2022年高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案 .docx

精品_精品资料_数列求通项公式的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、叠加法1. 适用于：an 1anfn -这是广义的等差数列累加法是最基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本的两个方法之一.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 假设 an 1a2a1anf 1f n n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就a3a2f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相加得an 1a1nf kk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知数列 an 满意 an 1an2 n1, a11 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 an 1an2 n1 得an 1an2n1就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ananan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n112 n212212111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n1 n221n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 nn n21n 21n n1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 an的通项公式为an2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 已知数列nSn an 中,an0 且1 an2n an, 求数列 an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn解: 由已知1 an2n S an得1 Sn2Sn 1nSnSn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn2化简有n222SSSn23nn 1, 由类型 1 有 n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 S1a1 得a12S1 , 所以 nnn21, 又an0 , sn2n n12,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn1an2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n就2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1, 已知数列公式.an的首项为 1,且 an 1a2nnN* 写出数列an的通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：n 2n1 a anan 11n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2. 已知数列式.n1n答案：裂项求和n满意 a13 ,1an4nnn1,求此数列的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 3.已知数列an满意 a11 , aa 21,求n2nan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知：an 1an1n 2n1n n111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分别令 n1,2,3, n1 ,代入上式得 n1 个等式累加之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a1 a3a2 a4a3 anan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 12211133411 n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1所以 ana11n11131a1, an122n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：已知 a1a , an 1anf n ,其中 fn 可以是关于 n 的一次函数、二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数、指数函数、分式函数,求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 fn 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 fn 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;假设 fn是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;假设 fn是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、叠乘法1. 适用于：an 1f nan-这是广义的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_累乘法是最基本的二个方法之二.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 假设an 1a2f n ,就a3f 1f 2,an 1f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,ana1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相乘得,an 1na1f k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.已知数列an满意 a12, an 13na ,求nn1an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知an 1ann,分别令 n n11,2,3, n1 ,代入上式得 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个等式累乘之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 . a3. a4 . an123n1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2a3an 1234na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a12 , a2n1n1nn33n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n练习 1. 已知数列 a 满意 a2 nn15a , a3 ,求数列 a 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 a2 n15na , a3 ,所以 a0 ,就 an 12 n15n ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1naanan 1n1nan1a3a2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an 2a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n115n12 n215n2 22152 21151 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 1 nn1325 n1 n22 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32n 1n n 152n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 an的通项公式为 ann 1325n n 1 2n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2. 设 an是首项为 1 的正项数列,且 n1 a 2na 2an 1 an0 n=1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn13,就它的通项公式是an =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：已知等式可化为：an 1an n1) an 1na n0an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n0 n*N n+1an 1nan0 ,即 ann1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时,aannanan 1an 1n1 naa 2n1n21111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an 2a1=nn12= n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注： 此题是关于an 和 an1 的二次齐次式,可以通过因式分解一般情形时用求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根公式得到an 与an1 的更为明显的关系式,从而求出an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习. 已知a n 1nann1, a11 , 求数列an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： an n1. a11 -1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把原先的递推关系式an 1na nn1, 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 11n an1, 假设令bnan1 , 就问题进一步转化为bn 1nbn 形式,进而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用累乘法求出数列的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、待定系数法适用于an 1qanf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本思路是转化为等差数列或等比数列, 而数列的本质是一个函数, 其定义域是自然数集的一个函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 形如 an 1cand, c0 , 其中 a1a 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设 c=1 时,数列 2假设 d=0 时,数列 an 为等差数列 ; an 为等比数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设 c1且d0 时,数列an 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造帮助数列来求 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_待定系数法：设an 1can ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得an 1canc1, 与题设 an 1cand , 