2022年高二数学等比数列知识点总结与经典习题2.docx

精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一学问点梳理：1、等比数列的概念、有关公式和性质:等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）定义： an 为等比数列an 1anq常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 通项公式 :ana qn 1a qn k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1kna1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 求和公式 :snna11q a1an qq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 中项公式 :G 2ab 推广： anan man m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 性质：a、如 m+n=p+q 就am anap aq ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b、如 kn成等差数列 （其中 knN ）,就 ak 成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nc、 sn , s2nsn , s3ns2n成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d、 qn 1an,qn ma1anmnam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 判定和证明数列是等比数列常有三种方法：(1) 定义法 :对于 n2 的任意自然数 ,验证(2) 通项公式法.anan 1为同一常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1(3) 中项公式法 :验证 a2anan2, nN 都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 如a n 为等差数列,就 aa n 为等比数列（ a>0 且 a 1）.如a n 为正数等比数列,就 log aan 为等差数列（ a>0 且 a1）.二.典型例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】如数列 an 中, a13,且an 1an（ n 是正整数）,就数列的通项 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2练习:1.如干个能唯独确定一个数列的量称为该数列的“基本量 ”设. an 是公比为 q 的无穷等比数列 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以下 an 的四组量中 ,肯定能成为该数列“基本量 ”的是第组.写出全部符合要求的组号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S1 与 S2; a2 与 S3; a1 与 an; q 与 an.其中 n 为大于 1 的整数 , Sn 为 an 的前 n 项和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_82如等比数列的首项为9,末项为13,公比为2,就这个数列的项数为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A3B4C5D 63已知等比数列 an 满意 a1a2 3,a2a3 6,就 a7 A64B81C128D 2434 等比数列 an 中,如 a1 1, a4 8,就 a5 A16B16 或 16C32D 32 或 325. 已知 an 是公比为 qq 1的等比数列, an>0, ma5a6, ka4a7,就 m 与 k 的大小关系是 Am>kB m kCm<kD m 与 k 的大小随 q 的值而变化56. 已知等比数列 an 的公比为正数,且 a3·a9 2a2, a21,就 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.12B.2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 2D 27. 假如 1, a,b,c, 9 成等比数列,那么 Ab 3, ac 9Bb 3, ac 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n222Cb 3, ac 9D b ±3, ac 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 数列 an的前 n 项和 Sn21, 就a1a2an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知 a + b + c , b + ca , c + a b , a + b c 成等比数列 , 公比为 q , 求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31q2a+ q + q = 1 ; 2q =.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 已知数列 an, a11, an3an1 n2) , 写出数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a3 a4练习： 1、各项都是正数的等比数列 an 的公比 q 1,且 a2,2a3,a1 成等差数列, 就a4 a5的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 5A. 2B.2C.51D.512512或512可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如 a,b,c 成等比数列,就关于 x 的方程 ax2bxc0A必有两个不等实根B必有两个相等实根 C必无实根D以上三种情形均有可能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设数列 an 的各项为正数,如对任意的正整数n, an 与 2 的等差中项等于其前n 项和sn与 2 的等比中项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1【例 3】错位相减 求和： 1 Sn13x5x 27x32n1x n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1. 在等比数列 bn 中, S4=4,S8=20 ,那么 S12=2在等比数列 an 中, a1a2 1,a3a4 9,那么 a4a5A27B27 或 27C81D 81 或 813. 设 an 是由正数组成的等比数列,公比q 2 ,且 a1·a2·a3··a30 230 ,那么a3·a6·a9· ·a30 等于A210B220C216D 215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 假如数列 an 是等比数列,那么 nnA数列 a2 是等比数列B数列2 a 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C数列lg an 是等比数列D数列 nan 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在等比数列 a 中, aa 6, a a 5.就a18等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n57232102a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3或 2B.3D.3232C.3或26. 如互不相等的实数 a、b、c 成等差数列, c、a、b 成等比数列,且 a 3bc10,就 aA4B2C 2D 47一个等比数列前三项的积为2,最终三项的积为4,且全部项的积为64,就该数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有A13 项B12 项C11 项D 10 项8. 