2022年高二数学推理与证明知识点与习题 .docx

精品_精品资料_选修 2-2 ：推理与证明一、推理1. 推理 ：前提、结论2. 合情推理 :合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：1归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特点,推出该类事物的全部对象具有这些特点的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2类比推理：由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象具有的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理,简言之,类比推理是由特别到特别的推理.3. 演绎推理 :从一般性的原理动身,推出某个特别情形下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特别的推理.重难点：利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明题型 1用归纳推理发觉规律1、观看：7152 11 . 5.516.52 11 .331932 11 . . 对于任意正实数 a, b,试写出使 ab2 11 成立的一个条件可以是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点拨】：前面所列式子的共同特点特点是被开方数之和为22,故 a2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图 . 其中第一个图有 1 个蜂巢,其次个图有 7 个蜂巢, 第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n表 示 第n 幅 图 的 蜂 巢 总 数 . 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 4=;f n =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】找出f nf n1 的关系式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 f 11, f216,f 31612,f 416121837可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n1612186n13n 23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】处理“递推型”问题的方法之一是查找相邻两组数据的关系题型 2用类比推理猜想新的命题例 已知正三角形内切圆的半径是高的1 ,把这个结论推广到空间正四周体,类似的结论是 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】从方法的类比入手解析 原问题的解法为等面积法,即S1 ah23 1 ar 2r1 h ,类比问题的解法应为等体积法,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V1 Sh34 1 Sr 3r1 h 即正四周体的内切球的半径是高144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】1不仅要留意形式的类比,仍要留意方法的类比2类比推理常见的情形有：平面对空间类比.低维向高维类比.等差数列与等比数列类比.实数集的性质向复数集的性质类比.圆锥曲线间的类比等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、直接证明与间接证明三种证明方法 :综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法. 用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立.(2) 依据假设进行推理, 直到推理中导出冲突为止(3) 断言假设不成立(4) 确定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,挑选好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点 1综合法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在锐角三角形 ABC中, 求证 :sin Asin Bsin CcosAcosBcosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ABC为锐角三角形,ABAB ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysin x 在 0,2上是增函数,sin Asin2Bcos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得sin BcosC, sinCcosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin Ccos AcosBcosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 2分析法已知 ab0 , 求证abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 要证abab ,只需证 ab 2ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ab2abab ,只需证 bab ,即证 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显 ba 成立,因此abab 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】留意分析法的“格式”是“要证-只需证 - ”,而不是“由于 - 所以 - ”考点 3反证法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 fxa xx2 ax11 ,证明方程f x0 没有负数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解题思路】“正难就反” ,挑选反证法,因涉及方程的根,可从范畴方面查找冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 假设x0 是f x0 的负数根,就x00 且 x01 且 ax0x02x01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0ax 010x02x011 ,解得 12x02 ,这与 x00 冲突,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故方程f x0 没有负数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】否认性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、数学归纳法一般的 , 当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的全部正整数n 都成立时 , 可以用以下两个步骤 :(1) 证明当 n=n0 时命题成立 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设当 n=k kN ,且kn0 时命题成立 , 证明 n=k+1 时命题也成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在完成了这两个步骤后, 就可以确定命题对于不小于n0 的全部正整数都成立 . 这种证明方法称为数学归纳法.考点 1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的熟悉例 1 已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,假设已假设n=k k2 且为偶数时命题为真, ,就仍需证明A.n=k+1 时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2 k+2时命题成立解析 因 n 是正偶数,故只需证等式对全部偶数都成立,因k 的下一个偶数是 k+2 ,应选 B【名师指引】 用数学归纳法证明时, 要留意观看几个方面： 1n 的范畴以及递推的起点 2观看首末两项的次数或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其它,确定 n=k 时命题的形式f k3从f k1 和f k的差异,查找由 k 到 k+1 递推中,左边要加乘上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式子考点 2数学归纳法的应用题型 1：用数学归纳法证明数学命题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用数学归纳法证明不等式1 22 3nn11 n212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 1当 n=1 时,左 =2 ,右 =2,不等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设当 n=k 时等式成立,即1 22 3kk11 k21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 1 22 3k k1k1 k21 k212k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 k212k1k2k222 k1 k2k1k202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22 3kk1 k1 k21 k2112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=k+1 时, 不等式也成立综合 12,等式对全部正整数都成立【点评】1数学归纳法证明命题,格式严谨,必需严格按步骤进行.2归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形.3由 k 推导到 k+1 时,有时可以“套”用其它证明方法,如：比较法、分析法等,表现出数学归纳法“敏捷”的一面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推理与证明习题1、用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时,反设正确的选项是.A 假设三内角都不大于60 度.B假设三内角都大于60 度.C假设三内角至多有一个大于60 度.D假设三内角至多有两个大于60 度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在十进制中20224100010101022 103 ,那么在 5 进制中数码 2022 折合成十进制为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.29B. 254C. 602D. 20223、利用数学归纳法证明 “ 1 a a2 an1 =11a n 2a,a 1,nN ”时,在验证 n=1 成立时, 左边应当是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223A1B1 aC1 a aD1a a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、用数学归纳法证明“n1 n2nn2n1 2 2n1) ” nN 时,从 “ nk到nk1 ”时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边应增加的式子是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2k1B 22k1C 2k1k1D 2k2k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11112341211n1n2n41 时,假设已假设 n 2 nkk2 为偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数时命题为真,就仍需要用归纳假设再证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A nk1时等式成立B nk2 时等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C n2k2 时等式成立D n2k2) 时等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、否认结论“至多有两个解”的说法中,正确的选项是 A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解7、否认“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为A a、b、c 都是奇数B a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数C a、b、c 都是偶数D a、b、c 中至少有两个偶数8、已知： a b c>0, ab bc ca>0, abc>0.求证： a>0, b>0, c>0.19、已知 a, b,c 0,1求证： 1 a b,1 b c, 1 c a 不能同时大于 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*10、1用数学归纳法证明：n35n 能被 6 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求证 n 3n1 3n23 nN 能被 9 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、假设 a,b,c均为实数,且,求证： a, b, c 中至少有一个大于0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12、用数学归纳法证明：11112341n .2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、用数学归纳法证明下述不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111n1n2n319n3n10N , 且n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载