2022年高二数学导数知识点总结及习题练习 2.docx

精品_精品资料_高三专题复习导数在解题中常用的有关结论 （需要熟记 ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 曲线yf x 在xx0 处的切线的斜率等于f x0 ,切线方程为yf x0 xx0 f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如可导函数yf x 在xx0 处取得极值,就f x0 0 .反之,不成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 对于可导函数f x ,不等式f x0（ 0）的解集打算函数f x 的递增（减）区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 函数f x 在区间 I 上递增（减）的充要条件是：xIf x0 0 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 函数f x 在区间 I 上不单调等价于f x 在区间 I 上有极值,就可等价转化为方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 在区间 I 上有实根且为非二重根.（如 f x 为二次函数且 I=R,就有0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 6f x在区间 I 上无极值等价于f x 在区间在上是单调函数,进而得到f x0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 在 I 上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(7) 如 xI ,f x0 恒成立,就f x min0 ; 如 xI ,f x0 恒成立,就f x max0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(8) 如 x0I ,使得f x0 0 ,就f xmax0 .如x0I ,使得f x0 0 ,就f xmin0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(9) 设f x 与gx的定义域的交集为 D 如xDf xg x 恒成立就有f xg xmin0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 如对x1I1 、 x2I 2 ,f x1g x2 恒成立,就f x ming x max .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对x1I1 , x2I 2 ,使得f x1g x2 ,就f xming x min .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对x1I1 , x2I 2 ,使得f x1gx2 ,就f x maxg xmax .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 11 ）已知f x 在区间I 1 上的值域为 A,g x 在区间I 2 上值域为 B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对x1I 1 ,x2I 2 ,使得f x1= g x2 成立,就 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(12) 如三次函数 fx 有三个零点, 就方程于 0,微小值小于 0.x(13) 证题中常用的不等式 :f x0 有两个不等实根x1 、x2 ,且极大值大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ln xx1 x0 ln（x+1）x x1) e1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xe1x ln xx1 ln x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12 x1 x0x 222 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点一：导数几何意义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角度一求切线方程1 2022 ·洛阳统考 已知函数 fx 3xcos 2xsin 2x, a f 过曲线 yx3 上一点 Pa,b的切线方程为 4 ,fx是 fx的导函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 A3x y20B 4x3y 1 0 C3xy20 或 3x4y10D3xy20 或 4x3y 10 解析：选 A由 fx 3xcos 2x sin 2x 得 fx32sin 2x2cos 2x,就 af 232sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_323222cos2 1.由 yx 得 y3x ,过曲线 yx 上一点 Pa,b的切线的斜率 k3a 3×1 3.又 ba3,就 b1,所以切点 P 的坐标为 1,1,故过曲线 y x3 上的点 P 的切线方程为 y13x1, 即 3xy20.角度二求切点坐标2 2022 ·辽宁五校其次次联考 曲线 y3ln xx2 在点 P0 处的切线方程为 4x y 1 0,就点 P0 的坐标是 A0,1B1, 1C1,3D1,03解析： 选 C由题意知 yx14,解得 x1,此时 4×1y10,解得 y3,点P0的坐标是 1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角度三求参数的值3已知 fx ln x,gx 1 2 mx 7,直线 l 与函数 fx, gx的图像都相切,且与 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x图像的切点为 1,f1,就 m 等于2m<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 3C 4D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,直线1.