2022年最新高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结 .docx

精品_精品资料_必修四常考公式及高频考点第一部分三角函数与三角恒等变换考点一角的表示方法1. 终边相同角的表示方法：全部与角 终边相同的角,连同角在内可以构成一个集合： | = k · 360 ° +,k Z 2. 象限角的表示方法：第一象限角的集合为 | k · 360 ° < <k· 360 °+90 ° ,k Z 其次象限角的集合为 | k · 360 ° +90 °< <k·360 ° +180 ° ,k Z 第三象限角的集合为 | k · 360 ° +180 ° < <k·360 ° +270 ° ,k Z 第四象限角的集合为 | k · 360 ° +270 ° < <k·360 ° +360 ° ,k Z 3. 终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上如轴线角 的表示方法：（ 1）如所求角 的终边在某条射线上,其集合表示形式为 | = k · 360 ° + ,k Z ,其中 为射线与x 轴非负半轴形成的夹角（ 2）如所求角 的终边在某条直线上,其集合表示形式为 | = k · 180 ° + ,k Z ,其中 为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角（ 3）如所求角 的终边在两条垂直的直线上,其集合表示形式为 | = k · 90 ° + ,k Z ,其中 为直线与 x 轴非负半轴形成的任一夹角例：终边在 y 轴非正半轴上的角的集合为 | = k · 360 ° +270 ° ,k Z 终边在其次、第四象限角平分线上的集合为 | = k · 180 °+135 ° ,k Z 终边在四个象限角平分线上的角的集合为 | = k · 90 ° +45 ° ,k Z 易错提示：区分锐角、小于 90 度的角、第一象限角、0 90、小于 180 度的角考点二弧度制有关概念与公式1. 弧度制与角度制互化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_180, 1, 1 弧度18018057.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 扇形的弧长和面积公式 （分别用角度制、弧度制表示方法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弧长公式： ln RR,其中为弧所对圆心角的弧度数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_扇形面积公式：180Sn R 21 lR1 R2|,其中为弧所对圆心角的弧度数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=36022122易错提示： 利用 S=R | 求解扇形面积公式时,为弧所对圆心角的弧度数,不行用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4 个量,“知二求二” ,留意公式选取技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点三任意角的三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 任意角的三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P x, y,那么 siny , cosx , tany （ r| OP |x2y2 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简为siny,cosx,tany .xrrx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.3. 特别角三角函数值SIN15o=SIN60 o-45o=SIN60oCOS45o-SIN45oCOS60o=6-2/4 COS15o=COS60o-45o =COS60oCOS45o+SIN60oSIN45o=6+2/4除此之外,仍需记住15 0 、75 0 的正弦、余弦、正切值4. 三角函数线y终边终边yPTP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OMAyPTMOA终边Px正弦线余弦线正切线xMOAxTyMOAxPT终边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经典结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 如 x0, ,就 sin xx 2tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如 x0, ,就 1sin x2cosx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) | sin x | cos x | 1考点四三角函数图像与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性函 数质ysin xycosxytan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域RRx xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域1,11,1R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x2k最值k时,2max当 x2kk时,ymax1 .y.1k既无最大值也无最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1当 x2kk时,2min当 x2k时,ymin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k在上是增函数.2k, 2k22在 2k,2 kk上是增函数.在 k, k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性在3k上 是 减 函在上是减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k, 2k22数2k ,2kk数k上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性对称中心k ,0k对称中心 k,0k2对称中心k,0k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴 xkk 2对称轴 xkk无对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点五正弦型（ y=Asin x ）、余弦型函数（ y=Acos x ）、正切性函数（ y=Atan x）图像与性质1. 