2022年高中数学必修--第三章《不等式》复习知识点总结与练习 .docx

精品_精品资料_高中数学必修 5 第三章不等式 复习学问点总结与练习 一第一节不等关系与不等式学问能否忆起 1. 实数大小次序与运算性质之间的关系a b0. a b. a b 0. a b. a b 0. a b.2. 不等式的基本性质性质性质内容留意对称性a>b. b<a.传递性a>b,b>c. a>c.可加性a>b. a c>b c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可乘性a>b c>0a>b c<0. ac>bc. ac<bcc 的符号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同向可加性a>b c>d. a c>b d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同向同正可乘性a>b>0 c>d>0. ac>bd.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可乘方性a>b>0. an>bn nN , n 2同正可开方性a>b>0.n a> n bn N, n 21. 使用不等式性质时应留意的问题：在使用不等式时, 肯定要搞清它们成立的前提条件 不行强化或弱化成立的条件 如“ 同向不等式 ”才可相加, “ 同向且两边同正的不等式 ” 才可相乘.可乘性中 “ c 的符号 ” 等也需要留意2. 作差法是比较两数 式大小的常用方法,也是证明不等式的基本方法要留意强化化归意识,同时留意函数性质在比较大小中的作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高频考点1. 比较两个数 式的大小例 1已知等比数列 an 中, a1 0, q0,前 n 项和为 Sn,试比较S3S5a3与a5的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自主解答 当 q 1 时,S3a 3,3S5S3a55,所以 a3S5a5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 q0 且 q 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S3S5a3 a5a1 1 q3 a1q2 1 qa1 1 q5a1q4 1 qq2 1 q3 1 q5 q4 1 q q 1q4 0,所以S3S5a3 a5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S3S55综上可知 a3a .由题悟法比较大小的常用方法(1) 作差法：一般步骤是：作差.变形.定号.结论其中关键是变形,常采纳配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差(2) 作商法：一般步骤是：作商.变形.判定商与1 的大小.结论 3特值法：假设是挑选题、填空题可以用特值法比较大小.假设是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判定留意 用作商法时要留意商式中分母的正负,否就极易得出相反的结论以题试法12022 ·吉林联考 已知实数 a、b、c 满意 b c 64a 3a2,c b 4 4a a2,就 a、b、c 的大小关系是 A c b aB a c bCc b aD a c b解析： 选 Ac b 4 4a a2 2 a2 0,c b.将题中两式作差得2b 2 2a2,即 b 1 a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 a2 a a 1324>0,1 a2>a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 1 a2>a.c b>a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 不等式的性质2022 ·包头模拟 假设 a 0 b a, c d 0,就以下结论：ad bc.a b dc 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a c b d. a·d c bd c中成立的个数是 A 1B 2C3D 42a 0 b,c d 0,ad 0, bc0,ad bc,故错误a 0 b a,a b 0,c d 0,c d 0,a c b d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac bd0, dbac bd c cd 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故正确c d,c d,a b,a c b d, a cb d,故正确a b, d c 0,a d c bd c,故正确,应选 C.由题悟法1. 判定一个关于不等式的命题的真假时,先把要判定的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判定命题的真假,当然判定的同时可能仍要用到其他学问,比方对数函数、指数函数的性质2. 特别值法是判定命题真假经常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特别值试试,可以得到一些对命题的感性熟悉,如正好找到一组特别值使命题不成立,就该命题为假命题以题试法2. 假设 a、 b、c 为实数,就以下命题正确的选项是 A 假设 ab, c d,就 ac bdB假设 a b 0,就 a2 ab b2C假设 a b 0,就 1 1ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D假设 ab 0,就b aab解析： 选 BA 中,只有 ab 0, cd 0 时,才成立. B 中,由 a b0,得 a2 ab b2 成立. C,D 通过取 a 2, b 1 验证均不正确3. 不等式性质的应用典题导入例 3已知函数 fx ax2 bx,且 1f 1 2,2 f1 4.求 f2 的取值范畴 自主解答 f 1 a b, f1 a b.f2 4a 2b.设 ma b na b 4a 2b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m n 4,就m n 2,m 1,解得n 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 ab 3a b f1 3f 11 f 1 2,2 f1 4,5 f 2 10.即 f 2的取值范畴为 5,10由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范畴,但应留意两点： 一是必需严格运用不等式的性质. 