等比数列 an 中, a1<0 , an 是递增数列,就满意条件的公比q 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知等差数列 an 的公差 d 0,且 a1, a3,a9 成等比数列,就 a1a3a9 a2a4a10的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 在 3 和一个未知数间填上一个数, 使三数成等差数列, 如中间项减去 6 就成等比数列,就此未知数是11. 有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是8,后三个数依次成等差数列,它们的积为 80,求出这四个数才能拓展提升一、挑选题12已知 2a 3,2b 6,2c 12,就 a,b,c A成等差数列不成等比数列 B成等比数列不成等差数列 C成等差数列又成等比数列 D既不成等差数列又不成等比数列13. 在数列 an 中, a1 2,当 n 为奇数时, an 1an2.当 n 为偶数时, an 12an1,就 a12 等于A32B34C66D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 已知公差不为零的等差数列的第 k、n、p 项构成等比数列的连续三项,就等比数列的公比为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. npknnk C.npB. p np kk p D.n p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如方程 x2 5x m0 与 x210x n0 的四个根适当排列后,恰好组成一个n的值是首项为 1 的等比数列,就 mA4B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1C.2二、填空题D.14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16. a、b、c 成等比数列,公比 q 3,又 a,b8,c 成等差数列,就三数为 17. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, 3 为公比的等比数列,如从这10 个数中随机抽取一个数,就它小于8 的概率是 三、解答题18. 某工厂三年的生产方案中, 从其次年起每一年比上一年增长的产值都相同, 三年的总产值为 300 万元假如第一年、其次年、第三年分别比原方案产值多 10 万元、 10 万元、 11 万元,那么每一年比上一年的产值的增长率都相同,求原方案中每年的产值19.2022 2022·山东临清试验高中高二期中 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,点n, Sn在函数 fx2x 1 的图象上,数列 bn 满意 bn log2an 12nN * (1) 求数列 an 的通项公式.(2) 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn,当 Tn 最小时,求 n 的值. 3求不等式 Tn<bn 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1、 9n-1练习 1、1、42、B 解析92 n112 n 1 8 2 3n 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8·3 3,3273可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、A 解析 an 是等比数列, a1 a23,a2a3 6,设等比数列的公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 q,就 a2a3a1a2q3q 6,q2.a1a2a1a1q 3a13,a11,a7a1q62664.4、A解析a4a1q3q3 8,q2,a5a4q16.5、C解析m k a5a6a4 a7a5a4a7 a6a4q 1 a6q 1 q1a4 a6q 1 ·a4·1 q2 a41q1q2<0an>0, q16、B 解析设公比为 q,由已知得 a1q2·a1q82a1q42,即 q22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于等比数列 aa2 的公比为正数,所以 q 2,故 a12,应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 q 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 、B解析由条件知a2 b b2ac 9 c2 9ba2 0,a0,a2>0,b<0,b 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 、 an=S n-S n-1 =2 n -1-2 n-1 -1=2 n -2 n-1 =2 n-1 ,an2 是以 a12=1 为首项, 4 为公比的等比数列. S=4 n-1/39 、（1 ）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为 q 的等比数列, 所以 q3 =a+b-c/a+b+c,q2 =c+a-b/a+b+c q=b+c-a/a+b+c, q 3+q 2+q=a+b-c/a+b+c+c+a-b/a+b+c+b+c-a/a+b+c=a+b+c/a+b+c=1（ 2 ）由于 a+b+c ,b+c-a ,c+a-b ,a+b-c 成等比数列, 公比为 q 所以 c+a-b/b+c-a=q, a+b-c/c+a-b=q q=c+a-b+ a+b-c/b+c-a +c+a-b=2a/2c=a/c.n-1例题 2、 解 an-a n-1 =3将 n=2,3,4,5 代入得： a. -a . =3 1a. -a . =3 2a. -a . =3 3.an-a n-1 =3 n-1将上面的式子相加得：an-a 1 = 3 1+3 2+3 3+.+3 n-1a n = 1 +31+3 2+3 3+.+3 n-1 =1/23 .-11练习 1、C 解析a2,2a3,a1 成等差数列,a3 a2a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 是公比为 q 的等比数列, a1q2a1qa1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_251a3a4a3 a415 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q q10,q>0,q 2.q2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a4a522222、C 解析a,b,c 成等比数列, b2ac>0. 又b24ac 3ac<0,方程无实数根a3a4 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、（a n+2 ）/2= 2S n S n=（ an+2） /8S n+1 =（ a n+1+2） /8a n+1 =S n+1 -S n=a n+1 /8+a n+1 /2-a n /8-a n/2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na n+1 2 /8-a n+1/2-a 2/8-a n/2=0an+1 2 -4a n+1 -a n2-4a n =0a n+1 =a n +4an=-2+4n例题3、 xS n=x+3x 2+5x 3+7x 4+.+2n-3x n-1 +2n-1x n 由于 Sn=1+3x+5x 2+7x 3+9x 4+.+2n-1x n-1 -得,1-xS n=1+2x+x 2+x 3+x 4+.