解析式求法（ 1） y Asin x B 或 y=Acos x B 解析式确定方法字母确定途径说明A 由最值确定A最大值最小值2B 由最值确定B 最大值最小值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的肯定值为半个周期,最高点 或最低点 的横坐标与相邻零点差的肯定值为0.25 个周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象上的特别点确定可通过认定特别点是五点中的第几个关键点,然后列方程确定.也可通过解简洁三角方程确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B 通过图像易求,重点讲解、 求解思路： 求解思路：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入图像的确定点的坐标. 如带入最高点x1, y1 或最低点坐标x2,y2 ,就 x12kk2Z 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x32kk 2Z ,求值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易错提示： y=Asin x ,当 >0,且 x=0 时的相位（ x+ = ）称为初相 . 假如不满意 >0,先利用诱导公式00进行变形,使之满意上述条件,再进行运算. 如 y=-3sin-2x+60 的初相是 -60 求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系,解 . 相邻的对称中心之间的距离是周期的一半.相邻的对称轴之间的距离是周期的一半.相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.2. “一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数,图像是关键.易错提示： “ 左加右减、上加下减 ”中“左加右减”仅仅针对自变量x,不行针对 -x 或 2x 等.例： “两域”：(1) 定义域求三角函数的定义域实际上是解简洁的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.(2) 值域 最值 ：a. 直接法（有界法） ：利用 sinx , cosx 的值域 .b. 化一法：化为y=Asin x+ +k 的形式逐步分析 x+ 的范畴,依据正弦函数单调性写出函数的值域 最值 .c. 换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体,化为求一元二次函数在给定区间上的值域 最值 问题 .例：1. y=asinx2+bsinx+c222. y=asinx+bsinxcosx+ccosx3.y=asinx+c/bcosx+d 4.y=asinx± cosx+bsinxcosx+c“四性”：(1) 单调性函数 y=Asin x+ A>0,>0 图象的单调递增区间由2k - < x+ <2k ,k Z 解得,单调递减区间由22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k x+ <2 k 1.5 , k Z 解得 ;+ 2 <函数 y=Acos x+ A>0,>0 图象的单调递增区间由2k +< x+ <2k 2 ,k Z 解得 ,单调递减区间由2k < x+ <2 k , k Z 解得 ;函数 y=Atan x+ A>0,>0 图象的单调递增区间由k - < x+ <k , k Z 解得 ,.22规律总结： 留意 、A 为负数时的处理技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 对称性函数 y=Asin x+ 的图象的对称轴由 x+ = k k Z 解得, 对称中心的横坐标由 x+= k k Z 解得 ; 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=Acos x+ 的图象的对称轴由 x+ = k k Z 解得 , 对称中心的横坐标由 x+ =k k Z解得 ;2函数 y=Atan x+ 的图象的对称中心由 x+ = k k Z 解得 .规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式. 无需区分 、A 符号 .(3) 奇偶性2函数 y Asin x ,x R是奇函数 . k k Z ,函数 y Asin x ,x R 是偶函数 . k k Z .函数 y Acos x ,x R是奇函数 . k k Z .函数 y Acos x ,x R是偶函数 . k k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Z .函数 y Atan x , x R是奇函数 . k2 k Z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式. 无需区分 、A 符号 .(4) 周期性函数 y Asin x 或 y Acos x 的最小正周期 T 2 ,| |y Atan x 的最小正周期T .| |考点六常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1. 同角三角函数的基本关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2cos21 . tan=sin cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 三角函数化简思路： “去负、脱周、化锐”（ 1）去负,即负角化正角：sin-a=-sina. cos-a=cosa.tan-a=-tana.（ 2）脱周,即将不在（ 0,2 ）的角化为（ 0,2 ）的角：sin2k +a=sina . cos2k +a=cosa .tan2k +a=-tana.（ 3）化锐,即将在（0,2 ）的角化为锐角：6 组诱导公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 sin 2ksin, cos 2kcos, tan 2ktank可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 sin2cos, cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 sin2cos, cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀：奇变偶不变,符号看象限 . 均化为“ k /2 ±a” , 做到“两观看、一变” .一观看： k 是奇数仍是偶数 .二观看： k /2 ±a 终边所在象限 ,再由 k/2 ± a 终边所在象限, 确定原函数 对应函数值的正负 . 一变：正弦变余弦、 余弦变正弦、正切利用商的关系变换 . 其中公式（ 1）也可懂得为终边相同角的三角函数值相同,公式（ 3）也可依据函数奇偶性懂得3. 两角和差公式sin sin cos cos sin . cos cos cos sin sin .