2022年高中数学竞赛专题讲座之六立体几何 .docx
精品_精品资料_竞赛试卷选讲之六：立体几何一、挑选题部分1. （ 2022 吉林预赛） 正方体 ABCD A1B1C1D1 中,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和直线 BC 1 所成的角均为60°,就这样的直线 l 的条数为 （ C ）A. 1B. 2C. 3D.大于 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.（ 2022 陕西赛区预赛）如图 2,在正方体ABCDA1B1C 1D1 中, P 为棱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB上一点,过点P 在空间作直线l ,使l 与平面ABCD和平面0AB C1D1 均成 30 角,就这样的直线l 的条数为（ B ）A. 1B .2C. 3D .43 集训试卷 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形ABC 的中心,过 O 的动平面与PC 交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1于 S,与 PA、 PB 的延长线分别交于Q、 R,就和式PQ11（）PRPS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 有最大值而无最小值B有最小值而无最大值 C既有最大值又有最小值,两者不等D是一个与面QPS 无关的常数解：设正三棱锥P-ABC 中,各侧棱两两夹角为, PC 与面 PAB 所成角为 ,就 v S-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PQR=1 S PQR · h=31 132PQ· PRsin · PS· sin .另一方面,记O 到各面的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d , 就vS-PQR=v O-PQR+v O-PRS+v O-PQS ,11S PQR · d=33 PRS · d+11S PRS · d+33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PQS · d= d31dPQ · PRsin +231dPS· PRsin +231PQ · PS· sin , 故 有 ：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1PQ· PR· PS· sin =dPQ · PR+PR · PS+PQ· PS,即PQ11PRPSsin=常d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数.应选 D.4（ 2022 年江苏） 过空间肯定点P 的直线中,与长方体ABCDA1B1C 1D1 的 12 条棱所在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线成等角的直线共有（C）A 0 条B 1 条C 4 条D 很多多条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.（ 2022 天津） 已知 P 为四周体 SABC的侧面 SBC 内的一个动点,且点P 与顶点 S 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_距离等于点 P 究竟面 ABC 的距离,那么在侧面SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,就该曲线肯定是（ D ）A 圆或椭圆B 椭圆或双曲线C双曲线或抛物线D 抛物线或椭圆6（ 2022 年南昌市） 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是单位正方形 A, B, C, D 按反时针方向排列 ,侧棱 PB 垂直于底面 ,且 PB 3 ,记APD,就 sin（ C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23A B 2356CD 56可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7（ 2022 年浙江） 正方体的截平面 不行能 是： 1 钝角三角形 2 直角三角形3菱 形4 正五边形 5 正六边形.下述选项正确选项（ B）A 125B 124C 234D 345【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不行能是钝角三角形,直角三角形（证明略）.对四边形来讲,可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形,矩形、但不行能是直角梯形（证明略）.对五边形来讲,可以是任意五边形,不行能是正五边形（证明略）.对六边形来讲,可以是六边形（正六边形）.选 【 B 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 2022 全国 如图,ABCDA B C D为正方体.任作平面与对角线AC 垂直,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为 l .就（）A S 为定值, l 不为定值B S 不为定值, l 为定值C S 与 l 均为定值D S 与 l 均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥AA BD与 CD B C 后,得到一个以平行平面A BD与 D B C为上、下底面的几何体V , V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A B 剪开,展平在一张平面上,得到一个A B B1A1 ,而多边形W 的周界绽开后便成为一条与A A1 平行的线段（如图中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E E1 ）,明显E E1A A1 ,故 l 为定值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 E 位于 A B 中点时,多边形W 为正六边形,而当E 移至 A 处时, W 为正三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形,易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为值.选 B.3 l 2 与243 l 2 ,故 S 不为定36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.（ 2022 浙江省） 在正 2022 边形中,与全部边均不平行的对角线的条数为（C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2022B 1003 2C 100321003D 1003 21002 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 正 2n 边形 A AA,对角线共有12n2n3n2n3 条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算与一边A1 A2 平行的对角线条数,因A1 A2/ An1 An2 ,与A1 A2 平行的对角线的端可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点只能取自 2n-4 个点,平行线共n-2 条.故与某一边平行的对角线共nn-2 条.由此可得与任何边都不平行的对角线共有n2n-3-nn-2=nn-1 条. 因此正确选项是 C.10（ 2022 四川） 如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的立体图形.那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有 120 条.解：据题意新的立体图形中共有24 个顶点,每两点连一条线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2共241223276 ,其中全部的棱都在原立方体的表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面,有 36 条.原立方体的每个面上有8 个点,除去棱以外,仍可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连 58220 条, 6 个面共 120 条都在原立方体的表面,除此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之外的直线都在原立方体的内部.二、填空题部分1 （ 2022 年南昌市） 棱长为1 的正四周体在水平面上的正投影面积为s,就 s 的最大值为 _1_.22（ 2022 天津） 在一个棱长为 5 的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1 的小球,如小球可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在盒内任意的运动,就小球达不到的空间的体积的大小等于31443可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3（ 2022 年上海） 在 ABC 中,已知A30 ,B105,过边AC 上一点 D 作直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DE ,与边 AB 或者 BC 相交于点 E,使得CDE60 ,且 DE 将 ABC 的面积两等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2分,就CD3AC64（ 2022 年上海） 在直三棱柱中,已知底面积为s 平方 M ,三个侧面面积分别为m 平方M,n平方M,p平方M,就它的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s 4 mnpmnp pmnnpm 2立方 M 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5（ 2022 陕西赛区预赛） 用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四周体形框架,铁棒的粗细和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R1 ,能包涵此框架的最小球的半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_径为 R2 ,就R1 等于3.R23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6（ 2022 年江苏） 长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB14 ,AD13 ,就对角线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC1 的取值范畴是4,57 2022全 国 如 图 , 四 面 体DABC的 体 积 为AC1, 且 满 足6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACB45 , ADBC3, 就 CD3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11解：ADBC 32AC sin 45 1VDABC, 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC即 ADBC1.2第 7 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 3ADBCAC 23 ADBCAC3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等号当且仅当 ADBCAC1 时成立,这时 AB 21, AD面 ABC ,DC3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8（ 2022 全国） 如图、正方体ABCDA1B1C1D1 中,二面角ABD1A1 的度数是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：连结D1C,作CEBD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A1B 于 F,就FEBD1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连结 AE ,由对称性知AEBD1,FEA是二面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABD1ACAD1A1 的平面角 .连结 AC ,设 AB=1 ,就2, BD13.D1C1A1B1F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在Rt ABD1 中, AEAB AD12CD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD13AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在AEC中,cosAEC222AECEAC42222 AEAC31 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 AE CE2 AE423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AEC1200 , 而FEA是AEC 的补角,FEA600 .可编辑资料 - - - 欢迎下载