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范畴解决的途径是先建立所求范畴的整体与已知范畴的整体的等量关系,最终通过“一次性”不等关系的运算求 解范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设 ,满意 1 1, 1 2 3,以题试法试求 3的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设 3 x y 2 x y x 2y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y1,就x 2y 3,x 1,解得y 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1,2 2 2 6,两式相加,得 1 3 7.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次节一元二次不等式及其解法 学问能否忆起 一元二次不等式的解集二次函数 y ax2 bx c 的图象、一元二次方程ax2 bx c0 的根与一元二次不等式ax2 bx c>0 与 ax2 bx c<0 的解集的关系,可归纳为：判别式 b2 4ac>0 0<0二次函数 y ax2bx c a>0的图象无实根R等式的ax2 bx c<0 a>0 x|x1<x<x2.解集 3的取值范畴为 1,7 一元二次方程 ax2 bx c有两相异实根x x1 或 x有两相同实根 x0a 0的根一元ax2 bx c>0 a>0x2 x|x<x1 或x>x2 x1 x|x x1二次不假设 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对比上表求解 解一元二次不等式应留意的问题：(1) 在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数(2) 二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,争论时不要遗忘二次项系数为零的情形(3) 解决一元二次不等式恒成立问题要留意二次项系数的符号(4) 一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同高频考点1.一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1解以下不等式：10 x2 x 24.2x2 4ax 5a2 0a0 自主解答 1 原不等式等价于典题导入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 x 2 0,.x2 x 2 4x2 x 2 0, x2 x 6 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2x 1 0,.x 3x 2 0x 2或x 1, 2x 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_借助于数轴,如下图,原不等式的解集为 x| 2 x 1,或 2 x 3 . 2由 x2 4ax 5a2 0 知x 5ax a 0.由于 a 0 故分 a 0 与 a 0 争论 当 a0 时, x 5a 或 x a.当 a0 时, x a 或 x 5a.综上, a 0 时, 解集为 x|x 5a,或x a .a 0 时,解集为 x|x 5a,或 x a .由题悟法1解一元二次不等式的一般步骤：(1) 对不等式变形,使一端为0 且二次项系数大于0,即 ax2 bx c0 a 0, ax2 bxc 0a 0.(2) 运算相应的判别式.(3) 当 0 时,求出相应的一元二次方程的根.(4) 依据对应二次函数的图象,写出不等式的解集 2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类争论.假设不能因式分解,就可对判别式进行分类争论,分类要不重不漏以题试法1. 解以下不等式： 1 3x2 2x 80.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ax2 a1x 1 0a0解： 1原不等式可化为 3x2 2x 80,即3x 4 x 2 0.4解得 2 x 3,4所以原不等式的解集为x 2 x3.2原不等式变为 ax 1 x 1 0,1由于 a 0,所以 x a x 1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 a 1 时,解为1ax 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,解集为 .当 0a 1 时,解为 1 x 1a1综上,当 0 a 1 时,不等式的解集为x 1 x a.当 a1 时,不等式的解集为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,不等式的解集为x1x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2. 一元二次不等式恒成立问题典题导入例 2已知 fx x2 2ax 2aR ,当 x 1, 时, fx a 恒成立,求 a 的取值范畴自主解答 法一 ： fx x a2 2 a2,此二次函数图象的对称轴为x a.当 a , 1 时, fx在 1, 上单调递增, fx min f 1 2a 3.要使 fx a 恒成立,只需fxmin a,即 2a 3 a,解得 3a 1.当 a 1, 时, f xmin f a 2 a2,由 2a2 a,解得 1 a1.综上所述, a 的取值范畴为 3,1 法二 ：令 gx x2 2ax 2 a,由已知,得 x2 2ax 2 a 0 在 1, 上恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4a2 42 a 0 或 0, a 1, g 1 0.解得 3 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求 a 的取值范畴是 3,1 此题中的“ x 1, 改为“ x 1,1”,求 a 的取值范畴解：令 gx x22ax 2 a,由已知,得 x2 2ax2 a 0 在 1,1上恒成立,即 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a2 42 a 0 或 0, a 1, g 1 0 0,或 a1, g 1 0.解得 3 a 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求 a 的取值范畴是 3,1 .由题悟法1. 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方.恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方2. 