2022年高中数学求轨迹方程的六种常用技法.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一,也是近几年来高考中的常见题型之一.同学解这类问题时,不善于揭示问题的内部规律及学问之间的相互联系,动辄就是排列一大堆的坐标关系,进行无目的大运动量运算,致使不少同学丢失信心,半途而废,因此,在平常教学中,总结和归纳探求轨迹方程的常用技法,对提高同学的解题才能、优化同学的解题思路很有帮忙.本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法.1直接法依据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满意的等量关系式,从而求得轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知线段AB6 ,直线AM , BM相交于 M ,且它们的斜率之积是49,求点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹方程.解：以 AB 所在直线为x 轴, AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系,就A3,0, B 3,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 M 的坐标为 x,y) ,就直线 AM 的斜率k AMy x x33 ,直线 BM 的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率 kAMyx3 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知有yy4 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x39x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简,整理得点M 的轨迹方程为941x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1平面内动点P 到点F 10,0的距离与到直线x4 的距离之比为2,就点 P 的轨迹方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程是.2设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆x22y24 交于 A 、 B 两点,P 是 l 上满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPB1的点,求点P 的轨迹方程.3.到两相互垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A 直线B椭圆C抛物线D双曲线 2定义法通过图形的几何性质判定动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要娴熟把握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是娴熟把握平面几何的一些性质定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2如B 8,0, C 8,0为ABC 的两顶点,AC 和 AB 两边上的中线长之和是30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就ABC 的重心轨迹方程是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：设ABC 的重心为 G x, y ,就由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是30 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BGCG23020 ,而点3B 8,0, C 8,0为定点,所以点 G 的轨迹为以B, C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为焦点的椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以由 2a20, c8 可得 a10,ba2c26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故ABC 的重心轨迹方程是22xy100361y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：4方程2x1 2 y12| xy2| 表示的曲线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 椭圆B 双曲线C线段D抛物线3点差法圆 锥 曲 线 中 与 弦 的 中 点 有 关 的 问 题 可 用 点 差 法 , 其 基 本 方 法 是 把 弦 的 两 端 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1 , y1 , B x2 , y2 的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得x1x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2 , x1x2 , y1y2 等关系式,由于弦AB 的中点P x, y 的坐标满意2xx1x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122 yyy 且直线 AB 的斜率为y2y1 ,由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例3 椭圆xy1 中 , 过P 1,1的弦恰被P 点平分, 就该弦所在直线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_242 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设过点P1,1的直线交椭圆于Ax1, y1 、B x2 , y2 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1114222142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得x1x2 x1x2 y1y2 y1y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 P 1,1为线段 AB 的中点,故有x1x22, y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x1x2 2 y1y2 20y1y21 ,即1k AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42x1x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求直线方程为y1练习：1 x21) 化简可得 x2y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5已知以P2, 2 为圆心的圆与椭圆x22 y2m 交于 A 、B 两点,求弦 AB 的中点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6已知双曲线y2x21,过点2P1,1能否作一条直线l 与双曲线交于A, B 两点,使 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为线段 AB 的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,另一个是次动的.当题目中的条件同时具有以下特点时,一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点P 在已知方程的曲线上移动.另一个动点M 随 P 的变化而变化.在变化过程中P 和 M 满意肯定的规律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知 P 是以x2F1 , F2 为焦点的双曲线y1 上的动点,求F1F2P 的重心 G的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2169轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ：设 重心G x,y ,点Px0 , y0 ,由于F14,0, F2 4,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x44x0就有3, 故x00000yyy33xx 2y 20代入013 y169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得所求轨迹方程9 x216y21 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5抛物线x24 y 的焦点为 F , 过点 0,1 作直线 l 交抛物线A 、B 两点 , 再以 AF 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BF 为邻边作平行四边形AFBR ,试求动点R 的轨迹方程.xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：（转移法） 设 Rx, y , F 0,1,平行四边形AFBR 的中心为P , ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 ykx1 ,代入抛物线方程,得x24 kx40 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Ax1, y1 , B x2 , y2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16k2x1x2 x1x24160| k |14kx1x24kx1 x24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x2 xx 22x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y212121 2444k22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x P 为 AB 的中点 .2x1x22k 2x4k2,消去 k 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y1y2 222k 21y4k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24 y3 ,由得,| x |4 ,故动点 R 的轨迹方程为x24 y3| x |4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：（点差法） 设 Rx, y , F 0,1,平行四边形AFBR 的中心为xy1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Ax1, y1 , B x2 , y2 ,就有P , 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 24 yx 24 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11由得 x1x2 x122x2 4 y1y2 x1x24kl2y11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 P 为 AB 的中点且直线l 过点 0,1 ,所以x1x2xy32x, kl代2xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入可得 x4,化简可得x2x4 y12y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点xy1在抛物线口内,可得x 2y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P , 22x212422x8 y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将式代入可得x2814x216| x |4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故动点 R 的轨迹方程为练习：x24 y3| x |4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7已知A1, 0, B 1, 4,在平面上动点Q 满意QA QB4 ,点 P 是点 Q 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 x4 的对称点,求动点P 的轨迹方程.5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系.