2022年高二数学必修数列求通项求和知识点+方法+练习题总结.docx
精品_精品资料_数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1) 观看法：找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 利用前 n 项和与通项的关系anS1Sn Sn 1n 1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 公式法：利用等差 比 数列求通项公式.(4) 累加法：如 an1 an f n , 累积法,如5 转化法： an 1 Aan B A0,且 A1 2、求和常用的方法：(1) 公式法：an 1 f n .an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Snna12an na1nn21 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sna1 11qn q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差,即,然后累加时抵消中间的很多项.应把握以下常见的裂项：111n n1nn111 11n nk knnk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 111 11;1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2k 212 k1k1kk1k1) kk 2 k1kk1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 11n n1n22 nn1n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n1212n2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1nnn1(3) 错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法 这也是等比数列前n 项和公式的推导方法 .(4) 倒序相加法：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和 这是等差数列前 n 项和公式的推导方法 .(5) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点 1：求数列的通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 1an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：把原递推公式转化为an 1anf n ,利用累加法 逐差相加法 求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】已知数列an满意 a11,an 12ann 21,求nan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知：an 1an1n 2n1nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分别令n1,2,3,n1,代入上式得n1个等式累加之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a1a3a2 a4a3 anan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11111 122334所以 aa1111n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1na111131a1,n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 2an 1f nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：把原递推公式转化为an 1anf n ,利用累乘法 逐商相乘法 求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】已知数列an满意 a12,an 13na ,求nn1an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知an 1ann,分别令 n n11,2,3, n1 ,代入上式得n1 个等式累乘之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a3a4an123n1an122a又a1,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2a3an 1234na1n33n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 3an 1panq 其中 p, q 均为常数,且pq p10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 待定系数法 ：转化为：an 1tpant ,其中 tq,再利用换元法转化为等比数列求解.1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】已知数列an中, a11 , an 12an3 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： 设 递 推 公 式an 12 an3 可 以 转 化 为an 1t2ant 即an 12antt3 . 故 递 推 公 式 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a32 a3 , 令 ba3 ,就 ba 34 , 且bn 1an 132 . 所以b 是以 b4 为首项, 2 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1nnn11n11bnan3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公比的等比数列,就bn42 n12 n, 所以 an2 n 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 4an 1panq n 其中 p, q 均为常数,且pq p1 q10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 an 1panrq n , 其中 p, q, r均为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1an 1pan1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：一般的,要先在原递推公式两边同除以q,得：qn 1qq n引入帮助数列qbn 其中 bnn ,q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： bn 1p 1 再待定系数法解决.bnq q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】已知数列an中, a15 , an1611 n 1an,求32an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在an 111 nan 321两边乘以2n 1 得： 2 n 1an 12 2 n3an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n令 b2 n2ban ,就 bn 1n31 , 解之得： bn32 2 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 anbn1 nn3221 n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 5递推公式为Sn 与 an 的关系式. 或 SnS1f an n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：这种类型一般利用an与 anSnSn 1f an f an1 消去 Snn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或与 Snf SnSn 1 n2 消去an 进行求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】已知数列an前 n 项和 Sn4an1.2 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 an1 与 an 的关系. 2求通项公式an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 由 Sn4an12n 2 得：Sn 14an 112 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 Sn 1所以 aSnanaaan 1 11 2n 2a1 2 n 111na.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1nn 12n 1n 1n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 应用题型 4an 1panqn ,其中 p, q 均为常数,且pq p1 q10 的方法,上式两边同乘以2n 1 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a22 a2n 1nnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a1S14a1121 2a11. 于 是 数 列2n an是 以2为 首 项 , 2为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 n a22n12nann2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 6an 1pa r p0, an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an 1panq ,再利用待定系数法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】已知数列 an 中, a11, an 112 aana0 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由an 11a 2 两边取对数得nalg an 12 lg anlg 1 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 bnlg an ,就bn 12bnlg 1a,再利用待定系数法解得：1ana a 2n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 2：数列求和 题型 1公式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 7】已知an 是公差为 3 的等差数列,数列bn 满意 b11, b21, anbn 13bn 1nbn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求(2) 求an 的通项公式.bn 的前 n 项和 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 依题 a1b2+b2=b1, b1=1, b2=3,解得 a1=2 2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式为an=2+3 n-1=3 n-16 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由 知 3nbn+1=nbn, bn= 1 bn,所以 bn 是公比为 1 的等比数列 9 分+13331 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 bn 的前 n 项和 Sn=1 311n 1 12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 2裂项求和12233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 8】Sn 为数列 an 的前 n项和 . 