解析： 选 Dfx1l 的斜率为 kf 11,又 f10,切线l 的方程为 yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xxm,设直线 l 与 gx的图像的切点为 x0,y0,1 27就有 x0m1,y0 x01,y02x 0 mx02,m<0,于是解得 m 2,应选 D.考点二：判定函数单调性,求函数的单调区间.典例 1已知函数 fxx2ex 试判定 fx的单调性并赐予证明 解： fxx2 ex,fx在 R 上单调递减,fx2x ex,只要证明 fx0 恒成立刻可设 gxf x2xex,就 g x 2 ex, 当 xln 2 时, gx0,当 x ,ln 2时, gx>0,当 xln 2 ,时, g x<0.fxmaxgxmaxgln 22ln 22<0,fx<0 恒成立,fx在 R 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典例 22022北·京高考改编 已知函数 fxax21a0,gxx3bx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 如曲线 yfx与曲线 ygx在它们的交点 1, c处具有公共切线,求 a,b 的值. 2当 a24b 时,求函数 fxgx的单调区间解1fx2ax,gx3x2b,f 1 a1 c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知可得g 1 1 b c,2a3b,32解得 ab3.a22a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令 Fxfx gxxa x2 6,ax 4 x1,Fx3x2ax 4 ,令 Fx0,得 x1 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaaa>0,x1 <x2,由 Fx>0 得, x<2或 x> 6.由 Fx<0 得, 2<x< 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaa单调递增区间是 , 2 , 6, .单调递减区间为2, 6 .针对训练 2022 ·重庆高考 设 fx ax526ln x,其中 aR,曲线 yfx在点 1,f1处的切线与 y轴相交于点 0,6 1确定 a 的值.(2) 求函数 fx的单调区间与极值x.解： 1由于 fxax52 6ln x,故 fx 2ax56令 x1,得 f116a, f168a,所以曲线 yfx在点1,f1处的切线方程为 y16a16 8a ·x1,由点 0,6在切线上可得 616a8a6,故 a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由1知, fx152 6ln xx>0, fxx56x2x 3.令 fx 0,解得 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,x2 3.2xxx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0<x<2 或 x>3 时, fx>0,故 fx在0,2,3, 上为增函数.当 2<x<3 时, fx<0, 故 fx在2,3上为减函数9由此可知 fx在 x 2 处取得极大值 f226ln 2,在 x3 处取得微小值 f32 6ln 3.考点三：已知函数的单调性求参数的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典例2022山·西诊断 已知函数 fxln x a2x2axa R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 a1 时,求函数 fx的单调区间.(2) 如函数 fx在区间 1, 上是减函数,求实数 a 的取值范畴解1当 a1 时, fxln xx2 x,其定义域是 0, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx x2x 12x2x1x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 fx0,即x>0,x1.x0,解得 x 2或 x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0<x<1 时, fx>0.当 x>1 时, fx<0.函数fx在区间 0,1上单调递增,在区间 1, 上单调递减2明显函数 fxln xa2x2 ax 的定义域为 0, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx12x2a xa 2a2x2ax1x1 2ax1ax1x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 0 时, fx x>0,fx在区间1, 上为增函数,不合题意1当 a>0 时, fx0x>0等价于 2ax1·ax 10x>0,即 xa,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 fx的单调递减区间为1a1,由得 a1.a>0,a, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a<0 时, fx0x>0等价于 2ax1·ax10x>0,即 x 2a,此时 fx的单调递1减区间为 2a, . 1 1,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由2aa<0,得 a2.综上,实数 a 的取值范畴是 , 2 1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_针对训练 12022 ·荆州质检 设函数 fx3a2bxc,曲线 yfx在点0,f0处的切线方程为 y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 b,c 的值.3x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如 a>0,求函数 fx的单调区间.