2022年高中数列知识大总结10.docx

精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问要点第一课时数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列通项an 与前 n 项和Sn 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. Sna1a2a 3nanaii 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. anS1n1SnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_热身1数列 1, 3, 6, 10,的一个通项公式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 数列an的通项公式为a3n228n , 就数列各项中最小项是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3. 数列an的前 n 项和 Snn 24n1 , ,就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典例精析题型一归纳、猜想法求数列通项【例 1】依据以下数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 7, 77, 777, 7777,2468, 3153563点拨：联想与转换是由已知熟识未知的两种有效的思维方法,观看归纳是由特殊到一般的有效手段,本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二应用 anS1SnSn 1n1求数列通项n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列an的前 n 项和Sn ,分别求其通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sn32 Snan28an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：本例的关键是应用anS1SnSn 1n1求数列的通项,特殊要留意验证n2a1 的值是否满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_" n2" 的一般性通项公式.三、利用递推关系求数列的通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】依据以下各个数列1an的首项和递推关系,求其通项公式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1, 2an 1an24n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a11,an0, n121) an 12nananan 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a11,an 1an12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：在递推关系中如an 1anf n, 求an 用累加法, 如an 1anf n, 求 an 用累乘法, 如 an 1panq ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 an 用待定系数法或迭代法.总结提高1. 给出数列的前几项求通项时,常用特点分析法与化归法,所求通项不唯独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 由 Sn 求 an 时,要分 n =1 和 n2 两种情形3. 数列是一种特殊函数,因此通过争论数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题非常有效.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 给出Sn 与 an 的递推关系,要求an ,常用思路是：一是利用SnSn 1an（ n2） 转化为an 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系,再求其通项公式.二是转化为Sn 的递推关系,先求出Sn 与 n 之间的关系,再求a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课堂演练1. 如数列 an的前 n 项的3Snan23 ,那么这个数列的通项公式为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列an满意 a10 , an 1an3（ n3an1N ）,就a20（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知数列an满意 a11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na3 n 1an 1 ,n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求a 2和a3n31证明： an2 . 数列 3, -5 , 7, -9 , 11 ,的一个通项公式是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 已知数列an中 a12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 13an1,（ nN）就a4 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 设 an, nN ,就an 1与an 的大小关系是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n22n12an1,0an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 如数列6an满意：an 112an1,22 ,an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1,就7二、填空题a 20 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知数列an中, a12,a 23 , an 23an 12an , a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知an中, a11 ,前 n 项和3Sn 与 an 的关系是 Snn2n1) an ,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问要点1. 等差数列的概念假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列,这个常6.2 等差数列SSa1an nn.n2变式：nann 211d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数叫等差数列的公差,用d 表示.2. 递推关系与通项公式a1an 2Sna1a 2an nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系：通项公式：an 1ananda1n1) da1n1) d2ann1 d ; 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广： an变式： a1damnannana1m) d1d;S2n 1an2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1danam特点： Snd n 22a1dn,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nmn即Snf n2AnBn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此联想到点n, an 所在直线的斜率.SAn 2Bn A, B为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点： an即： andnf n a1knd ,m,k, m为常数）是数列an成等差数列的充要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anknm,（ k ,m为常数 是数列an成5等差数列an的基本性质其中 m, n,p, qN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的充要条件. 如mnpq,就 amana paq 反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差中项：之,不成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a,b, c 成等差数列, 就 b 称 a与c 的等差中项, anamnmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 bac . a,b, c 成等差数列是 2b2ac 的充 2anan man m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要条件.前 n 项和公式 Sn , S2nSn, S3nS2n 仍成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an4n和bn2n2,就5S1914T195可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an差数列中项法：d常数）（ nN ）an是等解：a1S19a19 192a1a19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 an 1anan 2（ nN an是等差数T19b1b19 192b1b19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列通项公式法：2a102b10a10 b1041021421055可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anknb列k, b为常数 an 是等差数典例精析一、等差数列的判定与基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和公式法：例 1：已知数列an 前 n 项和 Snn 29n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SAn 2Bn A, B为常数 a是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn等差数列 课前热身：求证：an为等差数列.记数列an的前 n 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 等差数列an中, a1a 4a 739,和为 Tn ,求Tn 的表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a5a833, 就a3a6a9（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 等差数列an中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a4a 6就aa8a101 a 的值为a12120 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等差数列an 的前 n 项和为Sn ,当 a1, d 变化时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如a2a8a11 是一个定值,那么以下各数中也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是定值的是（）点拨：依据定义法判定数列为等差数列,敏捷运用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A S13B S20BS15 CS8求和公式.二、公式的应用例 2：设等差数列an 的首项a1 及公差 d 都为整数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 运算机执行以下程序：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_初始值 x3, S0前 n 项和为 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xx2 SSx如 a110, S1498 ,求数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S2022 ,就进行,否就从连续进行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_打印 x停止那么,语句打印出的数值为89如 a16, a110, S1477 ,求全部可能的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设 Sn ,Tn 分别为等差数列an与 bn的前 n项数列 an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_捞,第一年需要各种费用12 万元, 从其次年起包括修理费在内每年所需费用比上一年增加4 万元,该船每年捕捞总收入50 万元,问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少？