一元二次不等式恒成立的条件： 1ax2 bx c 0a 0x R 恒成立的充要条件是： a 0 且 b2 4ac 0.2ax2 bx c 0a 0x R恒成立的充要条件是： a 0 且 b2 4ac 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22022以题试法九·江模拟 假设关于 x 的不等式 x2ax a>0 的解集为 , ,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的取值范畴是.假设关于 x 的不等式 x2 ax a 3 的解集不是空集,就实数a的取值范畴是解析： 由 1 <0,即 a2 4 a<0,得 4<a<0.由 2 0,即 a2 43 a 0,得 a 6 或 a 2.答案： 4,0, 6 2 , 2. 一元二次不等式的应用典题导入例 3某商品每件成本价为80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件假设售价降低x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 成要求售价不能低于成本价成1 成 10%,售出商品数量就增加851设该商店一天的营业额为y,试求 y 与 x 之间的函数关系式y f x,并写出定义域. 2假设再要求该商品一天营业额至少为10 260 元,求 x 的取值范畴1050自主解答 1 由题意得 y 100 1 x·100 1 8 x .由于售价不能低于成本价,x所以 100 1 10 80 0.所以 yfx 2010 x508x,定义域为 0,2 2由题意得 2010 x50 8x 10 260,化简得 8x2 30x 130.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12解得 x13.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x 的取值范畴是12, 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题悟法解不等式应用题,一般可按如下四步进行：1仔细审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. 2引进数学符号,用不等式表示不等关系.(3) 解不等式.(4) 答复实际问题以题试法3. 某同学要把自己的电脑接入因特网现有两家ISP 公司可供挑选公司A 每小时收费 1.5 元.公司 B 在用户每次上网的第1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时削减 0.1 元 假设用户一次上网时间超过17 小时,按 17 小时运算 假设该同学一次上网时间总是小于17 小时,那么该同学如何挑选ISP 公司较省钱？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：假设一次上网 x 小时,就公司 A 收取的费用为1.5x 元,公司 B 收取的费用为x 35 x 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元假设能够保证挑选A 比挑选 B 费用少,就x 35 x20 1.5x0 x 17,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 x25x 0,解得 0 x 5,所以当一次上网时间在5 小时内时,挑选公司A 的费用少.超过5 小时,挑选公司 B的费用少练习题 小题能否全取 1 教材习题改编 以下命题正确的选项是 A 假设 acbc. a bB 假设 a2 b2. ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bC假设答案： D11. a bD 假设 a b. a b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 x y>0, a<0, ay>0 ,就 x y 的值 A 大于 0B 等于 0C小于 0D 不确定解析： 选 A由 a<0, ay>0 知 y<0 ,又 xy>0 ,所以 x>0.故 x y>0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.1 2 13 1填“ >或”“ <”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：1 2 1 3 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1答案： <5已知 a, b, c R ,有以下命题：假设 a>b,就 ac2>bc2.假设 ac2>bc2,就 a>b.假设 a>b,就 a·2c>b·2c.其中正确的选项是 请把正确命题的序号都填上 解析： 假设 c0 就命题不成立正确中由2c>0 知成立答案： 4假设 x y, ab,就在 a xb y, a x b y, ax by, x b ya,aby x这五个式子中,恒成立的全部不等式的序号是 解析： 令 x 2, y 3,a 3, b 2, 符合题设条件 xy, a b,a x 3 2 5, b y 2 3 5,a x b y,因此 不成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又ax 6, by 6,ax by,因此也不正确a3b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y 1, 3 1, x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aby x,因此不正确由不等式的性质可推出成立 答案 ： 小题能否全取 1. 教材习题改编 不等式 x1 2x 0 的解集是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. , 11B. 0, 121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C , 0答案： B,D.2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2不等式 9x2 6x 1 0 的解集是 3A. x x 1B. 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11C. x 3 x3D R答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32022福·建高考 假设关于 x 的方程 x2 mx1 0 有两个不相等的实数根, 就实数 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的取值范畴是 A 1,1B 2,2C , 2 2, D , 1 1, 解析： 选 C由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得：判别式 0,即 m2 40,解得 m 2 或 m 2.42022 天·津高考 已知集合 A xR |x 2|<3 ,集合 B x R|x mx 2<0 ,且A B1, n,就 m, n.