已知2an 0, an2an4Sn3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设 bn1anan错误；未找到引用源., 求数列 bn 的前 n 项和.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1an = 2n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 1 知,b =11 11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n12n322n12n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 bn 前 n 项和为bbb = 1 1111 11 = 11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n235572n12n364n6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 题型 3错位相减求和【例 9】已知数列 an 和 bn 满意, a11112,b1*1,an 1*2an nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1b2b3 23bnbn 1n1nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 an 与 bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 记数列 anbn 的前 n 项和为Tn ,求Tn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1 由 a12,an 12an ,得 an2n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n1 时, b1b21,故b22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时,1 bbb,整理得bn 1n1,所以bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1nnnbnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 由1 知,anbnn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 Tn22 223 23n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Tn222 233 24n1 2nn 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 T2TT222232nn2n 11n2 n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn 1所以 Tnn122 . 题型 4分组求和【例 10】已知 an 是等差数列,满意a1 3, a4 12,数列 bn 满意 b1 4, b420,且 bn an 为等比数列(1) 求数列 an 和 bn 的通项公式.(2) 求数列 bn 的前 n 项和解： 1 设等差数列 an 的公差为 d,由题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a4a1d 312 333.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 an a1 n 1 d 3n n 1, 2, 设等比数列 bnan 的公比为 q,由题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3b4 a4q b1 a120 124 38,解得 q 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 bn an b1 a1 qn 1 2n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 bn 3n 2n 1 n 1,2, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 由1 知 b 3n 2n1 n 1, 2, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n 1n1 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 3 n 的前 n 项和为n n 1 ,数列 223n 的前 n 项和为 1×1 2 2 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,数列 bn 的前 n 项和为 2n n 1 2 1.三、知能运用训练题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、1 已知数列an中, a12, anan 12n1n2 ,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知Sn 为数列an的前 n 项和, a11 , Snn2a,求数列an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【解】 1a12, anan 12n1n2 ,anan 12 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ananan 1an 1an 2 an 2an 3a 2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n1 2n32 n5531n2n11n 2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a11, Snn 2a,当 n2 时, Sn 1n12an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anSnSn 1n2 a n1 2 aan1an 1n1 .n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnaanan 1an 1an 2an 2an 3a3a2a1a2a1n1n2n3n1nn121 1432.nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知数列an中, a11, an 12an3,求数列an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】an 12an3 ,an 132an3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an3是以 2 为公比的等比数列,其首项为a134可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an342 n 1a2 n 13.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3、已知数列an中, a11, an 12an3n ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】an 12an3n ,an 12 nan 2 n 1 3 2n ,令an2n 1bn 就bn 1bn 3 n ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bnbnbn 1 bn 1bn 2 b2b1b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 n 12 3 n 22 3 n 32 3 223122 3 n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na3n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、已知Sn 为数列an的前 n 项和, Sn3an2nN , n2) ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S13a12a11 ,SS 3a23a2 .2a3a【解析】当 n1 时, a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时, annn 1nn 1nn 1an3an 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an是以3 为公比的等比数列,其首项为a1 ,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1 3 n 1 .n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知数列an中, a11, an 13an3 ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】a3a3n ,an 1an1 ,令anb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n3n3n 13n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 bn是等差数列, bn11n1n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n 1ann.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、已知数列an中, a11, a 22, an1an 132an 2 n33) ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】由 an1an 132an 23得 anan 12 an13an 2 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a2a110 ,所以数列an 1a是以 1 为首项,公比为2 的等比数列,n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an2 n 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a 2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n 2383 552 n32 n 331 2 232 113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、已知数列an 是首项为正数的等差数列,数列1anan 1的前 n 项和为n.2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设 ba12an ,求数列b的前 n 项和 T .可编辑资料