在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中的参数进行争论.参数取值的变化使方程表示不同的曲线.参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同.参数取值的变化引起另外某些变量的取值范畴的变化等等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6过点M 2,0作直线 l 交双曲线x2y21于 A 、B 两点,已知 OPOAOB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.（ 2）是否存在这样的直线l ,使 OAPB 矩形？如存在,求出l 的方程.如不存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明理由.解：当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为ykx2k0,代入方程x2y21,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 2 x24k 2 x4k210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于直线 l 与双曲线有两个交点,所以1k 20 ,设Ax , y , Bx , y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 k 24k211122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x21 k2, x1 x2k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2k x12k x22k x1x2 4kk4k 21k 24k4k21k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P x, y ,由 OPOAOB得 x, y x1x2 , y1y2 4 k 24k2 ,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k 21k1k4 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1k2y4k1k 2所以 xk y,代入 y4 k可得1k 2yy1 x 2y,化简得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222xy4x0 即 x2y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 直 线 l 的 斜 率 不存 在 时, 易 求 得P4,0满 足 方程 ,故 所 求 轨迹 方 程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22y24 y0 ,其轨迹为双曲线. （也可考虑用点差法求解曲线方程）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）平行四边OPAB 为矩形的充要条件是OA OB0 即 x1x2y1 y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 不存在时,A 、 B 坐标分别为2,3 、 2,3 ,不满意式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 存在时,x xy yx xk x2k x21k 2 x x2k 2 xx4k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 21 21 2121 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 2 14k 2 2k24k 24k 2k 210 化简得0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k2k21k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此方程无实数解,故不存在直线l 使 OPAB 为矩形.练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8设椭圆方程为x 2y1 , 过点24M 0,1 的直线 l 交椭圆于点A 、 B , O 是坐标原点 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 满意 OP1 OA2OB , 点 N的坐标为 1 ,21 , 当 l2绕点 M旋转时 , 求:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 动点 P 的轨迹方程.2| NP | 的最小值与最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9设点 A 和 B 为抛物线y 24 px p0 上原点 O 以外的两个动点,且OAOB ,过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O 作 OMAB 于 M ,求点 M 的轨迹方程.6交轨法如动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程,也可以解方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -组先求出交点的参数方程,再化为一般方程.x 2y 2例 7已知 MN 是椭圆1 中垂直于长轴的动弦,A 、 B 是椭圆长轴的两个端a 2b 2点,求直线MA 和 NB 的交点 P 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1: 利用点的坐标作参数 令 M x1, y1 ,就N x1 ,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 Aa,0,B a,0. 设 AM 与 NB 的交点为P x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 A, M , P 共线,所以yy1由于 N , B, P 共线,所以yy1xax1axax1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2两式相乘得yy122,而x12y11即y12b 2 a 2x12 代入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2a2x 2a 2a 2b 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得x 21b2 ,即交点 P 的轨迹方程为x 2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2a 2a2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2: 利用角作参数 设 M a cos, b sin ,就N a cos,b sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以yb sin,yb sin两式相乘消去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaa cosaxaa cosax 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即可得所求的P 点的轨迹方程为1.a 2b 2练习：10两条直线axy10 和 xay10a1 的交点的轨迹方程是.总结归纳1要留意有的轨迹问题包含肯定隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范畴由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时肯定要留意它的“完备性”和“纯粹性”,即轨迹如是曲线的一部分,应对方程注明x 的取值范畴,或同时注明x, y 的取值范畴.2“轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系,求“轨迹”时第一要求出“轨迹方程”,然后再说明方程的轨迹图形,最终“补漏”和“去掉增多”的点,如轨迹有不同的情形,应分别争论,以保证它的完整性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -练习参考答案22 x2y111648可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：设 P 点的坐标为 x, y ,就由方程x22 y24 ,得 y4x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于直线 l 与椭圆交于两点A 、 B ,故2x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 A 、 B 两点的坐标分别为Ax,4x, B x,4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA0,4xy, PB0,4x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题知PAPB1即 0,4x2y 0,4x2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y24x21即 x22 y26 所以点 P 的轨迹方程为xy212x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23D 【解析】 在长方体63ABCDA1 B1C 1D1 中建立如下列图的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间直角坐标系,易知直线AD 与 D1C1 是异面垂直的两条直线,过直线AD 与 D1C1 平行的平面是面ABCD ,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面ABCD 内动点M x, y 满意到直线AD 与 D1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离相等,作MM 1MP 于 M 1 , MNCD 于 N ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NPD1C1于 P, 连 结 MP, 易 知 MN平 面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222C D D1C1,M P1 D ,C就有M1MM, P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| y |2x2a 其中 a 是异面直线AD 与 D1C1 间的距离 ,即有 yxa2 ,因此动点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 AM 的轨迹是双曲线,选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 解 设M x, y ,A x1 , y1, B x2 , y2 1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1x22x, y1y22y ,由 x22 y 21m , x 222 y 2m2A P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减并同除以 x1x2 得MBOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y21 x1x21 xxx2 yy2 y,而 ky1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212ABx1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k PMy2 ,又由于 PMAB 所以x2kABkPM1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 xy2 yx21 化简得点 M 的轨迹方程xy 22x4 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6先用点差法求出2 xy10 ,但此时直线与双曲线并无交点,所以这样的直线不存在.中点弦问题,留意双曲线与椭圆的不同之处,椭圆不须对判别式进行检验,而双曲线必需进行检验.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7解：设Q x, y ,就 QA1x,y, QB1x,4y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 QA QB41x,y1x,4y41x1xy4y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x2 y2 232可编辑资料 -