2022年高中数学椭圆,知识题型总结 .docx

精品_精品资料_陈氏优学教学课题椭圆学问点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.留意： 如,就动点的轨迹为线段. 如,就动点的轨迹无图形 .讲练结合一 . 椭圆的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如 ABC 的两个顶点 A4,0 , B4,0, ABC 的周长为 18 ,就顶点 C 的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点二：椭圆的标准方程1. 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程： , 其中.2. 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程： , 其中.留意：1. 只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程.2. 在椭圆的两种标准方程中,都有和.3. 椭圆的焦点总在长轴上 . 当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为, .当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,.讲练结合二利用标准方程确定参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 椭圆 x4y21 的焦距为 2 ,就 m=.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 椭圆5x2ky 25 的一个焦点是0,2 ,那么 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点三：椭圆的简洁几何性质椭圆的的简洁几何性质（1） ）对称性对于椭圆标准方程,把x 换成 x,或把 y 换成 y,或把 x、y 同时换成 x、 y,方程都不变,所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.（2） ）范畴椭圆上全部的点都位于直线 x=±a和y=±b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意 |x| a,|y| b.（3） ）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.椭圆（ ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1 （ a,0）, A2（a,0）,B1（0, b）,B2（0,b）.线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, |A 1A2|=2a ,|B 1 B2|=2b .a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.（4） ）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作.由于 ac0,所以 e 的取值范畴是 0e1.e 越接近 1,就 c 就越接近 a,从而越小,因此椭圆越扁.反之, e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆.当且仅当222a=b 时, c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x +y =a .椭圆的图像中线段的几何特点（如下图） ：（1）, .（2）, .（3）, ,.学问点四：椭圆与（ ab 0）的区分和联系标准方程图形焦点,焦距范畴,对称性关于x 轴、y 轴和原点对称性质顶点,轴长轴长=,短轴长 =离心率准线方程焦半径,222留意：椭圆,（ab0）的相同点为外形、大小都相同,参数间的关系都有 a b 0 和,a =b +c .不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2定理在椭圆2ay1（ a b 0）中,焦点分别为2b 2F1、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点,F1PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 S F1PF2b 2 tan.y2PP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：记| PF1 |r1, | PF2 |r2 ,由椭圆的第肯定义得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22 a,r1r 24a 2 .F1OF2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 F1PF222中,由余弦定理得：r12r22 r1r 2cos2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方得：r1r 22r1r22r1r2cos4c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 4a 22r1r2 1cos4c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22a 2c 2 2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由任意三角形的面积公式得：1sin2 sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2r1r22sinb21cosb 22222 cos2b 2tan.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1 PF2b 2 tan. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典题妙解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2例 1如 P 是椭圆1 上的一点,F1、F2 是其焦点,且F1PF260 ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F1PF2的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法一：在椭圆x2y1中, a10, b8, c6, 而60 . 记| PF1 |r1,| PF2 |r2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064点 P 在椭圆上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆的第肯定义得：r1r22a20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 F1PF22中,由余弦定理得：r12r22 r1r 2cos2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方,得：r1r 23r1r2144.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4003r1r2144. 从而r1r2256 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1 PF21r1r2 sin21256233643.23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法二：在椭圆x2y1中, b 264 ,而60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 22btan264 tan 30643 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明白,两个解法的优劣立现；x2y2PFPF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知 P 是椭圆1 上的点,F 、 F 分别是椭圆的左、右焦点,如12,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12259| PF1 | PF 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1PF2的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 33B.23C.3D.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设F1PF2, 就 cosPF1PF21,60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1 | PF2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2b 2 tan29 tan303 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选答案 A.练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6已知椭圆的中心在原点,F 、 F 为左右焦点, P 为椭圆上一点,且PF1PF21 , F PF的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 3 ,准线方程为 x12433,求椭圆的标准方程 .| PF1 |12| PF 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案6 解：设F1PF2,cosPF1PF21 ,120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2b 2 tan2b 2 tan 60| PF13b2| | PF 2 |23 ,b1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 243又,即c3c2b 2cc 21143ccc333 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c3 或 c3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 c3 时, ab2c 22 ,这时椭圆的标准方程为xy21 . 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 c3 时, a3b 2c 223,这时椭圆的标准方程为3xy21 . 423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但是,此时点 P 为椭圆短轴的端点时,为最大,60 ,不合题意 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的椭圆的标准方程为xy 21 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二中点弦问题点差法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或“ 点差法 ”求解.在椭圆ay221b中,以Px0, y0 为中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的弦所在直线方程？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 3.过椭圆 xy1内一点M 2, 1 引一条弦,使弦被M点平分,求这条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_164弦所在的直线方程.