2022年高一数学必修一知识点总结.docx

精品_精品资料_高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y(3) 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3. 集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R1） 列举法： a,b,c 2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.xR| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图:4、集合的分类 ：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x 2= 5 二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意： AB 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,.（ 2）A 与 B 是同一集合.反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB或 BA2“相等”关系： A=B5 5 ,且 5 5 ,就 5=5实例：设A=x|x 2-1=0B=-1,1“元素相同就两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集.AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_真子集 :假如 AB, 且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB 或 BA假如AB, BC , 那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.有 n 个元素的集合,含有2 n 个子集, 2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型定义交集并集补集由全部属于 A 且属由全部属于集合A 或设 S 是一个集合, A 是于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所S 的一个子集, 由 S 中的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合, 叫做 A,B全部不属于A 的元素交集 记作 AB的并集 记作： AB组成的集合, 叫做 S 中（读作 A 交 B ）, （读作 A 并 B）,子集 A 的补集 （或余集）即 AB= x|xA , 即 AB =x|xA,记作 CS A ,即且 xB或 xB CSA= x|xS,且xA韦恩图示ABABSA图 1图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性AA=AA= AB=BAABA质AA=AA =AAB=BAABCuAC u B= C u ABCuAC u B= C uAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABBABBAC uA=UAC uA= 二、函数的有关概念1. 函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如根据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx ,xA 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域. 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域2. 值域 : 先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法 3区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示 4映射一般的,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“ f（ 对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射 f：A B 来说,就应满意：(1) 集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯独的.(2) 集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.5. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （ 1）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1, x2,当 x 1<x 2 时,都有 fx 1 <fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2 ,当 x 1<x 2 时, 都有 fx 1fx 2,那么就说 fx在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质.（ 2） 图象的特点假如函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x 1, x 2 D,且 x1<x 2.2作差 fx1 fx2 .3变形（通常是因式分解和配方）.4定号（即判定差fx1 fx2 的正负）.5下结论（指出函数fx 在给定的区间 D 上的单调性） (B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx , y=fu 的单调性亲密相关,其规律： “同增异减” 8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般的, 对于函数 fx 的定义域内的任意一个 x ,都有 f x=fx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么 fx 就叫做偶函数（ 2）奇函数一般的,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称 利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.2 确定 f x 与 fx 的关系.3 作出相应结论：如fx = fx或 f x fx = 0 ,就 fx是偶函数. 如 f x = fx或 f x fx = 0 ,就 fx 是奇函数其次章基本初等函数一、指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）指数与指数幂的运算1. 根式的概念： 一般的, 假如xn其中 n >1 ,且 n N *a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nn a m a0, m, nmN * , n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amn11aanma n0, m, nN * ,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义3. 实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）a r · a ra r sa0,r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a rs（ 2）（ 3）abra rsar a sa0,r , sa0,r , sR .R 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）指数函数及其性质1 、指数函数的概念：一般的,函数ya x a0,且a1 叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 R值域 y 0在 R 上单调递增非奇非偶函数 函数图象都过定点（ 0 , 1）定义域 R值域 y 0在 R 上单调递减非奇非偶函数 函数图象都过定点（ 0, 1）留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（ 1）在a,b上, f x f b, f a .ax a0且a1 值域是 f a, f b 或（ 2）如 x0 ,就 f x 1 .f x 取遍全部正数当且仅当x（ 3）对于指数函数 f xax a二、对数函数（一）对数0且a1 ,总有 f 1R .a .1对数的概念：一般的,假如叫做以a 为底 N 的对数,记作：a xxN a0, a1 ,那么数 xlog a N （ a 底数, N 真数, log a N 对数式）说明： 1留意底数的限制23axNlogaNax .0 ,且 a1 .留意对数的书写格式log a N两个重要对数：1常用对数：以 10 为底的对数 lg N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数式与对数式的互化幂值真数aab NlogN b底数指数对数（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1 , M0 , N0 ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a M· N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2log aNlog a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3log a Mn log a MnR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b（ alog c a0 ,且 a1.c0,且 c1 .b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）loga m bn logb .（ 2 ） logb m1log b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog axa0 ,且 a1 叫做对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（0 , +）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_辨别.如： y2 log 2 x , yxlog 55都不是对数函数,而只能称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其为对数型函数2对数函数对底数的限制：2、对数函数的性质：a0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32.521.51 132.521.51 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 1 , 0）函 数 图 象 都 过 定 点（ 1 ,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）幂函数1、幂函数定义： 一般的, 形如 y其中为常数2、幂函数性质归纳x aR 的函数称为幂函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）全部的幂函数在（ 0, +）都有定义并且图象都过点（1 , 1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 0, 上是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增函数 特殊的, 当1时,幂函数的图象下凸. 当 0幂函数的图象上凸.1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）0 时,幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一象限内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限的靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 时,图象在 x 轴上方无限的靠近 x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、函数零点的概念： 对于函数 yf x xD ,把使f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立的实数 x 叫做函数 yf x xD 的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数零点的意义：函数yf x 的零点就是方程f x0 实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数根,亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：方程f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点函数 yf x 有零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f x0 的实数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax2bxca0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）,方程ax2bxc0 有两不等实根,二次函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 2）,方程 axbxc0 有两相等实根,二次函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）, 方程ax 2bxc0 无实根, 二次函数的图象与x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴无交点,二次函数无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载