2022年高中数学复习专题讲座第讲数列的通项公式与求和的常用方法.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题目高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的连续和延长,数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数,是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的讨论,而数列的前n 项和 Sn 可视为数列 Sn 的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一, 与数列极限及数学归纳法有着亲密的联系, 是高考对数列问题考查中的热点, 本点的动态函数观点解决有关问题,为其供应行之有效的方法重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要留意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在讨论数列问题时既要留意函数方法的普遍性,又要留意数列方法的特别性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 数列 an 前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式an =S1, n1SS, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 13 求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列累差叠加法最基本形式是an= an an 1+an 1+an2+a2 a1+ a1归纳、猜想法4 数列前 n 项和常用求法重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+2+n=1 nn+12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12+22+n2= 1 nn+12 n+16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13+23+n3=1+2+n2=1n2n+124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中Sm+n =Sn+qnSm=Sm+qmSn裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=fn+1 f n,然后累加时抵消中间的很多项应把握以下常见的裂项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn111, n n.nn1n1.n. ,1sin 2ctgctg2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCn 1r 1nnr1C,n n1.1n. n1等1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错项相消法并项求和法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列通项与和的方法多种多样,要视详细情形选用合适方法典型题例示范讲解例 1 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列,数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1的等比数列,如函数 fx= x 1 2,且 a1=fd 1, a3=fd+1 , b1=fq+1 , b3=fq 1,1求数列 an 和 bn 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设数列 cn 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n N* ,都有 c1c1b1b2cn=an+1cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立,求limnS2n 1S2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题意图此题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限,以及运算才能和综合分析问题的才能学问依靠此题利用函数思想把题设条件转化为方程问题特别明显,而2 中条件等式的左边可视为某数列前n 项和,实质上是该数列前n 项和与数列 an 的关系,借助通项与前n 项和的关系求解cn 是该条件转化的突破口错解分析此题两问环环相扣,1问是基础,但解方程求基本量a1、b1、d、q,运算不准易出错.2问中对条件的正确熟悉和转化是关键技巧与方法此题 1问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,2 问“借鸡生蛋”构造新数列 dn 运用和与通项的关系求出dn,丝丝入扣解1 a1=f d 1= d 22, a3=fd+1= d2, a3 a1=d2 d2 2=2d, d=2, an=a1+n 1d=2n1 . 又 b1=fq+1= q2, b3=f q 1= q 22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b3b1q2 2q2=q2,由 qR ,且 q 1,得 q= 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bn=b·qn 1=4· 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cn2令bn=dn,就 d1+d2+dn=an+1, n N * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ dn=an+1 an=2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cnbn=2,即 cn=2 · bn=8· 2n1. S8 1 2nn=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S2n 1S12 2n 112 2n1 2 n21 2 n2, limnS2 n 12S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n12n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 设 An 为数列 an 的前 n 项和,An= 为 bn=4n+3;1求数列 an 的通项公式.3 an 1,数列 bn 的通项公式2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2把数列 an 与 bn 的公共项按从小到大的次序排成一个新的数列,证明数列 dn 的通项公式为dn=32n+1;3设数列 dn 的第 n 项是数列 bn 中的第 r 项, Br 为数列 bn 的前 r 项T4的和. Dn 为数列 dn 的前 n 项和, Tn=BrD n,求 limnn an 命题意图此题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系.集合的相关概念,数列极限,以及规律推理才能学问依靠利用项与和的关系求an 是此题的先决.2 问中探寻 an 与 bn 的相通之处, 须借助于二项式定理.而3 问中利用求和公式求和就是最基本的学问点错解分析待证通项dn=32n+1 与 an 的共同点易被忽视而寸步难行.