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantantan,1tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 二倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2sincos. cos 2cos2sin 22cos2112sin 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan 22 tan,1tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式,当= 时的特别情形倍角是相对的,如0.5 是 0.25 的倍角, 3 是 1.5 的倍角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 升降幂公式cos 2cos2sin22cos 2112sin 2（升幂缩角） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos21cos2,sin 21cos2（降幂扩角） ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 帮助角公式22b <可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_asinbcos=ab sin 帮助角所在象限由点 a, b 的象限打算 , tana, -2< 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 半角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinA =±21cos A. cos2A =±21cos A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan A =1cos A. tanA =1cos A =sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21cosA2sin A1cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 其它公式1+sin a =sina +cos2a 2. 1-sin a = sin2a -cos2a 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 万能公式2 tan a1 tan a 22 tan a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin a=12tan a 22. cos a=1tan2a 22.tan a=1tan2a 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 和差化积sin a+sin b=2sinab cos2ab . sin a-sin b = 2cos2ab sinab 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos a+cos b = 2cosab cos2ab .cos a-cos b = -2sin2ab sinab 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan a+tan b =sin ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos a cosb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 积化和差sinAsinB =-sinAcosB =1 cosA+B-cosA-B. cosAcosB =21 sinA+B+sinA-B. cosAsinB =21 cosA+B+cosA-B21 sinA+B-sinA-B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 三倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 33sin4sin 34sinsinsin33.3tantan3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos34cos 33cos4coscos3cos3 . tan313tan 2tantan 3 tan 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 三角形中三角函数关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC中,有ABCC ABCAB2C 22222 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin ABsin C . cos ABcos C . tanA+B=-tanC;sin ABcos C 等2215. 三角函数化简的常用技巧1. 三角函数化简要做到“四看、四变”(1) 看角、做好角的变换：观看角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系,实行诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等方法化简.(2) 看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化,把握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次(4) 看形、做好形的变换：利用帮助角公式,统一函数形式2. 详细技巧(1) 遇分式通分、遇根式升幂.(2) 和积转换法2把握 sin ±cos , sin cos 化简方法,利用 sin±cos(3) 巧用“ 1”的变换1±2sin cos ,“知一求二” 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 sin 20cos tan45 sin2 cos 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 四种常见题型给角求值、给值求值、给值求角,帮助角公式如角的范畴在 （ 0,90 ）,挑选正弦、 余弦函数均可. 如角的范畴在 （ 0,180 ）,挑选余弦函数较好. 如角的范畴在 （ -90,90 ）, 挑选正弦函数较好其次部分平面对量考点一向量的有关概念1. 向量：既有大小又有方向的量,用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示2. 向量的模：有向线段的长度,|a|3. 单位向量：模为 1 的向量 . 与 a 平行的单位向量：± a/|a|.与 a 同向的单位向量：a/|a|.单位向量有很多个4. 零向量：模为0 的向量,方向是任意的. 