2022年高中数学选修-第三章+空间向量与立体几何+测试题 .docx
精品_精品资料_高中数学选修2-1 第三章 +空间向量与立体几何 +测试题 时间： 120 分钟,总分值： 150 分一、挑选题 本大题共 12 小题,每题 5 分,总分值 60 分在每题给出的四个选项中,有且只有哪一项符合题目要求的 1 向量 a 2x,1,3, b 1, 2y,9,假设 a 与 b 共线,就 A x 1, y1B x 1, y 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cx13, y 622D x212,y63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由 a b 知, a b, 2x , 1 2y3, 9, 11 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案C3, x 6, y 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 a 3,2,5,b 1, x, 1,且 a·b 2,就 x 的值是 A 6B5C4D 3解析a·b 32x 5 2, x 5.答案B3. 设 l 1 的方向向量为 a 1,2, 2,l2 的方向向量为b 2,3,m,假设 l 1 l2,就实数 m 的值为 1A 3B2C1D.2解析 l1 l 2, ab, a·b0, 2 6 2m 0, m 2.答案B4. 假设 a, b 均为非零向量,就a·b |a|b |是 a 与 b 共线的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析 a·b |a|b|cosa, b,而 a·b |a|b|. cosa, b 1, a,b 0. a 与 b 共线反之,假设a 与 b 共线,也可能a·b |a| ·|b|,因此应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在 ABC 中, AB c, AC b.假设点 D 满意 BD 2DC ,就 AD 21522112A. 3b 3cB. 3c 3bC.3b 3cD.3b3c- 1 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析如图, AD AB BD2 AB 3BC2 AB 3AC AB12 3AB 3AC12 3c 3b.答案A6. 已知 a, b, c 是空间的一个基底,设p ab,q a b,就以下向量中可以与p, q 一起构成空间的另一个基底的是 A aBbCcD 以上都不对解析 a, b,c 不共面, a b, a b,c 不共面, p, q,c 可构成空间的一个基底答案C7已知 ABC 的三个顶点 A3,3,2 , B4, 3,7, C0,5,1 ,就 BC 边上的中线长为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7A 2B3C.64D.657可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析BC 的中点 D 的坐标为 2,1,4 , AD 1, 2,2 |AD |1 4 4 3.答案B8与向量 a 2,3,6 共线的单位向量是236236可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 7, 7,B, , 7777可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 2 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7236236236236可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7777777, 7, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析|a|22 32 62 7, 与 a17共线的单位向量是± 2,3,6 ,故应选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案D9已知向量 a 2,4, x, b 2, y,2,假设 |a| 6 且 a b,就 x y 为A 3 或 1B 3 或 1C 3D 1解析由|a| 6, ab,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 16 x2 36,得4 4y2x 0,x 4,解得y 3,x 4,或y 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x y1,或 3.答案A10已知 a x,2,0, b 3,2 x, x2,且 a 与 b 的夹角为钝角,就实数x 的取值范畴是 A x>4B x< 4C0<x<4D 4<x<0.解析 a, b为钝角, a·b |a|b|cosa, b<0,即 3x 22 x<0 , x< 4.答案B11已知空间四个点A1,1,1 ,B 4,0,2, C 3, 1,0,D1,0,4 ,就直线 AD 与平面 ABC 所成的角为 A 30°B 45°C60°D 90°解析设平面 ABC 的一个法向量为 n x, y, z, AB 5, 1,1, AC 4, 2, 1,由 n ·AB 0 及 n ·AC 0,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5xy z 0, 4x2y z 0,令 z 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1313得 x 2, y 2, n 2, 2, 1又AD 2, 1,3,设 AD 与平面 ABC 所成的角为 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|AD ·n |3 12 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 14 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|AD |n |14× 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 3 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 30°.答案A12. 已知二面角 l 的大小为 50°, P 为空间中任意一点,就过点P 且与平面 和平面 所成的角都是 25°的直线的条数为 A 2B3C 4D 5解析过点 P 分别作平面, 的垂线 l 1 和 l 2,就 l 1 与 l 2 所成的角为 130 °或 50°,问题转化为过点P与直线 l 1, l 2 成65°角的直线有几条,与l1 ,l 2 共面的有一条,不共面的有2 条因此,共有3 条答案B二、填空题本大题共 4 小题,每题5 分,总分值 20 分把答案填在题中横线上13. 已知 i, j, k 为单位正交基底,且a i j 3k,b 2i 3j 2k,就向量 ab 与向量 a 2b 的坐标分别是.解析依题意知, a 1,1,3 ,b 2, 3, 2,就 a b 1, 2,1,a 2b 1,1,3 22, 3, 2 5,7,7答案1, 2,1 5,7,714在 ABC 中,已知 AB 2,4,0 , BC 1,3,0,就 ABC. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析cosAB, BC AB·BC 10 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1022 ,|AB|BC|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB , BC答案3 4, 4ABC 34 . 