2022年高中数学解析几何知识点总结2.docx

精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、直线方程 .§07. 直线和圆的方程学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直线的倾斜角： 一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其 中 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时 , 其 倾 斜 角 为 0 , 故 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是0180 0 .注：当90 或 x 2x1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在 .每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率肯定时,其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,当直线经过两点a,0,0, b,即直线在 x 轴, y 轴上的截距分别为a, ba0, b0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线方程是： xay1 . b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 ： 如 y2 x23是 一 直 线 的 方 程 , 就 这 条 直 线 的 方 程 是 y2 x23, 但 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 x32 x0 就不是这条线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：直线系：对于直线的斜截式方程ykxb ,当k, b 均为确定的数值时,它表示一条确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的直线,假如 k, b 变化时,对应的直线也会变化. b为当定植, k 变化时,它们表示过定点（0, b ）的直线束. 当k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 1 l 2k1 k 2 两条直线平行的条件是：l 1 和 l 2 是两条不重合的直线 . 在l 1 和 l 2 的斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都存在的前提下得到的. 因此,应特殊留意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一般的结论是：对于两条直线l 1,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是b1 ,b2 ,就l 1 l 2k 1 k 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 b1b 2 或 l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即A1 B 2B1 A2 是平行的必要不充分条件,且C1 C 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：假如两条直线l 1 ,l 2 的倾斜角为1,2 就 l 1 l 212 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条直线垂直：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条直线垂直的条件：设两条直线l 1 和 l 2 的斜率分别为k 1 和 k 2 ,就有 l 1l 2k 1k 21 这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_里的前提是l 1,l 2 的斜率都存在 . l 1l 2k10,且 l 2 的斜率不存在或k 20 ,且 l 1 的斜率不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在 . （即A1 B 2A 2 B10 是垂直的充要条件）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 直线的交角：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线l 1 到 l 2 的角（方向角）.直线l 1 到 l 2 的角,是指直线l 1 绕交点依逆时针方向旋转到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 l重合时所转动的角,它的范畴是0, ,当90 时 tank 2k 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1221k k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角：两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角,是指由l 1 与l 2 相交所成的四可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个角中最小的正角,又称为l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范畴是0,当90 ,就有2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tank 2k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 过两直线l 1 :A1 x l 2 :A 2 xB1 y B 2 yC 10C 20的交点的直线系方程A1 xB1yC1 A2 xB 2 yC 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为参数,A2 xB 2 yC20 不包括在内）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 点到直线的距离：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点到直线的距离公式：设点P x0 ,y 0 ,直线l : AxByC0, P 到 l 的距离为d ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax 0By 0Cd.A 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：1. 两点 P1x1,y1、 P2x2 ,y2的距离公式：2| P1 P2 |2x 21x 2 y 21y 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特例：点 Px,y到原点 O 的距离：| OP |xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 定 比 分 点 坐 标 分 式 . 如 点 Px,y 分 有 向 线 段uuuruuur P1P2所成的比为 即P1P PP2, 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P1x1,y1,P2x2,y2.就xx1x2 , y 1y1y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特例,中点坐标公式.重要结论,三角形重心坐标公式.3. 直线的倾斜角（ 0° 180°）、斜率 : ktan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 过两点P x, y , P x, y 的直线的斜率公式： ky2y1 . xx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11122212x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1x2 , y1y2 （即直线和 x 轴垂直）时,直线的倾斜角 90 ,没有斜率 王新敞可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l 1: AxByC10,l 2 : AxByC 20C1C 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 1 C 2它们之间的距离为 d ,就有 d.A 2B 2注. 直线系方程1. 与直线： A x+B y+C= 0 平行的直线系方程是：A x+B y+ m=0. m. R, C m.2. 