2022年高中数学椭圆的知识总结.docx

精品_精品资料_一、挑选题109 ·浙江 已知椭圆高中数学椭圆学问总结22xya2b2 1 a>b>0 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 BF x 轴,直线 AB交 y 轴于点 P,如 AP2PB,就椭圆的离心率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 2 答案 DB. 2C. 13D. 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 由题意知： F c, 0 , A a, 0 APa BFx 轴,又 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cPB .APPB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ac1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 c 2, ea . 应选 D.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 P是以 F1、F2 为焦点的椭圆 a2 b2 1 a>b>0 上一点, 如PF1· PF2 0,tan PF1F21 2,就椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A. 2 B.23 C.153 D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 D 解析 由PF1·PF2 0 知 F1PF2 为直角,1设| PF1| x,由 tan PF1F2 2知, | PF2| 2x,3 a2x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由| PF1|c| PF2| 52 | F1F2|2得 c52 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ea 3 .223 文 北京西城区 已知圆 x 2 y 36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N2,0,线段 AN的垂直平分线交 MA于点 P,就动点 P 的轨迹是A圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN的垂直平分线上,故 | PA| | PN| ,又 AM是圆的半径,|PM| | PN| | PM| | PA| | AM| 6>| MN| ,由椭圆定义知, P的轨迹是椭圆x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 理 浙江台州 已知点 M3 ,0 ,椭圆就 ABM的周长为24 1 与直线 y k x3 交于点 A、B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A 4B 8C 12D 16 答案 By4 解析 直线 y k x3 过定点 N 3, 0 ,而 M、N 恰为椭圆 x 点,由椭圆定义知 ABM的周长为 4a4×2 8.2 1 的两个焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知椭圆a2 b2 1 a>b>0 与双曲线 m2 n2 1 m>0, n>0 有相同的焦点 c, 0 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c, 0 c>0 如 c 是 a、m的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差中项, 就椭圆的离心率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3211A. 3B. 2C. 4D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 Dc2 am1222 解析 由题意得 2n 2m c2c,由 23可得 m 2,代入 1 得椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cmn222c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率 e . 应选 D.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 文 椭圆x2y2 1 的焦点为 F1、F2,椭圆上的点 P满意 F1PF260°,就 F1PF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064的面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_643A. 3B.9133C.163643D. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 答案 A 解析 由余弦定理： | PF1| | PF2| 2| PF1| ·|PF2| ·cos60° | F1F2| .256又| PF1| | PF2| 20,代入化简得 | PF1| ·|PF2| 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 S F1PF2 2| PF1| ·|PF2| ·sin60 °6433.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 已知 F 是椭圆25 9 1 的一个焦点, AB为过其中心的一条弦,就ABF的面积最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大值为A 6B 15C 20D12 答案 D11 解析 S 2| OF| ·|y1 y2| 2| OF| ·2b 12.xy22226. 2 010·山东济南 设 F1、F2 分别为椭圆 a2 b2 1 的左、右焦点, ca b ,如直a2线 x c 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂线过点F2,就椭圆离心率的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. 0, 2B. 31 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,C.2 ,1D. 0,323 答案 Ba2 解析 直线 x c 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂线过 F2,|F1F2| | PF2| ,设直线a2a2x c 与 x 轴交于 Q点,就易知 | PF2| |QF2| ,即 | F1F2| |QF2| ,2c c c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ca2b2c2a2e21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_>0,3 ,即33 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ e 3 , 3 e<1.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 如图 F1、F2 分别是椭圆a2 b21 a>b>0 的两个焦点, A和 B 是以 O为圆心,以 | OF1|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,就椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A. 2 答案 解析 1B. 22C. 2D.3 1D连结 AF1,由圆的性质知,F1AF290°,又 F2AB是等边三角形, AF2F130°, AF1 c,AF23c, e a 2a cc2c2c3c3 1. 应选 D.于另一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点8 文 辽宁沈阳 过椭圆 C： a2 b2 1 a>b>0 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆11x2y2CF,如 <k< ,就椭圆离心率的取值范畴32是A.144, 9B.23, 112C. 2, 3 答案 1D. 0, 2C 解析 点 B 的横坐标是 c,故 B的坐标b2c,± ab22,已知 k13,12, B c,.ba斜率 k c a ac a2 aca2 e 1 .ab2a2 c21 e2由 <k< ,解得 <e< .11123223 理 椭圆有如下的光学性质： 从椭圆的一个焦点动身的光线经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、 B是它的两个焦点,其长轴长为2a, 焦距为 2c a>c>0 静放在点 A 的小球 小球的半径不计射后第一次回到点A 2 a cC 4aA时,小球经过的路程是 ,从点 A沿直线动身,经椭圆壁反B 2 a cD以上答案均有可能 答案 D 解析 如下列图,此题应分三种情形争论：当光线沿着 x 轴负方向从点A 动身, 经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 2 ac .当光线沿着x 轴正方向从点A 动身,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是2 a c .在其它情形下,从点A 沿直线动身,经椭圆壁反射后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是4a. 