2022年高中数学经典解题技巧和方法三角函数的图象与性质.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学经典解题技巧：三角函数的图象与性质【编者按】 三角函数是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无论是期中、期末仍是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一.因此,马博士训练网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了详细的解题技巧和方法,期望能够帮忙到高中的同学们,让同学们有更多、 更好、更快的方法解决数学问题.好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下三角函数的图象与性质的经典解题技巧.第一,解答三角函数这方面的问题时,先要搞清晰以下几个方面的基本概念性问题,同学们应当先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1懂得任意角、弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.2懂得任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、 余弦、正切的诱导公式, 能画出 y=sinx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=cosx , y=tanx 的图象,明白三角函数的周期性.4懂得正弦函数、余弦函数在区间0 , 2 的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x 轴的交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点等）,懂得正切函数在区间, 的单调性.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5懂得同角三角函数的基本关系式： sin2 x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.6明白函数y=Asin x+ 的图象,明白参数A,对函数图象变化的影响.7明白三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简洁实际问题.好了,搞清晰三角函数的上述内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的详细的解题技巧.一、三角函数的概念、同角诱导公式的简洁应用考情聚焦： 1 三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简洁应用,在近几年高考中经常显现.2 该类问题出题背景挑选面广,易形成学问交汇题.3 多以挑选题、填空题的形式显现,属于中、低档题.解题技巧： 1 三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,假如已知角终边上的点,就利用三角函数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值.2 同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应留意正确挑选公式、留意公式应用的条件.例 1：（2022 届·日照五莲一中高三段检） 如图,以Ox 为始边作角与（0） ,它们终可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -34边分别与单位圆相交于点P、 Q,已知点P 的坐标为（5 , 5 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求sin 21cos 2 tan1的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 OP · OQ0 ,求sincos .3sin4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）由三角函数定义得5 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式2 sincos 1sin cos2 cos 22 cossinsin coscoscos2 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31822 ·（5 ）= 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） OP · OQ0 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ,sinsin24cos35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos sincos2sinsincos5cossin44553 375525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数y=Asin x+ 的解析式、图象问题考情聚焦： 1 三角函数y=Asin x+ 的图象与解析式的问题,年看都会在高考中显现. 2试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满意的一些条件下,求解析式或另处一些量.多数考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换.3 三种题型都有可能显现,属于中、低档题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解题技巧： 1 已知图象求函数y=Asin x+ （ A 0, 0）的解析式时,常用的方法是待定系数法. 由图中的最大、最小值求出A,由周期确定,由适合解析式的点的坐标来确定的值.2 将点的坐标代入解析式时,要留意挑选的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点” （即图象上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_升时与 x 轴的交点）为x002k,其他依次类推即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2： 已知 a 是实数,就函数f x1a sin ax 的图象不可能是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】选D. 对于振幅大于1 时,三角函数的周期为T它的振幅大于1,但周期反而大于了2 三、与三角函数的性质有关的问题2,Q a a1,T2,而 D 不符合要求,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考情聚焦： 1 有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查,是高考考查的重点内容.2 试题背景出现多样性、挑选面广,往往与三角恒等变换、图象性质、平面对量等交汇命题.3三种题型都有可能显现,属中、低档题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3： 已知函数f x2sin 2 x23 sinxcos x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 f x 的最小正周期及对称中心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x, ,求 63f x的最大值和最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】f x3 sin 2 xcos 2x2sin2 x 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x的最小正周期为T2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 sin2 x0 ,就 x6k212kZ ,f x的对称中心为 k212,0,kZ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x,2 x51sin2x1 1f x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6366626可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x时, f6x的最小值为1 .当 x时, f6x的最大值为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4（ 2022 ·陕西高考理科·3） 对于函数f x2sinx cos x ,以下选项中正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A）f x 在（,）上是递增的（ B）42f x 的图像关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ C）f x的最小正周期为2（ D）f x 的最大值为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【命题立意】此题考查倍角公式、三角函数的基本性质,属保分题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【思路点拨】f x2sinx cos xf xsin 2 xf x是奇函数B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】选B 由于f x2sinx cos xsin 2 x ,所以f x 是奇函数,因而f x 的图像关于原点对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称,应选B例 5（ 2022 ·全国卷理科·2） 记 cos80 k , 那么 tan100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k2A.kB. -1k2C.kk1k2D. -k1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数学问,着重考查了三角变换中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦切互化 .