留意不到 r 与 n 的关系,使Tn 中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清技巧与方法1问中项与和的关系为常规方法,2问中把3 拆解为4 1,再利用二项式定理,查找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔.3 问中挖掘出n 与 r 的关系,正确表示Br ,问题便可迎刃而解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 由 An=3an1 ,可知 An+1=23an+1 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an+1 an=3an+1 an,即2an 1 =3, 而 a1=A1=an3a1 1,得 a1=3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列是以3 为首项,公比为3 的等比数列,数列 an 的通项公式an=3n2n2 32n+1 =3· 32n=3· 4 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n=3·42n+C 132n+1 bn2n而数 32n=412n· 42n 1 1+C 2n1 · 4· 1+ 1 2n =4n+3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2=42n+C 1 n·42n1· 1+C 2n1 ·4·1+1 2n=4 k+1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 32n bn ,而数列 an= a2n+1 a2n , dn=32n+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由 32n+1 =4· r+3 ,可知 r =32 n 13,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r74r332n 13 32n 1727n27n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Br =Tn2BrD nr2r 92n 1544 32n 18221278,Dn9n19 1 9191 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_934n1188Tn32 n93 , a 44n34 n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4limnan 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设 an 是正数组成的数列,其前n 项和为 Sn,并且对于全部的自然数 n, an 与 2 的等差中项等于Sn 与 2 的等比中项1写出数列 an 的前 3 项2求数列 an 的通项公式 写出推证过程 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3令 bn=1 an 12 ananan 1 n N* ,求 limnb1 +b2+b3 +bn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析1 由题意,当n=1 时,有a1222S1, S1=a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1222a1,解得 a1=2当 n=2 时,有 a2222S2,S2 =a1+a2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a1=2 代入,整理得a2 22=16 ,由 a2 0,解得 a2=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=3 时,有a3222S3, S3=a1+a2+a3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a1=2,a2=6 代入,整理得a3 22=64 ,由 a3 0,解得 a3=10故该数列的前3 项为 2,6, 10 2）解法一由 1）猜想数列 an有通项公式an=4n 2下面用数学归纳法证明 an 的通项公式是an=4n 2,n N * ）当 n=1 时,由于 4× 12=2 ,又在 1 中已求出 a1=2 ,所以上述结论成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设当 n=k 时,结论成立, 即有 ak=4k 2,由题意,有 ak 222Sk ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 ak =4k 2代入上式,解得2k=2Sk,得 Sk=2k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意,有ak 1222Sk1 , Sk+1=Sk+ak+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 Sk=2k2 代入得 ak 122 2=2 ak+1+2 k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 ak+12 4ak+1 +4 16k2=0 ,由 ak+1 0,解得 ak+1=2+4 k, 所以 ak+1=2+4 k=4k+1 2,即当 n=k+1 时,上述结论成立依据,上述结论对全部的自然数n N* 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二由题意知an222Sn, n N* 整理得, Sn= 1 an+2 2,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此得 Sn+1=11 aaan+1+2 2, an+1=Sn +1 Sn =n+1+22n+2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_88整理得 an+1+an） an+1 an 4=0 , 由题意知 an+1+an 0, an+1 an=4,即数列 an 为等差数列,其中a1=2 ,公差 d=4 an=a1+n 1d=2+4n 1,即通项公式为an=4 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法三由已知得an222Sn,n N* ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有an 1222Sn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由式得Sn 1Sn222Sn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 Sn+1 22 ·Sn 1+2 Sn=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得Sn 12Sn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于数列 an 为正项数列,而S12,Sn 1Sn2 ,因而Sn 12Sn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 Sn 是以S12 为首项,以2 为公差的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以Sn=2 +n 12 =2 n,Sn=2 n2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 an=2, n1即 an=4n 2n N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 14n2, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3令 cn=bn 1,就 cn=1 an 12 anan2an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2n11 2n1111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n12n12n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1b2Lbnnc1c2Lcn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 11L1111,3352n12n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbLbn111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim12nlim2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn同学巩固练习1设 zn= 1i n, n N * ,记 Sn= z2 z1 + z3 z2 + zn +12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zn,就 limnSn= 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 作边长为 a 的正三角形的内切圆, 在这个圆内作新的内接正三角形, 在新的正三角形内再作内切圆,如此连续下去, 全部这些圆的周长之和及面积之和分别为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 an1* 都有 an2nn+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 满意 a =2 ,对于任意的nN0,且n+1an +a ·a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 nan+12=0,又知数列 bn 的通项为bn=2n+1 1求数列 an 的通项 an 及它的前n 项和 Sn. 2 求 数 列 bn 的 前 n 项 和 Tn. 3猜想 Sn 与 Tn 的大小关系,并说明理由4数列 an 中, a1=8, a4=2 且满意 an+2=2an+1 an,n N * 1求数列 an 的通项公式. 