方程组 ln L 0 i =1,2, ,k 求出最大似然估量 . i i3.估量量的标准1 无偏性 如 E= ,就估量量称为参数的无偏估量量 . 第 10 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , ES 2=DX, EA k= k=EX k,即样本均值 X , 样本方差 S2,样本 k 阶矩 A k分别是总体均值 EX,方差 DX, 总体 k 阶矩 k的无偏估量 , 2有效性 如 E 1=E 2= , 而 D 1< D 2, 就称估量量 1比 2有效. P3一样性 相合性 如 n时 , ,就称估量量 是参数 的相合估量量 . 二.区间估量1.求参数 的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤1查找样本函数 W=WX 1 ,X 2 , ,X n, ,其中只有一个待估参数 未知,且其分布完全确定 . 2利用双侧 分位点找出 W 的区间 a,b,使 Pa<W <b=1 -. 3由不等式 a<W<b 解出 就区间 , 为所求 . 2.单个正态总体待估参数其它参数 W 及其分布2置信区间1 S21 nz/2 2 已知XnN 0,1 X2 未知Xn t n-1 XSt/2n1 Sn2 未知n1 S2 2n-1 n21 S2,n/2n1 2 12n/3.两个正态总体1均值差 1- 2置信区间22 12 2第 11 页,共 12 页其它参数 W 及其分布XYz2 1,2 2XY2 112 22 N0,1 n 1n 2已知n 1n 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 /2 改为,另2 122 2XSY112tn1+n2-2 - - - - - - - - - t2n 1n 22S w11XY未知w1n 1n 2n 1n 2其中 Sw 等符号的意义见第六章二. 3 2. 2 1, 2未知, W=2 S 12 S 2 Fn1-1,n2-1,方差比12/2 2 的置信区间为2 12 22 S 1F/2n 11,1n 21 ,2 S 1F1/2n 111 ,n 21 S 2 2S 2 2留意:对于单侧置信区间 ,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标外的下 上限取为 - 即可 . 第 12 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -