2022年高中数学线性规划知识复习.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中必修 5 线性规划最快的方法简洁的线性规划问题一、学问梳理1. 目标函数 : 是一个含有两个变量 和 的 函数,称为目标函数2. 可行域 : 约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点: 坐标为整数的点叫做整点4. 线性规划问题 : 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划 : 要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难学问导析线性规划是一门争论如何使用最少的人力、物力和财力去最优的完成科学争论、工业设计、 经济治理中实际问题的特的学科. 主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源肯定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务.二是给一项任务,如何合理支配和 规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1. 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满意所给的不等式,如适合,就该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域. 否就,直线的另一侧为所求的平面区域如 直 线 不 过 原 点,通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时,直线必需经过可行域4. 对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的正确位置一般通过这个凸多边形的顶点5. 简洁线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：（1）查找线性约束条件,线性目标函数.（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域.（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储学问：一 1. 点 Px 0,y 0 在直线 Ax+By+C=0上,就点P 坐标适合方程,即Ax0+By0+C=02. 点 Px 0,y 0 在直线 Ax+By+C=0上方（左上或右上） ,就当 B>0 时,Ax0+By0+C>0;当 B<0 时,Ax0+By0+C<03. 点 Px 0,y 0 在直线 Ax+By+C=0下方（左下或右下） ,当 B>0 时,Ax0+By0+C<0;当 B<0 时,Ax0+By0+C>0留意：（ 1）在直线Ax+By+C=0同一侧的全部点,把它的坐标x,y代入 Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（ 2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即： 1. 点 Px 1,y 1 和点 Qx 2,y 2 在直线 Ax+By+C=0 的同侧,就有（Ax1+By1+C） Ax2+By2+C>02. 点 Px 1,y 1 和点 Qx 2,y 2 在直线 Ax+By+C=0 的两侧,就有（Ax1+By1+C） Ax 2+By2+C<0二. 二元一次不等式表示平面区域:二元一次不等式Ax+By+C>0（或 <0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成的平面区域 .不包括边界 ;二元一次不等式Ax+By+C 0（或 0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成的平面区域且包括边界;留意：作图时, 不包括边界画成虚线; 包括边界画成实线.三、判定二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一 : 取特殊点检验 ;“直线定界、特殊点定域缘由 : 由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的全部点x,y,把它的坐标 x,y代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点x 0,y 0, 从 Ax0+By0+C的正负即可判定Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域. 特殊的 ,当 C0 时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用（ 0, 1）或（ 1, 0）当特殊点 , 如点坐标代入适合不等式就此点所在的区域为需画的区域,否就是另一侧区域为需画区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法二：利用规律：1. Ax+By+C>0, 当 B>0 时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）,当 B<0 时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2. Ax+By+C<0, 当 B>0 时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当 B<0 时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）.四、线性规划的有关概念：线性约束条件：线性目标函数：线性规划问题：可行解、可行域和最优解：典型例题一 -画区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.用不等式表示以A1 , 4 , B3 , 0 , C 2 ,2 为顶点的三角形内部的平面区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：第一要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出,然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：直线AB 的斜率为：k AB401 31,其方程为yx3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求得直线BC 的方程为y2 x6 直线 AC 的方程为y2 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC 的内部在不等式xy30 所表示平面区域内,同时在不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xy60 所表示的平面区域内,同时又在不等式2 xy20 所表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_示的平面区域内（如图）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组x y32 xy62 xy20,0, 表示0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：用不等式组可以用来平面内的肯定区域,留意三角形区域内部不包括边界线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 画出 2 x3y 3 表示的区域,并求全部的正整数解x ,y x0, y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原不等式等价于y2xy3.3,而求正整数解就意味着x , y 仍有限制条件,即求x z, yy 2xy3.z, 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依照二元一次不等式表示的平面区域,知 2 x3y3 表示的区域如下图：对于 2 x3y3 的正整数解,简洁求得,在其区域内的整数解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ,1 、 1 , 2、 1 , 3 、 2 , 2、 2 , 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 设 x0 , y0 , z0 . p3xy2 z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qx2 y4 z , xyz1 , 用 图 表 示 出 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p , q 的范畴分析：题目中的p , q 与 x , y , z 是线性关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可借助于 x , y , z 的范畴确定 p ,q 的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3xy2 zp,x1 8q276 p,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由x2y4 zq,得y1 145q3 p,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz1,27z1 54 p273q,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x0 , y0 , z6 p0 得3 pq80,5q140, 画出不等式组所示平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 p4q50,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -区域如下列图说明：题目的条件隐藏,应考虑到已有的x , y , z 的取值范畴借助于三元一次方程组分别求出x , y ,z ,从而求出p , q 所满意的不等式组找出 p , q 的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、已知 x,y,a,b满意条件：x0, y0, a0, b0 , 2x+y+a=6,x+2y+b=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）试画出（x, y ）的存在的范畴.（ 2）求2 x3 y的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题二 -画区域,求面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 求不等式组y x1 yx1所表示的平面区域的面积1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来,判定其外形进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形,如何变形？需对肯定值加以争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：不等式yx11可化为 yxx1) 或 yx2x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式 yx1可化为 yx1x0 或 yx1 x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面直角坐标系内作出四条射线：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB： yxx1 ,AC： yx2 x1DE： yx1x0 ,DF ： yx1 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就不等式组所表示的平面区域如图,由于AB 与 AC 、 DE 与 DF 相互垂直,所以平面区域是一个矩形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为典型例题三 -求最值一、与直线的截距有关的最值问题zAxByC2 和 3222所以其面积为y3 2A 2 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如图 1 所示,已知ABC 中的三顶点A2 , 4 ,B1, 2 , C 1, 0 ,B 1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P x ,y 在ABC 内部及边界运动,请你探究并争论以下问题： zxy 在点 A处有最大值6 zxy 在点 C处有最大值1,在边界BC处有最小值1.,在点 B处有最小值30C 1, 0x（图 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA 2 , 4ByxyB3A 2 , 4xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, 2xy6 1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0C 1, 0xxy1（ 图 2 ）0C 1, 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 如 x 、 y 满意条件2xy123x2y10x4 y100,0, 求 z0.x2 y 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：画出可行域,平移直线找最优解解：作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作直线l : x2 yz,即 y1 x122z ,它表示斜率为1,纵截距为2z的平行直线系,当它2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在可行域内滑动时,由图可知,直线l 过点 A 时, z 取得最大值,当l 过点 B 时, z 取得最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zmax22818zmin2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： zAxBy 可化为 yA xz 表示与直线yA x 平行的一组平行线,其中 z为截距, 特殊注可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BBBB意：斜率范畴及截距符号.即留意平移直线的倾斜度和平移方向.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：设x,y 满意约束条件x4 y33 x5y25x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分别求： 1z=6x+10y , 2z=2x-y,3z=2x-y,的最大值,最小值.二、与直线的斜率有关的最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z yy0xx0表示定点P（ x 0,y 0 与可行域内的动点Mx,y 连线的斜率 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy2 0,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2设实数 x, y 满意x2 y4 0,就 z的最大值是 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y3 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC, zyy0 表示两点 xx0O 0,0,P x, y 确定的直线的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率,要求z 的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以看出直线OP的斜率最大,故P为 x2 y40 与 2 y30 的交点,yA 2 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 A 点33P 1,故答案为22B 1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如图 1 所示,已知ABC 中的三顶点A2 , 4 ,B1, 2 , C 1, 0 ,0C 1, 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P x , y 在ABC 内部及边界运动,请你探究并争论以下问题：（图 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如目标函数是zy 12 y或 zxx3,你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意 义 求 得1zm i n 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zmax ？三、与距离有关的最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z xx 2 yy 2 或z xx 2 yy2 或zx2y2AxByC （配方）的结构表示定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000022点 Q （ x 0,y 0 到可行域内的动点Nx,y的距离的平方或距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知 xy50 , xy 100 求xy 的最大、最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：令zx2y 2 ,目标函数是非线性的而z x2y2x2y22可看做区域内的点到原点距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的平方问题转化为点到直线的距离问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由xy50,xy100,得可行域如图所示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zx2y 2x2y22,而 0 , 0 到 xy50 , xy100 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_距离分别为5和 10 所以 z 的最大、最小值分别是50 和2225 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy2. 已知xy2 0,4 0, 求zx2y210 y25 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xy5 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：作出可行域如图3,并求出顶点的坐标A（ 1, 3）、B（ 3, 1）、C（ 7,9）而zx2 y52 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可行域内任一点（x,y）到定点 M（ 0,5）的距离的平方,过M作直线 AC的垂线,易知垂足 在线段 AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上,故 z 的最小值是29MN2yC1,22/5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1. 给出平面区域如右图所示,如使目标函数z=ax+y a > 0 取得最大值的最优解有无穷多个,就a 的值为（ B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1B.3C.4D.5453B1,1oA5,2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在坐标平面上,不等式组x3,xy0xy2所表示的平面区域的面积为0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 三角形三边所在直线分别为x-y+5=0 ,x+y=0 , x-3=0 ,求表示三角形内部区域的不等式组.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知xyxy2xy2040,求 z| x2 y504 | 的最大值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载