与直线： A x+B y+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+ m=0. m. R3. 过定点（ x1,y1）的直线系方程是：A x-x1+B y-y1=0A,B 不全为 04. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程：（A1x+B 1y+C 1）+ A 2x+B 2y+C 2） =0 . R）注：该直线系不含 l 2.7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线肯定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：如两条直线平行, 就对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等 .如两条直线不平行, 就对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,就中点在对称直线上（方程）,过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于始终线（yxb ）对称的解法： y 换 x, x 换 y. 例：曲线 fx ,y=0关于直线 y= x 2 对称曲线方程是 f y+2 , x 2=0.曲线 C: f x ,y=0 关于点 a ,b的对称曲线方程是fa x, 2b y=0.二、圆的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 曲线与方程：在直角坐标系中,假如某曲线C 上的 与一个二元方程f x, y0 的实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程.这条曲线叫做方程的曲线（图形）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点M x, y 其坐标与方程f x, y0 的一种关系,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线上任一点 x, y是方程f x, y0 的解.反过来,满意方程f x, y0 的解所对应的点是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线上的点 .注：假如曲线C 的方程是 fx ,y=0 ,那么点 P0x0 ,y线 C 上的充要条件是 fx0 ,y0=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 圆的标准方程：以点Ca, b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 xa 2 yb 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程 xa 2 yb 2b 2rb ,圆心 a, b 或a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 y 轴相切的圆方程 xa) 2 yb) 2a 2 ra ,圆心 a, b或a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 x轴 y 轴都相切的圆方程2 xa y22aara ,圆心a, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 圆的一般方程：x 2y 2DxEyF0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22DED 2E 24F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 DE4F0 时,方程表示一个圆,其中圆心C ,半径 r.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E 24F0 时,方程表示一个点D ,E.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E 24F0 时,方程无图形（称虚圆）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：圆的参数方程：x ar cosy br sin（ 为参数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 方 程Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B0 且 AC0 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.22D E4 AF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的直径或方程： 已知A x1 ,y 1 B x 2 ,y 2 xx1 xx 2 yy1 yy 2 0（用向量可征） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 点和圆的位置关系：给定点M x 0 , y 0 及圆C : xa) 2 yb) 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 内 x 0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 上（ x0222a y 0br可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 外 x 0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 直线和圆的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆圆 C ： xa) 2 yb) 2r 2 r0 .直线 l ： AxByC0 A 2B 20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AaBbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 Ca, b 到直线 l 的距离d.A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ dr 时, l 与 C 相切.x 2y 2D 1xE 1yF 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：如两圆相切,就x 2y 2D 2 xE 2yF 20相减为公切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ dr 时, l 与 C 相交.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1附：公共弦方程：设C : x 22C:x2yD 1x22yD 2 xE1 y E 2 yF 10F 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有两个交点,就其公共弦方程为D1D 2 x E1E2 yF 1F 20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ dr时, l 与 C 相离 .x 2y 2D xE yF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：如两圆相离,就x 2y 21D 2 x1E 2y1F 20相减为圆心O1O 2的连线的中与线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由代数特点判定：方程组xa 2 y AxBxCb 20r用代入法,得关于 x（或 y ）的一元二次方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程,其判别式为,就：0l 与 C 相切.0l 与 C 相交.220l 与 C 相离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：如两圆为同心圆就x 2y 2D 1xE1 yF 10 , xyD 2 xE 2 yF 20 相减,不表示直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线.6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 x2ky22yr的 斜 率 为的 切 线 方 程 是kx1k 2 r过 圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xyDxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上一点Px0 , y 0 的切线方程为：x0 xy 0 yD xx 02E yy 02F0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程如点 x0 ,y0在圆上,就x ax0 a+ y by0 b= R2. 