【思路点拨】由sin 2cos 21 及 cos80 k 求出sin 80 0 ,再利用公式tansin cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出 tan100 0 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】选B. 【解析 1】 sin80 o1cos2 80o1cos2 80o1k 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tan100tan80 osin 80ocos80 o1k 2.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析 2】 cos80 kcos80 k ,2sin100 0sin180 0800sin 80 o1con100 ocon1800800con80oktan100k.例 6（ 2022·重庆高考文科·5） 如题（ 15）图,图中的实线是由三段圆弧 连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P（点 P 不在 C 上） 且半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_径 相 等 . 设第i段 弧 所 对 的 圆 心 角 为ai（ i=1,2,3）, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1cosa2a3cossina1 sin a2a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3333【命题立意】本小题考查圆的性质等基础学问,考查三角函数的基础学问,考查运算求解才能,考查数形结合的思想方法,考查化归与转化的思想.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【思路点拨】第i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角,再依据三个圆心确定的正三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形求解 .【规范解答】12作三段圆弧的连心线,连结一段弧的两个端点,如图所示 , O1O2 O3 是正三角形,点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 是其中心,依据圆的有关性质可知42AO1B,第 i段弧所对的圆心角为3ai 都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,3所以 cos1 cos23sin1 sin23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3333cos123 cos123cos 4133332【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7（ 2022·福建高考文科·0）将函数f xsinx 的图像向左平移个单位.如所得图象2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与原图象重合,就的值不可能等于（）A.4B.6C.8D.12【命题立意】此题考查三角函数的图像平移,解三角方程.【思路点拨】先进行平移后,再比较与原函数的差异,解三角方程,或采纳代入法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】选B,把向左平移个单位得ysinx22sinx,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该函数图像与原函数图像重合,所以sinxsinx 2恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k,4kkZ,所以 k 不行能为6.2【方法技巧】留意应把sinx变为 sinx而非 sinx.图像的变换问题,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减,上加下减”即可解决.一般的,函数ysinx 的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象,可以看作把曲线ysinx 上全部点向左 当 0 时 或向右 当 0 时 平行移动个单位长度而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8（ 2022 ·广东高考文科·16） 设函数fx3sinx,0 , x,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且以为最小正周期2（ 1）求 f0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）求 fx 的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）已知f9 ,求 sin的值4125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【命题立意】此题考察三角函数的性质以及三角变换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【思路点拨】 （ 2）由已知条件求出,从而求出f x的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）由9f cos34sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_412555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】 （ 1）f 03sin063sin3 .62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）QT2,4 ,所以2f x的解析式为：f x3sin4 x.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）由f 9得3sin49 ,即sin3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41254126525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos3 ,sin1cos21 3 24 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【方法技巧】三角函数的性质问题,往往都要先化成f xA sinx 的形式再求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9（ 2022 ·湖北高考文科·16） 已经函数cos2 xsin 2 x11f x, g xsin 2 x. 224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数f x的图象可由函数g x 的图象经过怎样的变化得出？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求函数h xf xg x 的最小值,并求使hx取得最小值的x 的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【命题立意】此题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值,同时考查考生的运算求解才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【思路点拨】 先将函数解析式等价变形为yA sinxb 的形式,再与g x 的表达式对比,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）将函数h x变形为yA sinxb 或yA cosxb 的形式再利用正、余弦函数的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象和性质求出最值.【规范解答】 f x11cos 2 xsin2 x）1sin 2 x ,所以要得到f x的图象只需把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x的图象向左平移个单位长度,再将所得的图象向上平移144个单位长度即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）hxf xg x1 cos2x1 sin 2x12 cos2 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 且 仅 当 2 x2k 4kz 时h x取 得 最 小 值1224, 此 时 对 应 的 x的 集 合 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xk3, kz.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 方 法 技 巧 】 1 、 三 角 函 数 中 的 图 象 变 换 问 题 一 般 要 先 将 表 达 式 化 简 到yA sinxb 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA cosxb 的形式 （两函数所用三角函数要同名）,然后再通过比较两函数的振幅、周期、 相位等写出变化过程.2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二倍角公式等化到yA sinxb 或yA cosxb 的形式,然后结合三角函数的图像和性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载