2022年高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教案说明1、教学要求在最新修订的全日制一般高级中学数学教学大纲中对本节课的要求是明白数系扩充的必要性,懂得复数有关概念.在国家新课程标准下,对本节课的要求为：1在问题情境中明白数系扩充过程,体会实际需求与数学内部的冲突（数的运算规章、方程求根）在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）懂得复数的基本概念以及复数相等的充要条件.因此在讲解本节课时既要通过复数概念的懂得表达数学的本质仍要通过数系的扩充呈现数学的人文价值.2 、教材处理：本节课包含两个内容：数系扩充、复数的概念.就数系扩充的内容而言,本节课是一节介绍数学史的课程,期望同学体会实际需求与数学内部冲突在数系扩充中的作用,感受人类理性思维的作用与现实的关系.就复数内容而言,本节课是一堂概念课,因此如何让同学懂得相关的概念显得很重要.同时本节课也是一堂全新内容的课介 绍之前从未接触的“虚数”,因此“虚”的懂得就成为复数概念懂得的难点,但同时也是本节课的重点.对此,本节课由方程无实数解引入,从而引出最开头的形式上的“虚数”.通过与方程在有理数域与实数域解情形的类比,指出扩展数域的必要性.其后由卡尔丹诺的形式虚数,顺势介绍复数系扩充史,进而得到虚数的单位“ i ”.在引入复数之后,依据争论问题的一般思路：新概念的懂得新旧概念的对比新概念的系统化.自然引出复数与实数虚数的关系、复数大小、复数的相等等问题.其间做一些辨析与巩固练习,以此对学过的学问加深懂得.3、教法说明：1、数系扩充这个内容,实行问题引入,老师讲解的方式.实行问题引入,是为了让同学体会实际需求与数学内部的冲突在数系扩充中的作用,进一步的感受到人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系,表达数学的人文价值.在数学史的介绍中,让同学体会创新,要敢于突破,敢于质疑,敢于提出新的看法,进而渗透德育训练.通过对复数系的扩张,懂得“i”的形成过程,有助于同学明白虚数单位的实质,更深化的明白复数、虚数的概念,从而防止数学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的形式化.2、复数的概念,为本节课的重点.本着以人为本的原就,结合同学的懂得才能与思维方式实行引导的方法,让同学自主摸索,以引导思路、规范过程为主,实行探究式教学,更多的留意课堂教学的生成性.在学习过程中通过归纳（归纳出复数的一般形式）、类比（虚数、实数的对比） 、特别化（复数、实数、虚数的关系）等,让同学体会开拓性争论的思路,明白处理新问题的方法.3、例题与练习,以教材为蓝本,同学练习为主,老师巡堂、指出问题并规范过程.例题与练习相结合,难度上由浅入深,逐层深化,让同学的对复数的概念形成一个理性感性理性的一个螺旋上升的过程,从而在概念懂得上更加透彻.在巡堂过程中,对个别的问题单独指导,对普遍显现的问题在课堂上可以进行探究.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、教学目标课题: 数系的扩充和复数的概念教材: 人教 A 版可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）在问题情境中明白数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的冲突（数的运算规章、方程理论）在数系扩充过程中的作用, 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系（2）懂得复数的基本概念以及复数相等的充要条件【教学目标说明】德育方面：1、通过对探究题的设置,让同学能够自然的明白争论问题的一般方法,能够自然的提出问题,并在老师的引导下逐步达到自主解决问题.接下来让同学清晰争论新问题的一般流程：新 概 念新 旧 概 念 的 联 系 与 区 别新概念的新性质争论2、对数学进展史的明白和数系的扩充,表达数学的人文价值,以此激发同学的学习爱好.期望通过数系的扩充,让同学体会争论过程中有辛酸的挫折也有欣喜的成果,渗透争论精神.才能方面：1、类比推理才能.数系扩充类比.复数与实数类比.运算规章类比.大小比较类比.2、归纳整理才能.新旧学问的梳理与归纳.复数形式的归纳.学问方面：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1、复数概念懂得：关键在于“ i”的懂得.“ i ”可以看作一个单位,作为纯虚数部分的度量.也可以看成一个方向.“i”也可以类似基底进行懂得.即复数在（ 1, i）上分解.2、复数相等的充要条件：从分解上讲,就比较简单懂得.2、教学重点（1）数系的扩充过程（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件3、教学难点（1）虚数单位 i 的懂得（2）复数的大小比较.3、教学方法： 讲解式、启示式、探究式【教学方法说明】对于复数的概念实行引导的方法,让同学自主的摸索,实行探究式教学,更多的留意生成性.复数的概念主要3个方面：复数的形式、“i”的懂得、复数相等的充要条件.复数的形式：归纳为主,将实数、虚数“一网打尽”,可以 写作“ a+bi”的形式.可以由老师引导,同学归纳的方式.“ i”的懂得：老师引导,同学争论,老师总结的方式.