分析： 本例的实质是求出直线的斜率,在所给已知条件下求直线的斜率方法较多,故本例解法较多,可作进一步的讨论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：法一设所求直线方程为 y1k x2,代入椭圆方程并整理,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 k 21 x2 2 k 2k x4 2 k1 2160 ,又设直线与椭圆的交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1 , y1 、Bx2 , y2 ,就x1、 x2 是方程的两个根,于是x1x282 k 24 k 2k ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又M为AB的中点,x1x2 242 k 2k 4k 212 ,解之得 k1 ,故所求直线方2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为x2 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二设直线与椭圆的交点为 Ax1,y1、B x2 ,y2 ,M 2,1为AB的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx4, yy2 ,又A、B两点在椭圆上,就 x24 y 216, x 24 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1216,两式相减得 x2x2 4 y 2y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2x1x21x1 4 y1x21y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即k AB点差法,故所求直线为 x22 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 过点 1 , 0 的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为2 的椭圆 C相交于2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B 两点,直线 y= 1 x 过线段 AB的中点,同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线2l 对称,试求直线 l 与椭圆 C的方程.命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新奇,基础性强,属级题目 .学问依靠：待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题.错解分析：不能恰当的利用离心率设出方程是同学简洁犯的错误. 恰当的利用好对称问题是解决好此题的关键.技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式 . 解法二,用韦达定理 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：由 e= ca2 , 得2a2b2a21 , 从而 a2=2b2 , c=b.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22设椭圆方程为 x +2y =2b2, A x , y , B x , y 在椭圆上 .1122222222222就x1 +2y1 =2b , x2 +2y2 =2b ,两 式 相 减 得 , x1 x2 +2 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1y2x1x2y2 =0,.x1x22 y1y 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 AB中点为 x0, y0, 就 kAB=x0 2 y0, 又 x0, y0 在直线 y= 12x 上,y0= 12x0, 于是x0=2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, kAB= 1, 设 l 的方程为 y=x+1.右焦点 b,0 关于 l 的对称点设为 x, y,y1就 xb解得 x1yxb1y1b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222由点1,1 b 在椭圆上,得 1+21b =2b , b = 916,a 29 .8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求椭圆 C的方程为8x 2916 y 29=1, l的方程为y=x+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由 e= ca2 , 得2a2b2a 21 , 从而 a =2b , c=b.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设椭圆 C的方程为 x +2y2=2b2, l 的方程为 y=k x1,22222将 l的 方 程 代 入 C的 方 程 , 得 1+2 k x 4k x+2k 2b =0, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k2x1+x2= 2, y1 +y2=k x1 1+ k x2 1= k x1+x2 2k=2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k12k12k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l ：y= 1 x 过 AB的中点2x1x2 , 2y1y22, 就1k 2k 212k22 12k 2, 解得 k=0,或 k=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.如 k=0, 就 l 的方程为 y=0, 焦点 F c,0 关于直线 l 的对称点就是 F点本身,不能在椭圆 C上,所以 k=0 舍去,从而 k=1,直线 l 的方程为 y= x 1, 即 y= x+1,以下同解法一 .题型三 弦长公式与焦半径公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般弦长公式弦长公式：如直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1, x2 分别为 A、B 的横坐标,就 AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 k 2 xxAB112 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 ,（如y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标,就k）,如弦 AB 所在直线方程设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xkyb ,就AB 1k 2y1y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解.1. 其次定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ec 0 ae1 的动点M的轨迹叫做椭圆,定点为椭圆的一个焦点,定直线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2留意： 对 xa 22y1ab b 20 对应于右焦点F2 c, 0 的准线称为右准线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是 xa,对应于左焦点2cF1c, 0 的准线为左准线 xa2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2对于椭圆ay 221 abb0 ,设 P x, y为椭圆上一点,由其次定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r左c左焦半径2aax0r左ex0ca 2·acaex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r右c2右焦半径xaa0r右aex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知点 P 在椭圆 ya 2x 2b 21 ab0 上, F1、F2 为椭圆的两个焦点,求| PF1|·| PF2 |的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.解：设 P x0,y0 ,椭圆的准线方程为y± a,不妨设 F1、F2 分别为下焦点、上焦点2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1|就2ya0c|PF2 |c, 2yaaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cc|PF1|y0acca, | PF2 |ay0accc22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|PF1|· | PF2|ay0 aay0 aa2 y02a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ay0a ,2当 y00 时, | PF1|· |PF2 |最大,最大值为 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y± a时, | PF|· | PF|最小,最小值为 a 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此, |PF |·|PF|的取值范畴是 b 2 , a 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 2.椭圆 xy1的焦点为F1、F2 ,点P为其上的动点,当F1 PF2 为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94时,点 P 横坐标的取值范畴是.（ 2022 年全国高考题） 分析： 可先求 F1PF2 90°时, P 点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：法一在椭圆中, a3,b2 , c5,依焦半径公式知|PF1|35 x, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF |35 x,由余弦定理知F PF 为钝角| PF |2| PF |2|F F |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21213212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35 x 23353x 22 5229x,应填53x355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二设P x, y ,就当F1 PF290°时,点P的轨迹方程为 x 2y25,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可得点P的横坐标 x± 3 ,点P在x轴上时, 5F1 PF20.点P在y轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,F1 PF2为钝角,由此可得点P横坐标的取值范畴是3x355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四参数方程3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心,分别以a、b（ a>b>0）为半径作两个圆,点B 是大圆半径OA与小圆的交点,过点 A 作 AN Ox,垂足为 N,过点 B 作 BN AN,垂足为 M,求当半径 OA绕 O旋转时点 M的轨迹的参数方程.解： 设点 M 的坐标是 x, y , 是以Ox为始边,为终边的正角,取为参数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么xONyNM|OA|cos|OB|sinx a cosy b sin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就是椭圆参数方程：为参数时,称为“离心角”说明： <1> 对上述方程（ 1）消参即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xcosaysinbx 2y 2221一般方程ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_<2>由以上消参过程可知将椭圆的一般方程进行三角变形即得参数方程.直线与椭圆位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2221abykxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求椭圆上动点P（ x, y）到直线距离的最大值和最小值,（法一,参数方程法.法二,数形结合,求平行线间距离,作 l ' l 且 l ' 与椭圆相切）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.已知椭圆 x28 y28,在椭圆上求一点P,使P到直线l： xy40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设P22 cos , sin 由参数方程得 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|22 cossin就d24|3sin4|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 tan22,当时, d 2122min2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 cossin22 , sincos133可编辑资料 -