(3) 设函数 gxfx2x,且 gx在区间 2,1内存在单调递减区间, 求实数 a 的取值范畴解： 1f xx2 axb,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意得f 0 1,即f 0 0,c1,b0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由1得, fxx2axxxaa>0, 当 x ,0时, f x>0,当 x0,a时, fx<0,当 xa, 时, f x>0.所以函数 fx的单调递增区间为 ,0,a, ,单调递减区间为 0, a 3gxx2ax2,依题意,存在 x2, 1,使不等式 gxx2ax2<0 成立,2即 x2, 1时, a< xx max 22,2当且仅当 “xx”即 x 2时等号成立,所以满意要求的 a 的取值范畴是 , 22 考点四：用导数解决函数的极值问题a 典例2022 福·建高考节选 已知函数 fxx1exaR, e 为自然对数的底数 (1) 如曲线 yfx在点1,f1处的切线平行于 x 轴,求 a 的值.(2) 求函数 fx的极值 ,得解1由 fxx1afx 1 a.exex又曲线 yfx在点1, f1处的切线平行于 x 轴,a得 f10,即 1 e0,解得 ae.ex2fx 1 a,当 a 0 时, fx>0,fx为, 上的增函数,所以函数fx无极值当 a>0 时,令 fx 0,得 ex a,即 xln a. x ,ln a,f x<0.xln a,fx>0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 fx在 ,ln a上单调递减,在 ln a, 上单调递增, 故 fx在 x ln a 处取得微小值,且微小值为 fln aln a,无极大值 综上,当 a0 时,函数 fx无极值.当 a>0 时, fx在 x ln a 处取得微小值 ln a,无极大值典例已知函数 fx ln xaxaR 1求函数 fx的单调区间.2当 a>0 时,求函数 fx在1,2 上的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解1fx1ax>0,当 a0 时, fx即函数 fx的单调增区间为 0, 1 xa>0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11当 a>0 时,令 fxx a 0,可得 xa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 ax11ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0<x<a时, fx x>0.当 x>a时, fx1x<0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 fx的单调递增区间为0, a ,单调递减区间为a, .12当a1,即 a1 时,函数 fx在区间 1,2上是减函数,fx的最小值是 f2 ln 22a.11当a2,即 0<a2时,函数 fx在区间1,2 上是增函数,fx的最小值是 f1 a.111,11当 1<a<2,即2<a<1 时,函数 fx在a 上是增函数,在a,2 上是减函数又 f2f11ln 2 a,当2<a<ln 2 时,最小值是 f1 a.当 ln 2 a<1 时,最小值为 f2ln 2 2a.综上可知,当 0<a<ln 2 时,函数 f x的最小值是 a.当 aln 2 时,函数 fx的最小值是 ln 22a. 针对训练 2设函数 fxaln xbx2x>0,如函数 fx在 x1 处与直线 y 1相切,(1) 求实数 a,b 的值.1(2) 求函数 fx在 e,e 上的最大值x解： 1f xa2bx,1函数fx在 x 1 处与直线 y 2相切,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 a2b 0, 2, f 1 b11a 1,b解得12.11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2fxln x x2, fx x,x11当e x e 时,令 fx>0 得ex<1.11令 fx<0,得 1<xe,fx在 e,1 上单调递增,在 1,e上单调递减,fxmaxf1 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点六：用导数解决函数极值、最值问题典例2022 北·京丰台高三期末 已知函数 fx 点为 3 和 0.ax2 bxcexa>0的导函数 yfx的两个零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 fx的单调区间.(2) 如 fx的微小值为 e3,求 fx在区间5, 上的最大值2ax b ex ax2 bxc ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1fxax2 2ab xbcex 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex,令 gx ax22abxbc,由于 ex>0,所以 yfx的零点就是 gx ax22abxbc 的零点,且 fx与 gx符号相同又由于 a>0,所以 3<x<0 时, gx>0,即 fx>0,当 x<3 或 x>0 时, gx<0,即 fx<0,所以 fx的单调增区间是 3,0,单调减区间是 , 3,0, 2由1知, x 3 是 fx的微小值点,所以有9a 3bc3e3 e ,g 0 bc0,g 3 9a 3 2ab bc 0, 解得 a 1, b 5, c5,x25x 5所以 fxex.由于 fx的单调增区间是 3,0,单调减区间是 , 3, 0, , 所以 f05 为函数 fx的极大值,故 fx在区间5,上的最大值取 f5和 f0中的最大者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5而 f5e55e5>5f0,所以函数 fx在区间 5, 上的最大值是 5e5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 针对训练 已知函数 fxx3 ax2 bxc,曲线 yfx在点 x1 处的切线为 l：3x y 1 0,如 x2 3时,yfx有极值(1) 求 a,b,c 的值.