一方面能提高同学的课堂参加度,另一方面也能够让同学对新概念熟悉深刻.复数相等的充要条件：由同学自己体会并提出来,不需要证 明.但是需要让同学去结合“i”的懂得,进行类比摸索.留意要强调实部虚部必需为实 数.教学手段： 多媒体帮助教学4、教学过程 : 一 引入新课 .问题 1：能否查找两个数,使得它们的和为10,乘积为 40.利用设元的方法,转化为一个一元二次方程求解,可以发觉判别式小于 0.工作无法连续；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程怎么x 2办？2（0学在生已回知答数）系中的解集探究：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 在实数集中. 2 二 讲授新课 .1、数系扩充引入：问题 2 说明, 对于同一个方程在不同的数系中其解的情形是不一样的.对于问题2中的方程在有理数中不行解但在实数集却是可解得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由此得到启示：对于问题1在实数集不行解,但是是非存在一个新的数集,使得在新的数集上问题1可以得到解决？假如存在,那又是一个什么样的数集了？2、数系扩充史简述：最早于到涉及到问题1 并提出形式解决的是1545 年意大利数学怪杰卡尔丹诺在解决三次方程的根是遇到了一个问题：求两个数使得他们的和为 10,乘积为 40.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_卡丹得到了形式上的解决：x515 , y515 .但是对于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15 没有给出任意的说明,在此只是作为一个形式与开方的记号显现.直到解析几何的开山始祖笛卡尔才开头给出了一个和实数realnumber对应的名称虚数（ imaginary number）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实际上：从形式上,15151 ,或者对任意的负数开方都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以写成：| a |1 （ a<0）的形式,所以搞清晰负数开方的问题也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就等价于搞清晰1 .对此,宏大的数学家欧拉第一个提出“i ”作为一个虚数单位（类似于力的单位是N,虚数的单位规定是i ）.2规定： i1 .而真正对复数进行系统化、严密化、规律化的工作出自数学王子高斯的手下,高斯正式的提出“复数”一词,并对复数进行的运算法就、复数范畴内多项式方程的解等进行了一系列争论.从今,虚数也就不“虚”,正式进入数学的大家庭并在信号处理、航空航天、函数处理等领域发挥出庞大的威力.3、复数的引入和数系的扩充因此,在欧拉引入虚数单位i 之后,卡尔丹诺的方程的解在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系中无解,但在在复数范畴内解存在,x515 , y515 可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以写成 x515i , y515i .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,假如 zabi, a, bR ,就称 z 为复数,其中i是虚数单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_位.全部的复数构成的集合称为复数集.一般的复数通常用字母z 表示,即 za实部, b 称为虚部.bi ,a , bR) .其中 a 称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从今,世界上就一种新的数系复数系登上了数学的舞台,并为解决许多的实际问题供应了一种新的有力的工具.至此,我们对数系的进展有了比较完整的明白,回忆从幼儿园到现在我们学习了那些数了？能不能做一个表？虚 数 ：负 数不 能开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自然数：计数负数：不够减分数：不够除方复数有理数实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无理数：不够开方学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -从这个表中我们也可以发觉数学的进展的动力来自于问题,为解决冲突而进行数域的拓展.4、复数的进一步探讨 ：我们学习了那么多的数集,有必要对此进行一个分类,进行整理,明白他们的相互关系：探究 1：争论特别的复数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 假如 b2） 假如 b0 时,z是什么数？（实数）0 时, z 是什么数？（虚数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 假如 a0,b0 , z是什么数？（纯虚数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4）总结虚数、纯虚数、实数、复数之间关系,并画出集合韦恩图.27 ,i 2 , i 3 ,39i,0, 13 i, 2练习：判定7 各是什么数？