2022年高中数学解题基本方法之换元法.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换 争论对象, 将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简洁化,变得简洁处理.换元法又称帮助元素法、 变量代换法. 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来, 或者把条件与结论联系起来. 或者变为熟识的形式, 把复杂的运算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次显现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉.例如解不等式：4 x 2 x 2 0,先变形为设2 x t （ t>0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元.如求函数y x 1x 的值域时,易发觉x 0,1,设 xsin 2 , 0, ,问题变成了熟识的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需要.如变量 x、y 适合条件x 2 y 2 r 2r>0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,就可作三角代换x rcos 、y rsin 化为三角问题.SS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均值换元,如遇到x y S 形式时,设x t , y 22 t 等等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范围的选取, 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大.如上几例中的 t>0 和 0, .2、再现性题组：1.y sinx · cosx sinx+cosx的最大值是 .a2. 设 fx2 1 log4 x 4 （ a>1）,就 fx的值域是 .3. 已知数列 a n 中, a 1 1, a n 1 · a n a n 1 a n ,就数列通项a n .4. 设实数 x、y 满意 x 2 2xy 10,就 xy 的取值范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 方程13 xx 3 的解是 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 16. 不等式 log 2 2 1· log 2 2 2 2 的解集是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【简解】 1 小题： 设 sinx+cosx t 2 ,2 ,就 y t21 t 1,对称轴 t 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 t 2 , y max 2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa2 小题：设 x 2 1 t t 1 ,就 ftlog-t-12 4 ,所以值域为 ,log4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 小题： 已知变形为11a n 1a n1 1, 设 b n 1,就 b1 1,b n 1 n 1-1a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n,所以 a n .n4 小题：设x y k,就 x 2 2kx 1 0, 4k 2 4 0, 所以 k 1 或 k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 小题：设3x y ,就 3y 2 2y 1 0, 解得 y 1,所以 x 1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26 小题：设 log2 x 1 y,就 yy 1<2 ,解得 2<y<1,所以 x log52,log42 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、示范性题组：例 1.实数 x 、y 满意 4x 2 5xy 4y2 5（ 式） ,设 S x2 y 2 ,求1Smax1Smin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值.（ 93 年全国高中数学联赛题）【 分析】由S x 2 y 2 联 想到cos 2 sin2 1, 于是进行三角换元,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x S cos y S sin 代入式求S max 和 Smin 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x S cos 【解】设代入式得：4S 5S· sin cos 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y S sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 S 10.85 sin 2 101010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ -1 sin2 1 3 8 5sin2 131385 sin3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1Smax1Smin31316810101058S10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此种解法后面求S 最大值和最小值,仍可由 sin2 的有界性而求, 即解不等S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式： |8S10 S| 1.这种方法是求函数值域时常常用到的“有界法”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【另解】由 S x 2 y2 ,设 x 2 S t , y 2 2SSS t , t , ,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 xy ±S t 224代入式得：4S± 5S t 224=5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_移项平方整理得100t2 +39S2 160S 100 0 . 39S 2 160S 100 0解得： 10 S 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1Smax1Smin3131010133168105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S x 2 y 2 与三角公式 cos 2 sin 2 1 的联系而联想和发觉用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.其次种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S x 2 y 2 而根据均值换元的思路,设 x 2 S t 、 y 2 S t ,削减了元的个数,问题且简洁求解.另外,仍用到了求值22域的几种方法：有界法、不等式性质法、分别参数法.和“均值换元法”类似,我们仍有一种换元法,即在题中有两个变量x、y 时,可以设xa b,y a b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式.此题设x a b, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b,代入式整理得3a 2 13b 2 5,求得 a2 0,5 ,所以 S a b32 a b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2 b2 10 201313a 2 1010,133 ,再求1Smax1Smin的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos例 2 ABC 的三个内角A、B、C 满意： A C2B,AC的值.（ 96 年全国理）21cos A1cos C2,求cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 分 析 】由 已 知 “ A C 2B” 和 “ 三 角 形 内 角 和 等 于180° ” 的 性 质 , 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC120°.由“ A C 120°”进行均值换元,就设A 60°,再代入可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 60 °AC求 cos 即 cos.2AC120 °C 60° 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】由 ABC中已知 A C2B,可得,B 60 °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 A C 120°,设A 60 °C 60° ,代入已知等式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos A1cos C1cos 6011cos6013可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cossin22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1131cos3cos3 22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cossin22cos24sin24cos24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： cos 2AC2,即： cos.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【另解】由A C 2B,得 AC 120°, B 60°.所以1cos A1cos C2cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 22 ,设1cos A12 m,1cos C12 m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 cosA, cosC2m,两式分别相加、相减得：2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA cosC 2cosACcos2ACAC cos2222,m22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA cosC 2sinACsin2AC 3 sin2AC2 m,2m22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC2m23 m2,2 ,代入m222242AC222即：sin22sin2 ACcos2 AC 1 整理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： 3m 16m 12 0, 解出 m 6,代入 cos.2m222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】此题两种解法由“A C 120°”、“1cos A1cos C 22 ”分别进行均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值换元, 随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,仍要求对三角公式的运用相当娴熟.