应选 D.229. 杭州五校 椭圆 x my 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,就m的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 14 答案 A 解析 由题意1 m4. 应选 A.B. 122y21 x 1,且mC 2D 41m 2,x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 宁波余姚 假如 AB是椭圆 a2 b2 1 的任意一条与x 轴不垂直的弦, O为椭圆的中心, e 为椭圆的离心率, M为 AB的中点,就 kAB· kOM的值为22A e1 B 1 e C e 1 D 1 e 答案 C 解析 设 A x1,y1 , B x2, y2 ,中点 M x0, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy22221122 x1 x2 x1x2 y2 y1 y2 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点差法, a2 b2 1, 2 b2 1,作差得a2b2, kAB· kOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ay2222 y1y1 y2 bc a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_· x2x1x1 x2a2 a2e1. 应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题11 文 已知 F1、F2 为椭圆x2y2a2b2 1 a>b>0 的焦点, M为椭圆上一点, MF1 垂直于 x 轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 F1MF260°,就椭圆的离心率为 答案 33c2y2 解析 令 x c, a2b2 1.b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y±a. |F1M| a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 F1MF260°,2b|MF2| 2| MF1| a .3b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又| MF1| | MF2| 2a,a 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 3c . e 3, 0<e<1, e 3 .x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理08 ·江苏 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆 a2 b2 1 a>b>0 的焦距为 2c. 以点 Oa2为圆心, a 为半径作圆M. 如过点 P c ,0 作圆 M的两条切线相互垂直,就该椭圆的离心率为 答案 22 解析 设切点为 Q、B,如下列图切线QP、PB相互垂直,又半径 OQ垂直于 QP,所以 OPQ为等腰直角三角形,可得2 a a2c ,c2 ea 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x212. 在平面直角坐标系xOy中,已知 ABC的顶点 A 4,0 和 C4,0,顶点 B 在椭圆 252ysin A sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 9 1 上,就 答案 5 4sin B.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 25 9 1 的焦点是 A 4,0 、C4,0,点 B在椭圆上, BABC 2a10,sin Asin CBC AB5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AC8,由正弦定理得sin B AC 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 设椭圆25 16 1 上一点 P 到右准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,如点M满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足 1 ,就 | | .OM OP OFOM2 答案 3 解析 设右焦点 F,由定义 | PF| | PF| 10,| PF|310 e 5,|PF| 6, OM1 OP OF ,2 M为 PF的中点,| | 1 PF| 3.OM| 2x2y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 如右顶点为 A 的椭圆离心率的范畴是2a2 b2 1 a>b>0 上存在点 P x,y ,使得 OP·PA 0,就椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 2 <e<122 解析 在椭圆 xy1 上存在点 P,使OP· PA 0,即以 OA为直径的圆与椭圆有异于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A的公共点a2a2222 22 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 OA为直径的圆的方程为x ax y 0 与椭圆方程 b x a y a b a2 b2 x2a3x a2b2 0,联立消去 y 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222222将 a b c 代入化为 x a c x ab 0,ababa c x a, x c2 ,由题设 c2 <a, c2<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 e>22 , 0<e<1,22 <e<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题15 文 点 A、B分别是椭圆x2y236 201 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在椭圆上,且位于x 轴的上方, PA PF.(1) 求点 P 的坐标.(2) 设 M是椭圆长轴AB上的点, M到直线 AP的距离等于 | MB| ,求椭圆上的点到点M的距离 d 的最小值 解析 1 由已知可得点A 6,0 、F4,0,设点 P 的坐标为 x, y ,就AP x 6, y , FP x4, y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得3620 1,2 x6 x 4 y 023可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 y 得, 2x 9x 180, x2或 x 6.35由于 y>0,只能 x 2,于是 y 23.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P的坐标是35,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 直线 AP的方程是 x3y 6 0,设点 M的坐标为 m,0 ,就 M到直线 AP的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| m 6|2,于是| m 6|2| m 6| ,又 6 m6,解得 m 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设椭圆上的点 x, y 到点 M的距离为 d22249 2 d x 2 y 9 x 2 15,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6 x6,当 x时, d 取最小值15. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 已知椭圆 C的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上,椭圆 C上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.(1) 求椭圆 C的标准方程.(2) 如直线 l ：y kx m与椭圆 C相交于 A、B两点 A、B 不是左右顶点 ,且以 AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 1 设椭圆的方程为a2 b2 1 a>b>0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得： a c 3, ac 1,222 a 2, c 1, b a c 3.