比较系数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1d , 所以d, cc 10an所以有：d dcan 1c1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n因此数列dc1构成以da1c1 为首项,以 c 为公比的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dan所以c1a1dc n 1c1ana1即：dcn 1c1dc 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：将递推关系an 1cand an 1化为dc anc1d1c1 , 构造成公比为 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的等比数列 andc1 从而求得通项公式dan 11cc n 1 ad c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 已知数列 an 中, a11,an2an 11n2 ,求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： an2an 11n2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an12an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a112,an1是首项为 2,公比为 2 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnan12 ,即 an21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四逐项相减法逐差法 1：有时我们从递推关系an 1cand 中把 n 换成 n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有ancan 1d , 两式相减有an 1ancanan 1 从而化为公比为 c 的等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列 an1an , 进而求得通项公式 .an 1ancn aa1 , 再利用类型 1 即可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2得通项公式 . 我们看到此方法比较复杂 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 已知数列 an 中, a11,an2 an 11n2 ,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： an2an 11n2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 12an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减得an 1an2anan 1 n2 ,故数列an 1an 是首项为 2,公比为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的等比数列,再用累加法的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习已知数列 an 中, 11a2, an 1an21 ,2 求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ann答案：1 n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 形如：an 1p anq 其中 q 是常数,且 n0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 p=1 时,即： an 1annqn,累加即可 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 p1时,即：an 1p anq ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求通项方法有以下三种方向： i.两边同除以数列n 1p. 目的是把所求数列构造成等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pan 1an1 p nbanbb1 p n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：pn 1q npq, 令nnn 1,就npq, 然后类型 1,累可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加求通项 .ii.两边同除以q n 1.目的是把所求数列构造成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1即：qn 1banp an1q q nq ,p1bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qnnn 1令, 就可化为qnq . 然后转化为类型 5 来解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设a n 1q n 1pa nnp . 通过比较系数, 求出 ,转化为等比数列求通项 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1留意：应用待定系数法时,要求pq,否就待定系数法会失效.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 已知数列 an 满意 an 12an4 3n1, a1 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n解法一待定系数法：设 an 112 an3n 1,比较系数得14,22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就数列 an4 3n 1是首项为 a14 31 15 ,公比为 2 的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 an4 3n 1n 15 2a,即 n4 3n 15 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an 12 an4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二两边同除以qn 1： 两边同时除以3n 1 得：3n 13 3n3,下面解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解法三两边同除以法略n 1p： 两边同时除以an 12 n 1 得： 2 n 1an42n3 3 n2,下面解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习.已知数列an 中, a15 , a1n1n61 a1 nn32,求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在an 11 1 nan 32两边乘以 2得： 211n. an 12 2n3. an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 bn2bn2 . an ,就 bn 1n31 , 应用例 7 解法得： bn322) n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 anbn1 nn3221 n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 形如an 1pa nknb其中 k,b 是常数,且 k0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 1：逐项相减法逐差法方法 2：待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通过凑配可转化为解题基本步骤：anxnyp an 1xn1y ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、确定f n =kn+b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、设等比数列 bnanxny ,公比为 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、列出关系式anxnyp an 1xn1y , 即bnpbn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、比较系数求 x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、解得数列anxny的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、解得数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7在数列 an 中, a11, an 13an2 n, 求通项an . 逐项相减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： , an 13an2n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, an3an 12n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减得an 1an3 anan 12 . 令bnan 1an , 就bn3bn 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用类型 5 的方法知 bn5 3n 12即an 1an5 3n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an再由累加法可得53 n 1n212 .亦可联立 解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3n5n 11n22 .1na3 ,2aan 16 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习.在数列 an 中,2, 求通项an . 待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原递推式可化为2anxnyan 1x n1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较系数可得： x=-6,y=9, 上式即为2bnbn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba6n991b91 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 bn11是一个等比数列,首项2 , 公比为 2 .n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an6n即：99 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 nan9故26n9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 形如 an 2pan 1qan时将 an 作为f n 求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：原递推式可化为an 2an 1 p an 1an的形式,比较系数可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 ,数列an 1an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8已知数列 an 满意 an 25an 16an, a11,a22 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_