详细回答：实数、虚数、纯虚数.假如是虚数指出其实部和虚部.练习 2、判定以下命题是否正确：（ 1）如 a、b 为实数,就 Z=a+bi 为虚数（ 2）如 b 为实数,就 Z=bi 必为纯虚数（ 3）如 a 为实数,就 Z= a 肯定不是虚数1）、复数、虚数、纯虚数的关系和判定原就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：复数 z虚数？m1m1 i, mR 何时为实数,何时为虚数？何时为纯可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： m1; m1; m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2练习1：复数 zmm2m21i , mR 何时为实数,何时为虚数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_何时为纯虚数？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： m1; m1; m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：已知复数zn4m23m4 n23n4i,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) m, n取什么整数值时, z是纯虚数 ;(2) m, n取什么整数值时, z是实数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： n4, m4且m1, mZ . n4或n1, m4且m1, mZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探究 2：1）、实数可否比较大小？那么复数了？可否比较大小？能否判定两个复数相等.2）、给出复数相等的条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 xabi, ycdiEMBEDEquation.3a ,b,c, dR 就 xy 的充要条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件是a=c,b=d.注：此问题本质上归结于对虚数单位“i”的懂得.可以从3 个角度懂得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1）单位角度懂得（懂得i 的本质）.2）基底角度懂得（摸索角度拓展） .3）方向类比懂得（可以为后面的几何意义（向量类比）做伏笔）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2：使不等式 m 2 m 23mim 24m3i10成立的实数m的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：假如 xy y1i2 x3 y2 y1i ,求实数 x,y 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由复数相等的条件知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy2x3 y y12 y1x4解之：y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x=4,y=-2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：已知关于x,y的方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2x - 1iy - 3 - yi有实根,求实数a,b的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xay 4xybi98i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：先运算x、y,然后运算 a、b.答案： a=1,b=27：课堂小节：1数学的进展来源于问题事物在冲突中前进.2复数有关概念.3复数与实数、虚数的关系.4复数相等的条件.8、分层作业（略）9、教学反馈本节课同学的问题集中在虚数不能比较大小,他们表示不行以懂得为何实数能够比较虚数不行以.问题主要归结为两种类型：纯虚数的比较,与虚部相同虚数的比较.(1) 纯虚数的比较：他们认为 5i>3i.理由是 5>3.这个理由是不成立的.一个通俗的、不严密的说明：由于不等式两边同时乘一个数,不等 号变向问题依靠于所乘数的正负,而明显i是无法判定正负的.由于i是虚数单位,而0 是实数的范畴.（2）虚部相同的虚数比较：他们认为5+3i>2+3i.其实,这个问题与上面的说明类似,都要求对同一数域加减,而3i是虚数, 5 和 3 是实数.此种说明并不能让同学中意,最好的说明就是类比向量.假如这样的问题严格的说明会涉及到数域中不等关系的定义问题,一方面是同学学问储备不足,另一方面是同学的懂得才能也未必足够,因此留作课后探究,课堂上不行涉及太多.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载