2022年高中数学苏教版选修-第章《空间向量与立体几何》章末总结.docx
精品_精品资料_章末总结学问点一空间向量的运算空间向量及其运算的学问与方法与平面对量及其运算类似,是平面对量的拓展,主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算,是用向量法求解立体几何问题的基础可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 沿着正四周体 O-ABC的三条棱 、 、 的方向有大小等于1、2 和 3 的三个力可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAOBOCf1, f2, f3 .试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值学问点二 证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一,利用空间向量证明平行和垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理,再通过向量运算来解决例 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,正方体ABCD A1B1C1 D1 中, M、N 分别为 AB、B1C 的中点(1) 用向量法证明平面A1BD平面 B1CD 1.(2) 用向量法证明 MN面 A1BD .例 3如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC 1 上的一点, CPm.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD 1B1 所成的角为 60°.例 4正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 BB 1、CD 的中点,求证：平面AED 平面 A1FD 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,一般有两种方法：即几何法和向量法,几何法求角时, 需要先作出 或证出 所求空间角的平面角,费时费劲, 难度很大 而利用向量法,只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解,表达了向量法极大的优越性例 5如下列图,在长方体ABCD A1B1C1D1 中, AB 5, AD 8,AA1 4, M 为 B1C1 上一点且 B1M 2,点 N 在线段 A1D 上, A1D AN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求 cosA1D,AM.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求直线 AD 与平面 ANM 所成角的余弦值.(3) 求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值学问点四 空间向量与空间距离近年来,对距离的考查主要表达在两点间的距离和点到平面的距离,两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解,点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解,或者利用等积求高的方法求解例 6如图, PA平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形, PAAD 2,M、N 分别是 AB、PC 的中点(1) 求二面角 PCD B 的大小. 2求证：平面 MND 平面 PCD . 3求点 P 到平面 MND 的距离章末总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重点解读例 1解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下列图,用a, b,c 分别代表棱 、 、 上的三个单位向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f 1 a, f 2 2b, f33c, 就 f f1 f2 f3a 2b 3c,|f |2 a 2b 3c a 2b 3cOAOBOC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|a|2 4|b|2 9|c|2 4a·b 6a·c 12b·c14 4cos 60 ° 6cos 60 ° 12 cos 60 °14 2 3 6 25,|f |5,即所求合力的大小为5.2 2a·b 3a·c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 cosf, a f ·a |a|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31 1 2|f| ·|a| 57可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,同理可得： cosf, b4cosf, c 9 . 510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2证明1 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, ADAB ,B A A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD又 1D 111 D111B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD A1D ,AB A1B ,BD B1D 1. BDB1D 1.同理可证 A1B D1C,又 BD A1BB, B1D1 D1 C D1 , 所以平面 A1BD 平面 B1CD 1. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) MNMB BC CN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ABAD2CBCC1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 AD 1 AA2ABAD1 21 1 1 2AB2AD2AA 1.设AB a, AD b, AA1 c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1就a bcMN 2又BD AD AB b a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MN 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_·BD2a b cb a21b2 a2c·b c·a又 A1AAD ,A1A AB,c·b 0, c·a0.又|b| |a|, b2 a2, b2 a2 0. MN ·BD 0, MN BD.同理可证, MN A1B,又 A1B BD B,MN 平面 A1BD.例 3解 建立如下列图的空间直角坐标系,就A1,0,0 , B1,1,0 , P0,1,m, C0,1,0 , D0,0,0 ,B11,1,1 ,D 10,0,1 就BD 1, 1,0,BB1 0,0,1 ,AP 1,1, m,AC 1,1,0又由 AC·BD 0, AC·BB 1 0 知, AC为平面 BB1D1D 的一个法向量设 AP 与平面 BB1D 1D 所成的角为 , 就 sin |cos , | |AP·AC|APAC |AP |AC|22.2 m · 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意得2·2 2m2 sin60 ° 3,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.解得 m 33故当 m 3时,直线 AP 与平面 BDD 3例 4证明如图,建立空间直角坐标系D xyz.设正方体棱长为 1,1就 E 1, 1,2 、D1 0,0,1、,F 01, 0 、A1,0,0 21B1所成角为 60°.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 11DA 1,0,0 D 1A , DE 1, 1,2 , 0,1, 1 .D1F2设 m x1, y1, z1, n x2, y2, z2分别是平面 AED 和 A1FD 1 的一个法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DA由m· 0x1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y 1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m·DE 0112z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y1 1,得 m 0,1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_·0n D 1A1又由x2 01,y z 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n·D 1F 02 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 z2 1,得 n0,2,1 m·n0,1, 2 ·0,2,1 0,mn,故平面 AED 平面 A1FD 1.例 5解1建立空间直角坐标系 如图 就 A0,0,0 ,A10,0,4 , D0,8,0 , M5,2,4 AM 5,2,4 ,A1D 0,8, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AM ·A1D 0 16 16 0,D.1AM A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA1D,AM 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) A1D AM,A1D AN,且 AMAN A,A1D 平面 ANM,A1D 0,8, 4是平面 ANM 的一个法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD 0,8,0 , |A1D| 45, |AD| 8, A1D·AD 64,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos , 64 2 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1DAD45× 855 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD 与平面 ANM 所成角的余弦值为5.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1D(3) 平面 ANM 的法向量是 0,8, 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面 ABCD 的法向量是 a 0,0,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos , a 4 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1D455 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值为55例 61解PA平面 ABCD , 由 ABCD 是正方形知 AD CD .CD 面 PAD, PD CD . PDA 是二面角 P CD B 的平面角PA AD, PDA 45°,即二面角 P CD B 的大小为 45°. 2如图,建立空间直角坐标系, 就 P0,0,2 , D0,2,0 ,C2,2,0 , M 1,0,0 ,N 是 PC 的中点,N1,1,1 ,MN 0,1,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ND 1,1, 1,PD 0,2, 2设平面 MND 的一个法向量为 m x1,y1,z1 ,平面 PCD 的一个法向量为 n x2,y2,z2··m MN 0, m ND 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 z1 0,即有 x1 y1 z1 0.令 z1 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 x1 2, y1 1. m 2, 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,由 n·ND 0, n·PD 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 y2 z2 0,即有2y2 2z2 0.令 z2 1,得 x2 0, y2 1, n 0,1,1m·n 2× 0 1× 1 1×1 0,mn.平面 MND 平面 PCD. 3设 P 到平面 MND 的距离为 d.由2 知平面 MND 的法向量 m 2, 1,1,PD ·m 0,2, 2 · 2, 1,1 4,|PD ·m| 4,又|m|2 2 1 2 12 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d |PD ·m|m|4 26.63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即点 P到平面 MND的距离为 2 36.可编辑资料 - - - 欢迎下载
