2022年高中数学圆锥曲线之抛物线的常见题型 .docx
精品_精品资料_一、抛物线定义的应用涉及到抛物线的焦半径、 焦点弦的问题, 可以优先考虑利用抛物线的定义将其转化为点到准线的距离,反之也可以.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2022 四川】已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M 2, y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设点 M 到该抛物线焦点的距离为3 ,就 | OM |A 、 22B、 2 3C、 4D、 2 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： p12y22 px4x2, 22OM2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2022 成都三诊】已知过抛物线y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于A, B 两点,假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设线段 AB 的中点 M 的横坐标为 3,就线段 AB 的长度为A 6B 8C 10D12答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 析 ： 根 据 抛 物 线 定义 来 求 解 , 设 点 A 的 横 坐 标 是x1 , 点 B 的 横 坐 标 是x2 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABx1x2随堂练习pp822可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、过抛物线y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于A, B 两点,假设 | AB |25 ,| AF12| | BF | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 | AF | .2511255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：| AF| BF |,2 ,就 | AF |,| BF |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 | AF | BF |p64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在直角坐标系中,直线l 过抛物线y24x 的焦点 F ,且与该抛物线相交于A, B 两点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 A 点在 x 轴上方,假设直线的倾斜角为60 ,就OAF 的面积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：联立112和 | AB |2 p2为弦 AB的倾斜角 可解得 AF4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| FA | FB |psin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S OAF1 *4*1*sin12032可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、抛物线标准方程【2022 全国 II 】设抛物线 C：y2 2pxp0的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF | 5,假设以 MF为直径的圆过点 0,2 ,就 C 的方程为 A y2 4x 或 y2 8xB y2 2x 或 y2 8xCy 2 4x 或 y2 16xD y2 2x 或 y2 16x答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 设点 M 的坐标为 x0 ,y0,由抛物线的定义,得 |MF | x0p 5,就 x0 5 p .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 F 的坐标为p ,02,所以以 MF 为直径的圆的方程为 xx0 xp yy0y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.将 x 0, y 2 代入得 px0 8 4y0 0,即2y0 4y0 80,所以 y0 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 y02 2px0,得 162 p 52p,解之得 p 2,或 p 8.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 C 的方程为 y24x 或 y2 16x.应选 C.三、抛物线的几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2022 全国 I】设 F 为抛物线 C:y23x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点, O 为坐标原点,就OAB 的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 3 4B. 93 8C. 63 32D. 9 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】D【解析】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 A、B分别在第一和第四象限, AF =2m, BF =2n,就由抛物线的定义和直角三角形学问可得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 m=2 . 3 +43m,2n =2 . 3 -43n,解得 m=3 2 +23 , n =3 2 -23 , m+ n = 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S OAB =13.m+ 24n =9 .应选 D.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2022 成都三诊】 如图, 一隧道截面由一个长方形和抛物线构成. 现欲在隧道抛物线拱顶上安装信息采集装置 . 假设位置 C 对隧道底 AB 的张角最大时, 采集成效最好, 就采集成效最好的为止 C 到 AB 的距离是CA 2 2 mB 23 m6mC 4 mD 6 m2m答案： AAB2解析： 建立如下图直角坐标系,并过点C 作 AB 的垂线,8m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂足为 F ,易知抛物线的方程为x4 y ,设 C x, y, CFt ,就 AF4x, FB4x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故4x4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanACBtt8t8t8t88可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2116xt2t 216x2t 216 4 yt 21646tt48 t4 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 t22 时,ACB 取最大值,应选 A .随堂练习：如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a,bab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原点 O 为 AD 的中点,抛物线y22 px p0) 经过C, F 两点,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b . aaab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：C, 2a) , F b, b ,代入可求得122a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、抛物线综合问题【 2022三 诊 】 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , A 和 B 分 别 是 椭 圆x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1 :a2b 21ab0 和椭圆C2 :m2n 21mn0 上的动点, 已知C1 的焦距为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,点 T 在直线 AB 上,且 OA OBAB OT0 ,又当动点 A 在 x 上的射影为C1 焦点时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 恰在双曲线2 y2x21的渐近线上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I求椭圆C1 的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22II假设C1 与 C2 共焦点,且C1 的长轴与C2 的短轴长度相等,求| AB |2的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_III 假设m, n 是常数,且111,证明 | OT| 为定值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：I 双曲线2y 2mn2x21 的渐近线方程为 y2 x ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意知椭圆C1 的半焦距c11,就 ab21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 A 的坐标为 b2b2c, ,且在渐近线上,故1aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得 a2, b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2椭圆 C1 的标准方程为2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II C1 与 C2 共焦点,且C1 的长轴与C2 的短轴长度相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就 na2 , mn13 ,即x2y2C2 的方程为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32当直线 OA 的斜率存在且不为零时,设为k ,就直线 OA 的解析式为ykx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 OB 的解析式为 y ykx1 x 分别联立 A、 B 所在的椭圆解析式可得：k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xy212x2212 k22|OA |11212k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ky2x2y21632k 2|OB |23332 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_324k24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB |2444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k212k 23834k 2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 34k 2k21243 ,当且仅当k 232时取等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB |24423843可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4| AB |223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线 OA 的斜率 k 为零或者不存在时,有| AB|24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,| AB |2 的取值范畴是 23,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_III 当直线 OA 的斜率存在且不为零时,设为k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222| OT |2OA OBOA2 2OB2OA2OB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABABOAOB111所以222| OT | OA|OB |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 II可得112k 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|OA |21k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 xky21|OB |2k 2111k 21m2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2k 21k 21| OB |2 k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mn1m2n2m2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11112k 2m2n2121k111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222 k2212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|OT | OA |OB |21k k11k2mm2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| OT |m1m2,当 m是常数时, |OT|为定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知当直线 OA 的斜率不存在或者为零时,上述结论也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2022 全国 I】在直角坐标系 xOy 中,曲线x2C : y直线4ykxaa0 交与 M 、N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点 当 k0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有OPMOPN ？说明理由.解析：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 k0 时,直线 ya ,故 M 、N两点的坐标分别为 2a, a、2a, a 或者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a, a、 2a, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y'x ,所以曲线 C 在点 22a, a 的切线方程为axya0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点 2a, a 的切线方程为axya0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 存在符合题意的点,证明如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P0, b 为符合题意的点,M x1, y1 、N x2 , y2 ,直线 PM 、PN的斜率分别为k1、k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2就联立方程组y4可得 x24 kx4a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxax1x24kx1x24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12从而 kky1by2bkab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k1k20 ,即 ba 时,有OPMOPN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以点P 0,a 符合题意 .可编辑资料 - - - 欢迎下载
