2022年高中数学圆锥曲线重要结论.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -圆锥曲线重要结论椭圆1. 点 P 处的切线PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的 外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如 P x , y 在椭圆xy21 上,就过P 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2000a 2b20x2y2a2b 2x xy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如 P x , y 在椭圆1 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是001 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000a 2b2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x27. 椭圆2ay221a b 0的左右焦点分别为F1, Fb2,点 P 为椭圆上任意一点F1PF2,就椭圆的焦点角形的面积为2SbtanF1PF22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy8. 椭圆1 （ a b 0）的焦半径公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2| MF1 |b 2aex0 , | MF2 |aex0 F1 c,0,F2 c,0M x0 , y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,就MF NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N ,就 MF NF.x2y2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. AB 是椭圆221 的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 ab为 AB 的中点,就kOMk AB2 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2即 Kb x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0ABa2 y双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 点 P 处的切线PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角,就焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .24. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支.外切：P 在左支）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25. 如 P x , y 在双曲线xy1 （ a 0,b 0）上,就过P 的双曲线的切线方程是x0 xy0 y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000a 2b2x2y20a 2b2x xy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 如 P x , y 在双曲线1 （ a 0,b 0）外,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是001 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000x2y2a 2b2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 双曲线221 （ a 0,b o）的左右焦点分别为F1 , F 2 ,点P 为双曲线上任意一点abF1PF2,就双曲线的焦点角形的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12S F PFb2 co t.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 双曲线221 （a 0,b o）的焦半径公式： F1 abc,0,F2 c,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 M x0, y0 在右支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 M x0, y0 在左支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点,就MF NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 1、A 2 为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N ,就 MF NF.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x211. AB 是双曲线y1 （ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦,M x , y2 为 AB 的中点,就KKb x00,即 Kb x02.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2b 2x2y200OMAB2x xy yxa 2 y02yABa 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 如 P x , y 在双曲线1 （ a 0,b 0）内,就被Po 所平分的中点弦的方程是0000.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000a 2b2a 2b2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22213. 如 P x, y 在双曲线xy1 （ a 0,b 0）内,就过Po 的弦中点的轨迹方程是xyx0 xy0 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2000a 2b2a 2b 2a 2b 2椭圆与双曲线的对偶性质-椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 椭圆22xya 2b 21（ a b o）的两个顶点为A1 a,0 , A2 a,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2 P2 交点的轨迹方程是22xya 2b 21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22. 过椭圆y21 a0, b 0上任一点Ax , y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点, 就直线 BC 有定向且 kb2 x00（常数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b 200x2y2BCa2 yac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 P 为椭圆221 （a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 ,abPF1F2,PF2 F1,就tanacco t.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 椭 圆221 （ a b 0 ） 的 两 个 焦 点 为F1 、 F2,P （ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 , 在 PF1 F2 中 , 记abF1 PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1 F2,F F P,就有since .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12sinsinax2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如椭圆221 （ab 0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L ,就当 0 e21 时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线距离 d 与 PF2 的比例中项 .x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. P 为椭圆221 （ a b 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点, A 为椭圆内肯定点,就ab2a| AF2| | PA| PF1 |2a| AF1 |,当且仅当A, F2 , P 三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点共线时,等号成立. xx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_007. 椭圆00a 2b 21 与直线AxByC0 有公共点的充要条件是A2a 2B2b2 AxByC 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x28. 已知椭圆y1 （ a b 0）, O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且OPOQ .（ 1）1111; （ 2）|OP|2+|OQ|2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a 2b2| OP |2| OQ |2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最大值为x24a 2b 2a 2b 2y2;（ 3） S OPQ 的最小值是a 2b 2a 2b2 .| PF |e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 过椭圆a2b 21 （ a b0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P,就x2y2.| MN |2a2b 2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知椭圆221 （ ab 0）,A 、 B、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点abP x0 ,0 , 就x0.aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y22b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设P 点是椭圆221 （a b 0 ）上异于长轴端点的任一点,F1 、 F2 为 其焦点记abF1 PF2,就 1 | PF1| PF2 |1cos.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2S PF Fb2 tan.