留意实数 0 与向量 0 的区分5. 相等向量：长度相等、方向相同. 对向量起点和终点不作要求, 可在平面内任意平移6. 相反向量：长度相等、方向相反. 对向量起点和终点不作要求, 可在平面内任意平移7. 共线向量（平行向量） ：方向相同或相反的非零向量,对长度不作要求易错提示：1. 有向线段与向量的区分：向量可用有向线段来表示,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着很多多条有向线段 .向量只有两要素 : 方向和大小 ; 而有向线段有三要素 : 起点、方向和大小2. 共线向量（平行向量）可重合,留意与直线平行的区分.不要单纯从字面上懂得共线向量,留意与直线重合的区分3. 规定零向量与任意向量平行.不行说零向量与任意向量垂直4. 零向量与单位向量的特别性：长度确定、方向任意. a/b, b/ c,不肯定推出 a/c; a=b, b= c,肯定推出 a=c6. 向量不行以比较大小,如不能得出 3i>2i考点二向量的线性运算1. 向量的加法法就（ 1）平行四边形法就：共起点,指向对角线.起点相同、终点相同,首尾相连、路径不限（ 2）三角形法就：首尾相连,可懂得为“条条大路通罗马”2. 向量的 减法原就：起点相同、指向被减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OA OBOCOA OBBA1 a+b=21 OC ,21 a-b=21 BA2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个向量共线只可用三角形法就.封闭图形、首尾相连、相加为零3. 向量的数乘运算实数与向量 a 的积叫做向量的数乘,记作a 其几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩（ 1）aa（ 2）当0 时, a 的方向与 a 的方向相同.当0 时, a 的方向与 a 的方向相反.当0 时, a04.a 与 b 的数量积运算a·b=| a|b|cos =|a|b|cos<a,b>=x1x2+y1y 2（ 1） |a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影. |b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影（ 2）a·b的几何意义： a·b 等于 |a| 与|b| 在 a 方向上的投影 |b|cos<a,b>的乘积（ 3） 为 a 与 b 的夹角, 0 （ 4）零向量与任一向量的数量积为0（ 5）a·b= - b·a（ 6）向量没有除法,“a / b”没有意义 , 留意与复数运算的区分BbOaDA（ 7）向量的加法、减法、数乘结果为向量,向量的数量积结果为实数易错提示：向量的数量积与实数运算的区分：（ 1）向量的数量积不满意结合律,即：a .b .ca .b .c（ 2）向量的数量积不满意消去律,即：由a.b=a .c a 0 ,推不出 b=c（ 3）由 |a|=|b|,推不出 a=b或 a=-b（ 4） |a.b| |a| .|b|考点三向量的运算律1. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么(1) 结合律： a= a;(2) 第一安排律： + a= a+a;(3) 其次安排律： a+b= a+b.2. 向量的数量积的运算律：1a · b= b · a （交换律） ;2 （a）· b=（a· b） =a· b= a ·（b） ;3 （ a+b）· c= a· c +b · c.考点四向量的坐标表示及坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 平面对量基本定理假如 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、2,使得a= 1e1+ 2e2不共线的向量（隐含另一条件为非零向量,基底不唯独）e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b 共线 .解题思路：可用两个不共线的向量e1、e2 表示向量 a、b,设 b= a（ a0）,化成关于 e1、 e 2 的方程,即 f e1+g e2=0, 由于 e1、 e 2 不共线,就 f =0 , g =02. 向量的坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i , j 是一对相互垂直的单位向量,就有且只有一对实数x, y,使得 ax iy j ,称x,y为向量 a的坐标,记作：ax,y ,即为向量的坐标 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设 a= x1, y1 ,b=x2,y2 ,就 a+b= x1x2, y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 a= x1 , y1 ,b=x2,y2 ,就 a-b=x1x2, y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 设ax 1 , y 1x 1 ,y 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 设 a= x1, y1 ,b=x2,y2 ,就 a· b=| a|b|cos=x 1 x 2+y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 5）设 A x1, y1 , B x2 ,y2 , 就 ABOBOA x2x1 , y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6） |AB |2x 2x 1y 2y 1, A 、 B 两点间距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易错提示：公式（ 2）与公式（ 5）的区分向量坐标与该向量有向线段的端点无关,仅与其相对位置有关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点四向量的常见公式1. 线段的定比分公式（ 1）定比分点向量公式：设P1 x1 , y1 , P2 x2 ,y2 ,Px, y 是线段P1P2 的分点 ,是实数,且P1PPP2,就的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x坐标是1x2 , y1xx1x2y2,即1OPOP1OP2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11yy1y211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OPtOP1t OP （ t1） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121（ 2）定比分点坐标公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资