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 正方体 ABCD A1B1C1D 1 中,面 ABD1 与面 B1BD 1 所夹角的大小为 解析- 4 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_建立空间直角坐标系D xyz,如图设正方体的棱长为1,就 A1,0,0 , B1,1,0 , B11,1,1 , D1 0,0,1 D1A 1,0, 1, D 1B 1,1, 1,D1B1 1,1,0 设平面 ABD 1 的法向量为 m x1, y1, z1,平面 B1BD 1 的法向量为 n x2, y2, z2,就由 m·D1A 0,m ·D1B 0,可得 m 1,0,1 ,由 n ·D 1B0, n ·D 1B1 0,得 n 1, 1,0, cosm, n m ·n 1.|m|n |2所求二平面的大小为60 °.答案60°16. 在以下命题中：假设a, b 共线,就 a,b 所在的直线平行.假设a, b 所在的直线是异面直线,就 a,b 肯定不共面.假设a,b,c 三向量两两共面,就a,b,c 三向量肯定也共面.已知三向量a, b, c,就空间任意一个向量p 总可以唯独表示为p xayb zc,其中不正确的命题为 解析 a, b 共线,包括 a 与 b 重合,所以 错 空间任意两个向量均共面,所以错 以空间向量的一组基底 a, b, c 为例,知它们两两共面,但它们三个不共面,所以错 当与 a, b, c 共面时,不成立,所以 错 答案三、解答题 本大题共 6 小题,总分值70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1710 分如图,空间四边形 OABC 中, E,F 分别为 OA,BC 的中点,- 5 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设OA a, OB b, OC c,试用 a, b, c 表示 EF.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 EF EOOF 1OA 1 OC 1a 11 c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22OB22b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1812 分设 a1 2i j k,a2i 3j 2k , a3 2ij 3k, a4 3i 2j 5k,试问是否存在实数a, b, c 使 a4 aa1 ba2 ca3 成立？假如存在,求出a, b, c 的值.假如不存在,请说明理由解假设 a4 aa1 ba2 ca3 成立由已知 a1 2, 1,1, a21,3, 2, a3 2,1, 3, a4 3,2,5 ,可得2a b2c, a3b c, a2b 3c 3,2,5 2a b2c 3, a 3bc 2, a 2b 3c 5,解得： a 2,b 1, c 3.故有 a4 2a1 a2 3a3.综上知,满意题意的实数存在, 且 a 2, b1, c 3.1912 分四棱柱 ABCD ABCD中,AB 5,AD 3,AA 7, BAD 60°, BAA DAA 45°,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 AC的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 AC AB BC CC AB AD AA, AC2 AB AD AA2 AB2 AD 2 AA 2 2AB·AD AB·AA AD ·AA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 259 49 25 ×3cos60°5 ×7cos45°3 ×7cos45 °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 98562.- 6 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |AC|98562,即 AC的长为98 562.2012 分如下图, PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面, AB 2, PC 与平面 ABCD 所成角是 45°,F 是 AD 的中点, M 是 PC的中点求证： DM 平面 PFB.证明以 D 为原点建立如下图的空间直角坐标系,由PC 与平面 ABCD 所成的角为 45 °,即 PCD 45 °,得 PD 2,就 P0,0,2 , C0,2,0 , B2,2,0, F1,0,0 , D0,0,0 , M 0,1,1 , FB 1,2,0 , FP 1,0,2, DM 0,1,1 设平面 PFB 的法向量为 nx,y, z,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FB ·n 0,FP ·n 0,x 2y 0,即 x 2z 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y1,就 x 2, z 1.故平面 PFB 的一个法向量为 n 2,1, 1 DM ·n 0, DM n.又 DM . 平面 PFB,就 DM 平面 PFB.21 12 分如图,正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中, AA 1 2AB 4,点 E 在 C1 C 上,且 C1E 3EC. 1证明 A1C平面 BED .2求二面角 A1 DE B 的余弦值- 7 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 以 D 为坐标原点,射线DA 为 x 轴的正半轴,建立如下图的空间直角坐标系D xyz.依题设 B2,2,0 , C0,2,0 , E0,2,1 ,A12,0,4 DE 0,2,1 ,DB 2,2,0 ,A1C 2,2, 4 ,DA 12,0,4 1 A1C·DB 0, A1C·DE 0, A1C BD , A1 C DE.又 DB DE D, A1C 平面 DBE .2设向量 n x,y,z是平面 DA 1E 的法向量, 就 n DE 、n DA 1. 2y z0,2x 4z 0.令 y1,就 z 2, x 4, n4,1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cosn, A1Cn·A1C 1442 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|n |A1C| n, A1C等于二面角 A1 DE B 的平面角,42 二面角 A1 DE B 的余弦值为14.2212 分正方体 ABCD A1B1 C1D1 中, E,F 分别是 BB 1,CD 的中点- 8 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 证明：平面 AED 平面 A1FD 1.(2) 在 AE 上求一点 M,使得 A1M平面 DAE.解1 证明： 建立如下图的空间直角坐标系D xyz,不妨设正方体的棱长为2,就 A2,0,0 ,E2,2,1 , F0,1,0 , A12,0,2 , D10,0,2 设平面 AED 的法向量为 n1 x1, y1, z1,就n 1·DA x 1,y1,z1· 2, 0, 0 0,n 1·DE x 1,y1,z1· 2, 2, 1 0.2x1 0,2x1 2y1 z1 0.令 y1 1,得 n1 0,1, 2同理可得平面A1FD 1 的法向量 n 2 0,2,1 n 1·n 2 0, 平面 AED 平面 A1FD 1. 2由于点 M 在 AE 上, 可设AM AE 0,2,1 0,2, ,可得 M 2,2, ,于是 A1M 0,2, 2 要使 A1M 平面 DAE ,需 A1MAE , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A1M ·AE 0,2, 22·0,2,1 5 20,得 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 AM 2AE 时,即点 M 坐标为 2,4, 2时, A1M平面 DAE .555- 9 -可编辑资料 - - - 欢迎下载