特殊的,过圆 x2y 2r 2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上一点Px 0 , y 0 的切线方程为x 0 xy 0 yr 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y0kx1x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 x0,y0不在圆上,圆心为 a,b就Rby 1kax1,联立求出 k切线方程 .BCD a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R217. 求切点弦方程：方法是构造图,就切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 .已 知O的 方 程 x 2y 2DxEyF0又 以 ABCD为 圆 为 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xx A xa yy A xbk 2 2 x Aa2 y A b 2R,所以 BC 的方程即代,相切即为所求.4三、曲线和方程1. 曲线与方程：在直角坐标系中,假如曲线C 和方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系：1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程fx,y=0 的解（纯粹性）.2） 方程 fx,y=0 的解为坐标的点都在曲线C 上（完备性）.就称方程fx,y=0 为曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 fx,y=0 的曲线.2. 求曲线方程的方法： .1）直接法：建系设点,列式表标,简化检验 ;2）参数法 ;3）定义法,4）待定系数法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考试内容：-圆锥曲线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆及其标准方程椭圆的简洁几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简洁几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线及其标准方程抛物线的简洁几何性质 考试要求：（1） 把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,明白椭圆的参数方程（2） 把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质（3） 把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质（4） 明白圆锥曲线的初步应用§ 08. 圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程 .1. 椭圆方程的第肯定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1 PF1 PF1PF 2PF 2PF 22aF1F 2 方程为椭圆 ,2aF1F 2 无轨迹,2aF1F2 以F1,F 2为端点的线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的标准方程：2i. 中心在原点,焦点在x轴上： xa 2y1a2b 2b0 . ii.中心在原点,焦点在y 轴上：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2x2a 2b21ab0 .x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程：Ax 2By 21 A0, B0 .椭圆的标准参数方程：1 的参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x a cosy bsin（一象限应是属于0） .2a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点： a,00,b) 或 0,ab,0 .轴：对称轴： x 轴, y 轴.长轴长2a ,短轴长2b . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦 点 ： c,0c,0 或 0, a 2y.离心率： e cc0, cc 0e a. 焦 距 ： F 1F 21 .焦点半径：2c, ca2b 2. 准 线 ： xa或2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i. 设x 2P x 0 , y 0 为椭圆2ay 221abb0 上的一点,F 1,F 2 为左、右焦点,PF就1aex0, PF 2aex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆方程的其次定义可以推出.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ii. 设 P x0 ,y 0 为椭圆 x2y1ab0 上的一点,F 1,F 2 为上、下焦点,PF 1aey0, PF 2aey0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2a 222由椭圆方程的其次定义可以推出.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆其次定义可知：pFe xa aex x0, pFe ax exax0 归结起来为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2000c“左加右减” .1000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：椭圆参数方程的推导：得N a cos,b sin方程的轨迹为椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d2b 2a 2b 2b2c, 和 c,aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_共离心率的椭圆系的方程：椭圆22x y1 ab0 的离心率是 ec ca 2b 2 ,方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2程 a2y tt 是大于 0 的参数, a2b 2b 0 的离心率也是 ec 我们称此方程为共离心率的a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆系方程 .22如 P 是椭圆： xa2y1 上的点 . F 1,F 2 为焦点,如2bF 1PF 2,就PF 1F 2的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2 tan2（用余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 如是双曲线,就面积为b2 cot.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、双曲线方程 .1. 双曲线的第肯定义： y bcos, bsin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF 1PF 1PF 1PF 2PF 2PF 22aF 1F 2 方程为双曲线2aF 1F 2 无轨迹2aF 1F 2 以F 1,F 2的一个端点的一条射线N 的轨迹是椭圆 acos ,asin N x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 双 曲 线 标 准 方 程 ： xa22y1 a, b b 20, y2a 22x1a,b b 20.一 般 方 程 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax 2Cy 21 AC0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ i. 焦点在 x 轴上：顶点： a,0, a,0焦点：c,0, c,0准线方程 xa 2xy渐近线方程：0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2220abcaba 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii. 焦点在 y 轴上：顶点： 0,a, 0, a .焦点：0, c, 0,c) . 准线方程： y.渐近线c