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的标准方程为4 3 1.y kx m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 A x1, y1 , B x2, y2 ,由 x2y2得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2224 3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 4k x 8mkx 4 m 3 0,2 222 64mk 163 4k m 3>022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 34k m>08mkx1 x2 3 4k2, x1·x2又 y1y2 kx1 m kx2m4 m 323 4k2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22223 m 4k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k x1x2 mk x1 x2 m3 4k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点D2,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ kADkBD 1,即xy1 1 2·y2 x2 2 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 m4k 4 m316mk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 4k2234k2 3 4k2 4 0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7m 16mk 4k 0.2k22解得 m1 2k, m2 7 ,且均满意 34k m>0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m1 2k 时, l 的方程为 y k x2 ,直线过定点 2,0,与已知冲突.72k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m227 时, l 的方程为 y k x 7 ,直线过定点, 0 . 所以,直线l 过定点,定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点坐标为, 0 .7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 文 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为3,求该椭圆的方程x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 如椭圆的焦点在x 轴上,就设方程为a2b2 1 a>b>0 ,两焦点F1 c, 0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22F2 c, 0 ,短轴的一个端点为B0 , b ,长轴的一个端点为A a, 0 ca b 由 BF1F2 为正三角形知, | BF1| | BF2| | F1F2| ,所以 a2c.又焦点到椭圆上的点的最短距离为a c3.a2c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由ac3.x2解得 a23, c3, b 3.y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆方程为 1.912y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,如椭圆的焦点在y 轴上,椭圆方程为 点评 1 上述求解中,利用了结论：12 9 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222焦点到椭圆上的点的最短距离为ac. 这是由于设 P x,y 是椭圆上任一点,就x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222b2ca2ca22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, a ,所以 | PF2| xc y x c b a2x a2 c x a2 c a a c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即| PF2| a c,于是 | PF2| min a c.2 此结论仍可以用焦半径证明如下：椭圆焦点 F,椭圆上任一点 P x0, y0 ,离心率 e,就 | PF| a± ex0 左焦点取“”号, 右焦点取“”号 a x0 a, a c|PF| a c.仍可以用椭圆的参数方程证明从略 理 已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为 B0 , 1 ,且其右焦点到直线 x y 22 0 的距离为 3.(1) 求椭圆方程.3(2) 是否存在斜率为 k k0 ,且过定点Q0 ,2 的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不同的点 M、N,且 | BM| | BN| ？如存在,求出直线l 的方程.如不存在,请说明理由.x2y2 解析 1 设椭圆方程为 a2 b2 1 a>b>0 ,就 b 1.| c 0 22|令右焦点 F c, 0 c>0 ,就由条件得3,2222得 c2. 那么 a b c 3,2x2椭圆方程为 3 y 1.23x22 假设存在直线l ： ykx 2 k0 ,与椭圆 3 y 1 联立,消去 y 得22151 3k x 9kx 4 0,221525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 9 k 41 3k ·>0,得 k >412.设 M x1,y1 , N x2, y2 , MN的中点 P x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y12225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 ,由| BM| | BN| ,就有 BP MN,由韦达定理代入 kBPk,可求得 k . 满意条件 k >,312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求直线存在,其方程为y±633x . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17 文 已知椭圆 C：a2 b2 1 a>b>0 的离心率为离为 3.(1) 求椭圆 C的方程.3 ,短轴的一个端点到右焦点的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,求(2) 设直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点, 坐标原点 O到直线 l 的距离为32AOB面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最大值 解析 1 设椭圆的半焦距为c,c63依题意a,a32x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c2, b1,所求椭圆方程为2 设 A x1, y1 , B x2, y2 ,当 AB x 轴时, | AB| 3,3 y 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB与 x 轴不垂直时,设直线AB的方程为 y kx m.| m|3232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知1 k22 ,得 m k 1 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 ykx m代入椭圆方程,整理得2223 k 1 x 6kmx 3m 3 0.2 6km3 m 1 x1 x23k2, x1x2 k2. 13 1222 k0,|AB| 1 k x2 x12 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1 k 36k m3 k2 1 212 m 123k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 k 13 k 1 m3 k2 1 212k23 k1219 k 1 3 k 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 39k4 6k2 1 39k213 2×3 6 4.k2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_213当且仅当 9k k2即 k± 3 时等号成立当 k0 时, | AB| 3 ,综上所述 | AB| max 2.当 | AB| 最大时, AOB面积取最大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1S 2×|AB| max×332 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 如图,在椭圆C中,点 F1 是左焦点, A a, 0 , B0 ,b 分别为右顶点和上顶点,点O为椭圆的中心又点P 在椭圆上,且 OP AB,点 H是点 P 在 x 轴上的射影(1) 求证：当 a 取定值时,点 H必为定点.(2) 假如点 H落在左顶点与左焦点之间, 试求椭圆的离心率的取值范围.(3) 假如以 OP为直径的圆与直线AB相切, 且凸四边形 ABPH的面积等于 32,求椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方程bbx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 解析 1 证明：由 kAB a,OP AB得, l OP：y ax,代入椭圆方程a22 ,a2 b2 1 得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P 22 a,22 b 或 P222a,22 b .2可编辑资料 - - - 欢迎下载