解析： 由于 |x 2|<3,即 5< x<1,所以 A5,1,又 A B.,所以 m<1 ,B m,2,由 A B 1, n得 m 1, n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 115不等式1x 11 的解集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由1 1 得 1 x 11 0,即x1x 2x 1 0,解得 x 1,或 x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： x|x 1,或 x 21 2022 ·重庆高考 不等式 x 1 0 的解集为 x 2A 1, B , 2C 2,1D , 2 1, 解析： 选 C原不等式化为 x 1 x 2 0,解得 2 x 1,故原不等式的解集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,142 2022 ·湘潭月考 不等式 x 2 x2 的解集是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A , 0 2,4B 0,2 4 , C2,4D , 2 4, 解析： 选 B当 x 2 0 即 x2 时,原不等式等价于 x 22 4,解得 x 4.当 x2 0 即 x 2 时,原不等式等价于 x 22 4, 解得 0 x 2.3关于 x 的不等式 x2 a1x a 0 的解集中,恰有 3 个整数,就 a 的取值范畴是 A 4,5B 3, 2 4,5C4,5D 3, 2 4,5解析： 选 D原不等式可能为 x 1 x a 0,当 a 1 时得 1 xa,此时解集中的整数为 2,3,4,就 4 a 5,当 a1 时得 a x 1,就 3 a 2,故 a 3, 24,5 4假设 m 1x2 m 1x 3m 1<0 对任何实数 x 恒成立,就实数m 的取值范畴是A 1, B , 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C., 1311, 13D.11 1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 C m 1 时,不等式为2x 6<0 ,即 x<3,不合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m 1 时,m 1<0,13解得 m<.<0 ,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 2022·长沙模拟 已知二次函数 fx ax2 a 2x 1aZ ,且函数 fx在2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) 上恰有一个零点,就不等式fx 1 的解集为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A , 10 , B , 0 1, C 1,0D 0,1解析： 选 C fx ax2a2 x 1, a 22 4a a2 4 0,函数 f x ax2 a 2x 1 必有两个不同的零点,又 fx 在 2, 1上有一个零点,就f 2f 1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6a 52a3 0又 a Z, a 1.,解得3 a 5.26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式 f x 1,即 x2 x 0,解得 1x 0.k 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 假设不等式 1 的解集为 x|1 x 3 ,就实数 k. x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ：k 3 1,得 1 x 3k3 0,即x3x k x3 0, x kx 3 0,由题意得 k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 ：18. 不等式 x2 2x 3 a22a 1 在 R 上的解集是 .,就实数 a 的取值范畴是 解析： 原不等式即 x2 2x a2 2a 4 0,在 R 上解集为 ., 4 4 a2 2a 4 0, 即 a2 2a 3 0,解得 1 a 3.答案 ： 1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 2022 ·陕西师大附中模拟 假设函数 fx值范畴为x 5, x 3, 2x m, x 3,且 f f3 6,就 m 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由已知得 f3 6 m,当 m 3 时, 6m 3,就 ff 3 26 m m 123m 6,解得 m 2.当 m 3 时, 6m 3,就 ff3 6m 5 6,解得 3 m 5.综上知, m 2 或 3 m 5.答案 ： , 2 3,510. 解以下不等式： 18x 1 16x2.2x2 2ax 3a2 0a0 解： 1原不等式转化为 16x2 8x 1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即4x 12 0,就 x R, 故原不等式的解集为R.2原不等式转化为 x ax 3a 0,a 0,3a a,得 3ax a.故原不等式的解集为 x|3a x a 11. 一个服装厂生产风衣,月销售量x件 与售价 p 元/件之间的关系为 p 160 2x, 生产 x 件的成本 R 500 30x元(1) 该厂月产量多大时,月利润不少于1 300 元？(2) 当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少？ 解： 1由题意知,月利润y px R,即 y 160 2xx 500 30x 2x2 130x 500.由月利润不少于 1 300 元,得 2x2 130x 500 1 300.即 x2 65x900 0,解得 20 x 45.故该厂月产量在 20 45 件时,月利润不少于1 300 元2由 1 得, y 2x2130x 500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_65 2 x 23 22522,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意知, x 为正整数故当 x32 或 33 时, y 最大为 1 612.所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为1 612 元 12设二次函数fx ax2 bxc,函数 Fx fx x 的两