2设 Sn= a1 + a2 + an,求 Sn;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 设 bn=1 n12an nN* ,Tn=b1+b2+bnn N*, 是否存在最大的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整数 m,使得对任意nN * 均有 Tn存在,说明理由m 成立？如存在,求出m 的值.如不32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5设数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=m+1 man对任意正整数n都成立,其中m 为常数,且m 1 1求证 an 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设数列 an 的公比 q=f m,数列 bn 满意b1= 13a1,bn=fbn1 n 2,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ N * 试问当 m 为何值时,成立？limnbnlg an limn3 b1 b2b2 b3bn 1bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6已知数列 bn 是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145 1求数列 bn 的通项 bn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12设数列 an 的通项 an=log a1+bn其中 a 0 且 a 1,记 Sn 是数列 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的前 n 项和,试比较Sn 与 1 log abn+1 的大小,并证明你的结论37设数列 an 的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满意关系式3tSn 2t+3Sn1 =3tt 0,n=2,3,41求证数列 an 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设数列 an 的公比为ft,作数列 bn ,使 b1=1,bn=f1bn 1n=2,3,4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 数 列 bn 的 通 项 bn. 3求和b1b2 b2b3+b3b4+b2n 1b2n b2nb2n+1参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.解析: 设cn| zn 1zn | 1i n 121i n | 22 n 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snc1c21 1cn212 n 22212 n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12222lim Sn1n222答案1+222解析由题意全部正三角形的边长构成等比数列 an ,可得 an=a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正三角形的内切圆构成等比数列 rn ,可得 rn=31n621 a,2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这些圆的周长之和c= limn2r 1+r2 +r n= 332a2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积之和S= limnn2+r2 2+r2=a2n9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案周长之和33 a,面积之和a229可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 解1 ）可解得an 1ann,从而 an=2n,有 Sn=n2+n,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 Tn=2n+n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 Tn Sn=2n n2 1,验证可知,n=1 时, T1=S1, n=2 时 T2 S2.n=3 时,T3 S3; n=4 时, T4 S4. n=5 时, T5 S5. n=6 时 T6 S6猜想当 n5 时, TnSn,即 2n n2+1可用数学归纳法证明略）4 解1 ）由 an+2=2an+1 anan +2 an+1=an+1 an 可知 an 成等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d= a4a1=2, an=10 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_412 由 an=10 2n 0 可得 n5,当 n5 时, Sn= n2+9n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 5 时, Sn=n2 9n+40,故 Sn=n 29nn29n401n5n5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 bn=111 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12Tnb1an b2n2nbn21122nn11 11223 11nn1n.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 Tnm 总成立, 需32m T1=321 成立, 即 m8 且 m Z ,故适合条件的4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 的最大值为7 5解1 ）由已知 Sn+1 =m+1 man+1,Sn=m+1 man ,由,得an+1=man man+1,即 m+1an+1=man 对任意正整数n 都成立 m 为常数,且m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 1anm,即 m1anan 1 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 当 n=1 时, a1=m+1ma1, a1=1,从而 b1=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由1 知 q=fm=m, bn=fbn 1=bn 1n N* ,且 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1bn 11 111,即111 ,bnbn 1bnbn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 为等差数列bn1=3+ n 1= n+2 ,bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1nn2n N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q amn 1,lim blg a nlim 1 lgmlgm,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnm1nnn2m1m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22 3而lim 3bbb bLbb 1111lim 3L111