(2) 求 y fx在 3,1上的最大值和最小值解： 1由 fx x3ax2bx c,得 fx 3x2 2ax b.当 x1 时,切线 l 的斜率为 3,可得2a b 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 x3时, yfx有极值,就 f23 0,可得 4a3b40,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,解得 a2,b 4.由于切点的横坐标为 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23.所以 f14.所以 1 a b c 4.所以 c5.2由1,可得 fx x32x24x5,fx3x24x4.令 fx 0,解之,得 x1 2,x2当 x 变化时, fx,fx的取值及变化情形如下表所示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33x3 3, 2 2 2, 22211,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx00fx81395427可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y fx在3,1 上的最大值为 13,最小值为考点七：利用导数讨论恒成立问题及参数求解9527.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 典例2022 全·国卷 设函数 fxx2axb,gx excx d如曲线 y fx和曲线 ygx都过点 P0,2,且在点 P 处有相同的切线 y4x2.(1) 求 a,b,c, d 的值.(2) 如 x 2 时, fxkgx,求 k 的取值范畴 解1由已知得 f02,g02, f04,g04.而 fx2xa,gxexcxdc,故 b2,d 2, a 4, d c4.从而 a 4, b 2, c2,d2.2由1知, fxx24x 2, gx2exx1 设函数 Fxkgx fx 2kexx1 x24x2, 就 Fx2kexx 22x 4 2x 2kex1 由题设可得 F00,即 k 1.令 Fx0 得 x1 ln k, x2 2.2如 1 ke ,就 2x1 0.从而当 x2,x1时, Fx0.当 xx1, 时, Fx10,即 Fx在2,x1上单调递减,在 x1,上单调递增,故 Fx在2,上的最小值为Fx1而 Fx1 2x1 2 x24x12 x1x120.故当 x 2 时, Fx0,即 fxkgx恒成立如 ke2,就 Fx2e2x2exe2从而当 x 2 时, Fx0,即 Fx在2,上单调递增,而 F20,故当 x2 时, Fx 0,即 fxkgx恒成立如 ke2,就 F 2 2ke22 2e2·ke20.从而当 x 2 时,fxkgx不行能恒成立综上, k 的取值范畴是 1 ,e2针对训练 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设函数 fx2exxex.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x(1) 求 fx的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如当 x 2,2时,不等式 fx>m 恒成立,求实数 m 的取值范畴 解： 1函数 fx的定义域为 , ,fxx exex xexx1ex,如 x0,就 fx0.如 x<0,就 1 ex>0,所以 fx<0.如 x>0,就 1ex<0,所以 fx<0.fx在 ,上为减函数,即 fx的单调减区间为 , 2由1知, fx在 2,2上单调递减故fxminf22e2,m<2e2 时,不等式 fx>m 恒成立故 m 的取值范畴为 ,2e2考点八、 利用导数证明不等式问题 针对训练 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12022 ·东北三校联考 已知函数 fx213,函数 gxfxexx 1,函数 gx的导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数为 gx1求函数 fx的极值. 2如 ae,求函数 gx的单调区间.2x3axa>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： x>0 时,不等式 gx 1 ln x 恒成立解： 1f xxax2 ax x1a ,1当f x 0 时, x0 或 x a,又 a>0,1当x, 0时, fx<0.当 x0, a 时,1fx>0.当 xa, 时, fx<0,fx的微小值为 f00,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx的极大值为 fa 6a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ae,gx1 213 exx1,gxxexex 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x3ex记 hxexex 1,就 hxexe,当 x ,1时, h x<0,hx是减函数. x1, 时, hx>0,hx是增函数,hxh11>0,就在 0, 上, gx>0.在 ,0上, gx<0,x,函数gx的单调递增区间是 0, ,单调递减区间是 ,0 证明： x>0 时, g x xex ex1 1 ln x. exex 1 1 ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由知, hxex ex11,记 x 1 ln xxx>0,就 x1xx,在区间 0,1上, x>0,x是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 1, 上, x<0,x是减函数,1ln xx10,即 1 ln xx0,x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex ex111ln xx,即 gx 1 ln x 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载