假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出：由A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1C 2B,得 A C 120°, B60°.所以cos A1cos C2cos B 22 ,即 cosA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosC 22 cosAcosC,和积互化得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cosACACcos222 cosA+C cosA-C , 即 cos AC 22 2 cosA-C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2 2cos22 AC 2 1 ,整理得： 42 cos2 AC 2 2cosAC 32 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC2解得： cos22例 3.设 a>0,求 fx 2asinx cosx sinx ·cosx 2a 2 的,【解】设 sinx cosx t ,就t -2 ,2 ,由 sinx22x最大值和最小值.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx 2 1 2sinx · cosx 得： sinx ·cosx t 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fxgt112t 2a222（ a>0）, t -2 ,2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t -2 时,取最小值：2a 22 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a 2 22 a 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0<2a2 时, t 2a,取最大值： fx的最小值为 2a 2 22 a1.21,最大值为212 02a 22a2 2 2a.1 a2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】此题属于局部换元法,设sinx cosx t后,抓住sinx cosx 与 sinx · cosx的内在联系, 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得简洁求解.换元过程中肯定要留意新的参数的范畴（t -2 ,2 ）与 sinx cosx 对应,否就将会出错.此题解法中仍包含了含参问题时分类争论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情形进行争论.一般的,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为 fsinx ± cosx , sinxcsox ,常常用到这样设元的换元法, 转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.设对所于有实数x,不等式x 2 log4 a1 2x log2a loga1 2>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a恒成立,求a 的取值范畴.（87 年全国理）2 a124a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a12aa12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】不等式中log 2、 log2aa、log 21三项有何联系？进行对4a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数式的有关变形后不难发觉,再实施换元法.2a4 a18 a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】设 log 2 a t ,就log 21 log 2a 3 log 22a 32a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log 22a 3 t , log 2a1a122 2log 24aa1 2t ,2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入后原不等式简化为（3t ） x 2 2tx 2t>0 ,它对一切实数x 恒成立,所以：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 t04t 28t 3tt,解得0t30或t62a t<0即 log 2<0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a0<<1,解得 0<a<1.a1【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用.为什么会想到换元及如何可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a12aa12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设元, 关键是发觉已知不等式中log 2、 log2aa、log 21三项之间的联4a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系.在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”.另外,此题仍要求对数运算非常娴熟.一般的,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发觉它们的联系而实施换元,这是我们摸索解法时要留意的一点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin cos cos2 sin2 10x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5.已知,且xyx2y 23 x 2y 2 式 ,求的y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】设sin xcos y k,就sin kx , cos ky ,且sin22 cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2 x 2 +y 2 1, 代入式得：103k 2 y2x 2k2 x 2y 2103x 2y 2 10 k23y2x 2即：x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2设 y 2 t ,就 t 1 10t31,解得： t 3 或3x3±3 或±y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【另解】由x sin tg ,将等式两边同时除以y cos cos2 x 2,再表示成含tg 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的式子： 1 tg 4 1tg 2101312tgtg 2 ,设 tg 2 t ,就 3t 2 10t 3103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,t 3 或1,解得3x3±3 或±.y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】 第一种解法由sin xcos y而进行等量代换, 进行换元, 削减了变量的个数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次种解法将已知变形为xsin ,不难发觉进行结果为tg ,再进行换元和变形.两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycos 种解法要求代数变形比较娴熟.在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6.实数 x 、y 满意 x129 y1216 1,如 x y k>0 恒成立,求k 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】由已知条件于是实施三角换元.x129 y1 216 1,可以发觉它与a 2 b 2 1 有相像之处,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】由 x129 y1216 1,设x 1 cos ,3y 1sin ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x13 cos 即：y14 sin 代入不等式x y k>0 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3cos 4sin k>0,即 k<3cos 4sin 5sin + 所以 k<-5 时不等式恒成立.【注】此题进行三角换元,将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分别参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范畴.一般的,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相像的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,常常使用“三角换元法”.此题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系,不等式 ax byc>0 a>0所表示的区域为直线ax by c 0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x y k>0 的区域.即当直线x yyk 0 在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭xx y k>0k平面区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆相切时, 方程组16 x1 29 y12144有相等的一组实数解,消元后由0 可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyk0得 k 3, 所以 k<-3 时原不等式恒成立.、巩固性题组：1. 已知 fx3 lgx x>0,就 f4的值为 .A. 2lg2B.1 lg2C.2 lg2D.2 lg43332. 函数 y x 1 4 2 的单调增区间是 .A. -2,+ B. -1,+ D. - ,+ C. - ,-13.设等差数列 a 的公差d 1 ,且S 145,就a a a a的值为2 .n10013599A. 85B. 72.5C. 60D. 52.54.已知 x 2 4y 2 4x,就 xy 的范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.已知 a0, b 0, a b1,就a12b12的范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 不等式x >ax 3 的解集是 4,b,就 a , b .27