2022年椭圆双曲线知识点总结 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载椭圆学问点【学问点 1】椭圆的概念 :在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数 大于 | F1F2| 的点的轨迹叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距当动点设为M 时,椭圆即为点集PM|MF 1MF 22a2；留意：如PF 1PF2F1F2,就动点 P 的轨迹为线段F 1F如PF 1PF2F 1F2,就动点 P 的轨迹无图形；【学问点 2】椭圆的标准方程焦点在 x 轴上椭圆的标准方程: x2y21ab0,焦点坐标为（c,0,（-c,0 a2b2焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为：x2y21ab0焦点坐标为（ 0,c,）o,-c b2a2【学问点 3】椭圆的几何性质 :标准方程x2y21ab0x2y21ab02 ab22 ba2图形范畴 对称性顶点 性axabyb对称轴：坐标轴对称中心：原点A1 a,0, A2a,0 A10, a,A20,a B10, b,B20,bB1b,0,B2b,0质轴长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b F1F2 |=2c焦距 离心率 a, b,c 的关系e=c a0,1 c2a2b2规律 : 1椭圆焦点位置与 x 2,y 2 系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上 . 2椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的全部距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为 ac,最小距离为 ac. 2 2 2 23在椭圆中,离心率 e c c2 a2 b 1 b2a a a a4椭圆的离心率 e 越接近椭圆越扁；e 越接近于,椭圆就接近于圆；sin5离心率公式：在 F 1PF 2 中,PF 1F 2,PF 2F 1,esin sin二、椭圆其他结论名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2x y x x y y1、如 P x 0 , y 0 在椭圆 2 2 1 上,就过 0P 的椭圆的切线方程是 2 2 1a b a b2 2 2如已知切线斜率 K,切线方程为 y kx a k b2 2x y2、如 P x 0 , y 0 在椭圆 2 2 1 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方程是a bx x y y2 2 1a b2 2x y3、椭圆 2 2 1 ab0的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 F 1PF 2,就椭圆的焦点a b2角形的面积为 S F 1 PF 2 b tan24、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 22 b5、过焦点的弦中,通径 过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦 最短a6、过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A2P 和A 1Q 交于点 N,就 MF NF；7、AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,Mx 0 y0为 AB 的中点,就k OMkABb2,a2b2a2即K ABb2x0；a2y0x2y21内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x x 0y y 0x 02y 028、如P x 0,y0在椭圆a2b2a22 ba2b29、如P x 0,y0在椭圆x2y21内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x xy ya2b2a2b2a2b210、如 P 为短轴顶点,就F 1PF2最大【学问点 4】椭圆中的焦点三角形 :定义: PF1 + PF2 2a F1F2 2c第 2 页,共 5 页余弦定理 : F1F22= PF12+ PF22-2 PF1 PF2 cosF1PF2= 面积公式 :在椭圆x2y21（ a b 0）中,焦点分别为F 、F ,点 P 是椭圆上任意一点,a2b2F 1PF 2,就SF 1PF2b2tan2【学问点 5】点 x0,y0与椭圆x2y21a>b>0的位置关系 :a22 b名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 P 在椭圆上x 02y 0211学习必备欢迎下载x02y021a2b2点 P 在椭圆内部x 02y 02点 P 在椭圆外部a2b2a2b2【学问点 6】直线与椭圆位置关系的判定：直线斜率存在时y2kxb1m2 k n x22 kbnxb210x21 mxny2直线与椭圆相交0直线与椭圆相切0直线与椭圆相离0xm直线斜率不存在时x2y21判定 y 有几个解a2b2例1.已知：椭圆x2y21与直线 l 交于 A、 B 两点, A 、 B 中点为M1,1,求直线 l 的方程169点差法：9x16y250 例2.求过点,23且与椭圆x2y21有相同焦点的椭圆方程x2y21 5386设：所求椭圆方程为5x2k3y2k1例3.求过点,222且与椭圆x2y21有相同离心率的椭圆方程x2y21、y2488161020设：所求椭圆方程为x2y214 k8 k例4.已知椭圆x2y21的离心率e10,求 m 的值m25、m3 5m53第 3 页,共 5 页例5.如椭圆x2y21上存在 A、 B 两点,关于直线y4xm,对称；求 m 的取值范畴；23m252,252名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载双曲线学问点【学问点 1】双曲线的概念 :在平面内到两定点F1、F2的距离的差的肯定值等于常数 小于 | F1F2| 的点的轨迹叫双曲线这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P M | MF 1 MF 2 2 a留意：如 MF 1 MF 2 F 1 F 2 ,就动点 P 的轨迹为两条射线；如 MF 1 MF 2 F 1 F 2 ,就动点 P 的轨迹无图形；【学问点 2】双曲线的标准方程焦点在 x 轴上双曲线的标准方程: x2y21a0,b0,焦点坐标为（c,0,（-c,0 a2b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为：y2x21a0,b0焦点坐标为（ 0,c,）o,-c 2 ba2【学问点 3】双曲线的几何性质标准方程2 xa 22 yb 21a>0,b>02 ya 22 xb 21a>0,b>0 图形范围xa 或 xa,yRxR, ya 或 ya性对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1a,0,A2a,0A10, a,A20,a 渐近线y±b ax y±a bx质离心率ec a,e1, ,其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2a 2b2ca0,c b0 规律 : 1.双曲线为等轴双曲线. 双曲线的离心率e2. 双曲线的两条渐近线相互垂直位置关系 c 2a 2b2. 第 4 页,共 5 页2.区分双曲线中的a,b,c 大小关系与椭圆a,b,c 关系,在椭圆中a2b2 c 2,而在双曲线中2双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e0,13在双曲线中,离心率ecc2a2a2b21b2aa2a24双曲线的离心率e 越大 ,开口越阔 . 【学问点 4】双曲线中的焦点三角形:名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定 义: PF1 - PF2 ±2a F1F2 2c余弦定理 : F1F22= PF12+ PF22-2 PF1 PF2 cosF1PF2= 2 2面积公式 :在双曲线 x2 y2 1（ a b 0）中,焦点分别为 F 、F ,点 P 是双曲线上任意一点,a b2bS F PF 1 2F 1PF 2,就 tan2【学问点 5】直线与双曲线的位置关系的判定：设直线l:ykxmm0 ,双曲线x2y21 a,0b0 联立解得2a2b2b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20（1）如b2a2k20即kb,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；a（2）如b2a2k20即kb时,2a2mk24b2a2k2a2m2a2ba0直线与双曲线相交,有两个交点；直线与双曲线相切,有一个交点；0直线与双曲线相离,无交点；0【学问点 6】弦长公式 : AB =1k2|x 1x 2|11k2x 1x 224 x 1x 21k2a,AB11y 1y21a（其中 k 为直线斜率）k2k2【学问点 7】中点弦问题 （点差法）：遇到弦中点,两式减一减；如要求弦长,韦达来帮忙；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