解：设捕捞n 年后的总盈利为万元,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：精确敏捷运用等差数列的通项公式及前n 项和公式,提高运算才能.设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结提高a312, S120, S130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1在娴熟应用基本公式的同时,仍要会用变通的公式,求出公差 d 的范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如在等差数列中,amanmn) d指出S1, S2, S12 中哪一个值最大,并说可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在五个量a1, d, n, an, Sn 中的三个量可求出其明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余两个量,要求选用公式要恰当,即善于削减运算量, 达到快速、精确的目的.33已知三个或四个数成等差数列这类问题,要善于设元, 目的仍在于削减运算量,如三个数成等差数列时,除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_了设a,ad,a2d外,仍可设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ad, a, ad .四个数成等差数列时,可设为a3m, am, a m,a3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4在求解数列问题时,要留意函数思想,方程思想, 消元及整体消元的方法的应用.课堂演练课外练习 一、 挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设Sn 是 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 , 如1. 已知an数列是等差数列,a1010 ,其前 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S31S63S6,就（）S12项的和S1070,就其公差d 等于 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在等差数列an中 a12, a 2a313 , 就2. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 4a5a6 等于（）3等差数列an中,的前 n 项和为Tn ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10, S9S12 ,就前项的和最大.Sn3n39Tnn5nN ,就使 anbn为整数的所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和有 n 的值的个数有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 10 ,就前 110 项和为某渔业公司今年初用98 万元购进一艘渔船用于捕3,设等差数列an的前 n 项和为 Sn ,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S39, S636,就 a7a 8a9 等于 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 63B 45C 36D 273. 已知等差数列an中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 7a 916, a 41,就a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设Sn 为 等 差 数 列an的 前 n 项 和 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S414, S10S730,就 S9 =10 已 知 数 列an1中 ,a13,前n 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已 知 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为Sn , 如Sn n21 an11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1221,就 a2a 5a8a11求证：数列an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题6. 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 记 为Sn , 已 知求数列an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1030, a2050可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求通项an .如Sn =242 ,求 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走2 m ,以后每分钟比前一分钟多走 1 m ,乙每分钟走 5 m ,甲、乙开头运动后几分钟相遇？假如甲乙到对方起点后立刻折返,甲连续每分钟比前一分钟多走1 m ,乙连续每分钟走5 m ,那么,开头运动几分钟后其次次相遇？故第一次相遇是在开头运动后7 分钟.6.3 等比数列学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定义：假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个常数叫做等比数列的公比,记为q,（ q0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 递推关系与通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系：通项公式：an 1aqanaq n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广： ann1maqn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等比中项： 如三个数a, b, c 成等比数列,就称 b 为a与c 的等比中项, 且为 bac,注： b 2ac 是成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列的必要而不充分条件.4. 前 n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1q1 Sa 1qn aa q q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11n1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 等比数列的基本性质,其中 m, n,p, qN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如mnpq,就 amana paq 反之不真；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ qn man , a 2naman man mnN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ q1时, Sn, S2nSn, S3nS2 n,仍成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 等比数列与等比数列的转化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an是等差数列c anc0, c1 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an是正项等比数列log c anc0, c1 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 等比数列的判定法an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：anq（常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项法：2an 1anan 2an0an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 通 项 公 式 法 ：ank q n k, q为常数）an为 等 比 数 列 . 前n项 和 法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snk1q n （ k, q为常数）an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课前热身1. 假如 -1 , a, b,c , -9 成等比数列,那么（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在等比数列an中,如 a 4a 7a5a620 ,就此数列的前10 项之积等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设fn2242721023n 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nN ,就f n等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知数列an 是等比数列,且Sm10, S2m30,就 S3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在数列an 中,如 a11, an 12an3n1,就通项an =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典例精析一、 等比数列的基本运算与判定：运用等比数列的基本公式,将已知条件转化为关于等比数列的特点量a1 , q 的方程是求解等比数列问题的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用方法之一,同时应留意在使用等比数列前n 项和公式时,应充分争论公比q 是否等于 1.应用定义判定数列是否是等比数列是最直接,最有依据的方法, 也是通法, 如判定一个数列是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1可用anq（常数）恒成立,也可用2an 1anan2 恒成立,如判定一个数不是等比数列就只需举可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出反例即可,也可以用反证法.二、性质运用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：在等比数列an中, a1a633, a 3 a432, ana n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Tnlg a1lg a 2lg an ,求Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结提高：1. 方程思想,即等比数列an 中 5 个量a1 , n , q,an , Sn ,一般可“知三求二” ,通过求和与通项两公式列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组求解.2. “错位相减法”求和是解决由等差数列an和等比数列bn的对应项的积组成的数列anbn求和的常用方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 对于已知数列an 递推公式an 与 Sn 的混合关系式,利用公式anSnSn 1n2 ,再引入帮助数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转化为等比数列问题求解.4. 分类争论思想： 当 a1 >0, q >1 或 a1 <0,0< q <1 时, 等比数列an为递增数列. 当a1 >0,0< q <1 或 a1 <0, q >1可编辑资料 - 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