+x n-1 -2n-1x nn1-xS=1+2x-x n /1-x-2n-1xn1-xS n=1+2x-2x n/1-x-2nx n+x n1-xS n=1+2x/1-x-2xn/1-x-2nx n+x n1-xS n=1+2x/1-x+1-2n-2/1-xxnSn=1+2x/1-x+1-2n-2/1-xxn/1-x练习1、在等比数列中,依次每k 项之和仍成等比数列. S 12-S 8 /S 8-S 4 =S 8-S 4/S 4S 12-S 8 =S 8 -S 4 2/S 4 =20-4 2 /4=64 S 12=64+20=84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 、B 解析q2a3a4 9,q ±3,因此 a4 a5 a3a4q27 或 27 a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、B 解析设 Aa1 a4a7a28,Ba2a5a8a29,Ca3a6 a9a30,就 A、B、C 成等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q10公比为210A·B·C 230B210CB210220.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,由条件得,2bn12an1,·an1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、A 解析设 bnan,就bn 2 anan q , bn 成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an12an 2an1an常数.当 an<0 时 lgan 无意义.设 cn nan,就cn1cn n1 an1nann1 qn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、D 解析a2a10a5a76.由a2a10 6 a2a105a2 2,得a103a23或.a10 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a18a1032 或 .应选 D.a10a223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_226、D解析2b a c2消去 a 得： 4b 5bcc 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a bcbc,c 4b,a 2b,代入 a3b c10 中得 b2,a 4.7、 B 解析设前三项分别为 a1, a1q, a1q2,后三项分别为 a1qn3,a1qn2,a1qn1.1111所以前三项之积 a3q32,后三项之积 a3q3n64.两式相乘得, a6q3n1 8,即 a2qn12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a ·aq·aq2··aqn1 ann n1 64,即a2qn 1n 642,即 2n 642.所以 n 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111 1qa2 >a121a1q>a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a18、 0<q<1解析 3>a2 a qa20 q 1.q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_139、解析a, a ,a成等比 a2aa ,即 a2d 2aa 8d,d a,aa n 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1613931 91111n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 a3a913 d13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nd, 16 d16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 a4 a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、3 或 27 解析设此三数为 3、a、b,就2a 3 b2 ,解得a 6 3ba 3或b 3a 15,b 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个未知数为 3 或 27.b3 8,a10,b11、由题意设此四个数为b,bq, a,就有2bqa b,ab2q 80,解得b 2,或q 2a 8,b 2,q,5q2.4所以这四个数为1, 2,4,10 或 5, 2, 5, 8.12、A 解析 解法 1：alog23, b log 26 log 2 31, c log2 12log 2 3 2.ba c b.13、C 解析 依题意, a1, a3, a5, a7, a9, a11 构成以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,故a11 a1× 25 64,a12a112 66.应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anapap ana1 p1 d a1 n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na14、A 解析设等差数列首项为 a1,公差为 d,就 qka an ak a1 n 1 d a1 k 1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pnn kn p.应选 A.k n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、D 解析 由题意可知 1 是方程之一根,如 1 是方程 x2 5x m 0 的根就 m 4,另一根为 4,设 x3, x4 是方程 x2 10x n 0 的根,就 x3x410,这四个数的排列次序只能为1、x3、4、x4,公比为 2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2、xm18、n 161 是方程 x2 10xn 0 的根,另一根为9,就 n 9,设 x2 5x m0 之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34、 n 4.如两根为 x1、x2 就 x1 x2 5,无论什么次序均不合题意16、4,12,36 解析a、b、c 成等比数列,公比 q 3,b 3a,c 9a,又 a,b 8,c 成等差数列,2b 16 ac, 即 6a 16 a9a,a 4,三数为 4,12,36.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_317、 5解析 此题考查等比数列及古典概型的学问等比数列的通项公式为an3n 1.所以此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列中偶数项都为负值,奇数项全为正值 如 an 8,就 n 为奇数且 3n 13n 18,就 n12,n3,43n 3,5,7,9 共四项满意要求 p110 5.18、原方案三年产值成等差数列,设为a d,a,a d, d>0,由三年总产值为 300 万元,得 a100 万2元,又 a 10d,a 10, a11 d 成等比数列,得 a 10 a 10 da11d,110d111 d1102 . d2 d 110 0. d 10,或 d 11舍原方案三年的产值依次为90 万元, 100 万元, 110 万元19、1 依题意： Sn 2n1n N* ,当 n 2 时, an SnSn1 2n 2n 1 2n 1.当 n 1, S1 a1 1,an 2n 1n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于 bnlog 2an12n 13,所以数列 bn 是等差数列 Tnn2 25n21n 225 22 6258 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 n 12 或 13 时,数列 bn 的前 n 项和最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) Tnbnn2 25n2n 13n227n 262n 1 n 262<0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1<n<26,且 n N *,所以不等式的解集为 n|1<n<26, nN * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载