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设 A 、B 是椭圆221（ a b0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率,就有 1 | PA |2ab2 |cos|.2tantan1e2 .3S2 a2b2cot.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2c2co s2PABb2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知椭圆221（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BCx ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴,就直线AC 经过线段EF 的中点 .14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16. 椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 .（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17. 椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-双曲线x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 双曲线221（ a 0,b0）的两个顶点为abA1a,0 , A2 a,0 ,与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a 2b 21 .x2y 2b2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 过双曲线1（ a 0,b o）上任一点A x , y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线 BC 有定向且 k 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2（常数） .b200x2y2BCa2 y0ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 P 为双曲线221（ a 0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点 ,abPF1F2,PF2 F1,就antcatco22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（或 cacatanco t） .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设双曲线221 （ a 0,b 0 ）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在PF1F2 中,记abF1 PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1F2,F F P,就有since .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12sinsinax2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如双曲线221 （a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L ,就当 1e21时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1 是ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. P 为双曲线221 （ a 0,b 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点, A 为双曲线内肯定点,就ab| AF2|2a| PA| PF1 | ,当且仅当A, F2 , P 三点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_共线且 P 和A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x27. 双曲线2ay2b21 （ a0,b 0）与直线AxByC0 有公共点的充要条件是A2 a2B 2b 2C 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知双曲线221 （ b a 0）, O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且OPOQ .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）1111;（ 2） |OP|2+|OQ|2 的最小值为4a 2b2;（ 3）S的最小值是a 2b 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| OP |2| OQ |2a 2b 2b2a 2OPQb2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2| PF |e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 过双曲线221 （a 0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P,就ab.| MN |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知双曲线a 2x0aa 2b 21 （ a 0,b 0 ） ,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点b 2.P x0 ,0, 就 x0或a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y22b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设 P 点是双曲线a 2b 21 （ a 0,b 0 ）上异于实轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记F1PF2,就 1 | PF1 | PF2 |1cos.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S PF1 F2b2 cot.2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设 A 、B 是双曲线221 （ a 0,b 0）的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB,PBA,BPA, c、e 分别是双ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ab2 | cos|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线的半焦距离心率,就有1 | PA | a22 a2 b2.c2cos2|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2tantan1e2 .3S PABb2a 2cot.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知双曲线221 （ a0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上,且 BCx 轴,就直线AC 经过线段EF 的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16. 双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 . 注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的学问综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础学问、采纳多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、基本公式、法就当然重要,但要做到快速、精确解题,仍须把握一些方法和技巧.一. 紧扣定义,敏捷解题敏捷运用定义,方法往往直接又明白.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1. 已知点 A （3, 2）, F（ 2, 0）,双曲线x22y1 , P 为双曲线上一点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31求 | PA| PF | 的最小值.2解析：如下列图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲线离心率为2,F 为右焦点,由其次定律知1 | PF | 即点 P 到准线距离.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PA|1 | PF | PA| | PE |AM522可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二. 引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下列图的坐标系,设点F 到准线 l 的距离为p（定值）,椭圆中心坐标为M （ t, 0）（ t 为参数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2pb,而 ctc2bpcpt再设椭圆短轴端点坐标为P（ x, y）,就x cty bpt消去 t,得轨迹方程y 2px三. 数形结合,直观显示将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简洁化,抽象问题形象化.娴熟的使用它,常能奇妙的解决很多貌似困难和麻烦的问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 已知 x , yR ,且满意方程x 2y23 y0 ,又 my3 ,求 m 范畴.x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：my 3 的几何意义为,曲线x2y 2x33 y0 上的点与点（3, 3）连线的斜率,如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k PAmk PB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3335m22四. 应用平几,一目了然用代数讨论几何问题是解析几何的本质特点,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”学问相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 已知圆 x3 2y 24 和直线 ymx 的交点为 P、Q,就 |OP|OQ |的值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：OMP OQN|OP| OQ|OM | ON |5五. 应用平面对量,简化解题2向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面对量成为解决解析几何学问的有力工具.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 5. 已知椭圆：xy1 ,直线 l ：xy1 , P 是 l 上一点,射线OP 交椭圆于一点R,点 Q 在 OP 上且满意 |OQ| OP|OR|2 ,当点 P 在 l 上移动时,求点可编辑资料 -