2022年相似三角形基本知识点+经典例题4 .docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 相像三角形学问点与经典题型学问点 1 有关相像形的概念1 外形相同的图形叫相像图形,在相像多边形中,最简洁的是相像三角形 . 2 假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相像多边形相像多边形对应边长度的比叫做相像比 相像系数 学问点 2 比例线段的相关概念（1）假如选用同一单位量得两条线段 a, b 的长度分别为 m, n,那么就说这两条线段的比是 a m,或写b n成 a : b m : n注：在求线段比时,线段单位要统一；（2）在四条线段 a , b , c , d 中,假如 a和 b 的比等于 c和 d 的比,那么这四条线段 a , b , c , d 叫做成比例线段,简称比例线段 注：比例线段是有次序的,假如说 a 是 b , c , d 的第四比例项, 那么应得比例式为：b dc a在比例式 a c a：b c：d 中,a、d 叫比例外项, b、c 叫比例内项 , a、c 叫比例前项, b、d 叫比例后b d项, d 叫第四比例项,假如 b=c,即 a：b b：d 那么 b 叫做 a、 d 的比例中项,此时有 b 2ad ；（ 3）黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC , BC AC BC ,且使 AC 是 AB和 BC 的比例中项,即AC 2AB BC ,叫做把线段 AB 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,其中 AC 5 1AB20.618 AB 即 AC BC 5 1简记为：长短5 1AB AC 2 全 长 2注：黄金三角形：顶角是 36 0的等腰三角形；黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形学问点 3 比例的性质（ 留意性质立的条件：分母不能为 0）（1） 基本性质：a:bc:dadbc；a bb cb2a c adbc,除:ad:b,注：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如了可化为a:bc:d,仍可化为a:cb:d,c:da:b,b:da:c,b:ad:c,cd:cb:a,d:bc:aab,交换内项cd（ 2） 更比性质 交换比例的内项或外项：acdc,交换外项bdbadb同时交换内外项ca（ 3）反比性质 把比的前项、后项交换 ：a bcbddac（ 4）合、分比性质：acabbcddbd注：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项,后项之间_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 发生同样和差变化比例仍成立如：acdbaadcc等等acemabdabcd（5）等比性质：假如acembabcd,那么fn0bdfnbdfnb注：此性质的证明运用了“ 设 k法” （即引入新的参数 k）这样可以削减未知数的个数,这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法应用等比性质时,要考虑到分母是否为零可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立如：a c e a 2 c 3 e a 2 c 3 e a；其中 b 2 d 3 f 0b d f b 2 d 3 f b 2 d 3 f b学问点 4 比例线段的有关定理 1. 三角形中平行线分线段成比例定理 : 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 . A由 DE BC可得：ADDB EC AE或 BDAD ECEA 或 ADAB AC AED E注：B C重要结论：平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线 , 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比例. 三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边或两边的延长线 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比例式证平行线. 平行线的应用：在证明有关比例线段时,帮助线往往做平行线 的比及所求的两条线段的比 . , 但应遵循的原就是不要破坏条件中的两条线段 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例. CBAD已知 AD BE CF, DE或BCEF或BCEF或ABBC等. E可得AB BCDE或ABFEFACDFABDEACDFDEEF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截,假如在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等；学问点 5 相像三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相像三角形相像用符号“ ” 表示,读作“ 相像于”相像三角形对应边的比叫做相像比 或相像系数 相像三角形对应角相等,对应边成比例注：对应性： 即两个三角形相像时,肯定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较简洁找到相像三角形的对应角和对应边次序性：相像三角形的相像比是有次序的两个三角形外形一样,但大小不肯定一样全等三角形是相像比为 1 的相像三角形 二者的区分在于全等要求对应边相等,而相像要求对应边成比例_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学问点 6 三角形相像的等价关系与三角形相像的判定定理的预备定理1 相像三角形的等价关系：反身性：对于任一 ABC 有 ABCABC 对称性：如 ABC A ' B ' C ',就 A ' B ' C 'ABC 传递性：如 ABC A ' B ' C,且 A ' B ' CA B C,就 ABCA B C2 三角形相像的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相像定理的基本图形：AAEDADEBCB3CB1CDE2用数学语言表述是：DE /BC,ABCADE学问点 7 三角形相像的判定方法1、定义法：三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相像2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相像3、判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像简述为：两角对应相等,两三角形相像4、判定定理 2：假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相像简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像5、判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像简述为：三边对应成比例,两三角形相像6、判定直角三角形相像的方法：1 以上各种判定均适用2 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像3 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像注：射影定理：在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；BC上的高,BAC第 3 页,共 18 页如图, Rt ABC中, BAC=90° , AD是斜边就 AD 2=BD·DC, AB 2=BD·BC , AC 2=CD·BC ；D学问点 8 相像三角形常见的图形_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1、下面我们来看一看相像三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“ 平行线型” 的相像三角形（有“A 型” 与“X型” 图）AAE DD E B C AB 1 CD2 E B3 C2 如图：其中 1=2,就 ADE ABC称为“ 斜交型” 的相像三角形；（有“ 反 A 共角型” 、“ 反 A共角共边型” 、“ 蝶型” ）A DA1E E1D 4 EA（3）B如图：称为“ 垂直型”2 C（有“ 双垂直共角型”B 2 1 DC、“ 双垂直共角共边型（也称“ 射影定理型”B 2 C）” “ 三垂直型”）A A EBED EA C DB C CDB A4 如图： 1=2, B=D,就 ADE ABC,称为“ 旋转型” 的相像三角形；D 2 12、几种基本图形的详细应用：E（1）如 DE BC（A型和 X 型）就ADE ABC （2）射影定理 如 CD为 Rt ABC斜边上的高（双直角图形）B C就 Rt ABCRt ACDRt CBD且 AC 2=AD·AB, CD 2=AD·BD,BC 2=BD·AB；A E D CD E AB C B C A D B（3）满意 1、AC 2=AD·AB, 2、 ACD=B, 3、 ACB=ADC,都可判定ADC ACB（4）当AD AE或 AD· AB=AC·AE时, ADE ACBAC ABA AD DEB C B C_精品资料_ 第 4 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学问点 9：全等与相像的比较：三角形全等 三角形相像相像判定的预备定理两角夹一边对应相等ASA HL 两角对应相等两角一对边对应相等AAS 两边及夹角对应相等SAS 两边对应成比例,且夹角相等三边对应相等 SSS 三边对应成比例直角三角形中始终角边与斜边对应相等直角三角形中斜边与始终角边对应成比例学问点 10 相像三角形的性质1 相像三角形对应角相等,对应边成比例2 相像三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比3 相像三角形周长的比等于相像比4 相像三角形面积的比等于相像比的平方注：相像三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来运算周长、边长等学问点 11 相像三角形中有关证（解）题规律与帮助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：1 线段成比例的定义 2 三角形相像的预备定理 3 利用相像三角形的性质 4 利用中间比等量代换 5 利用面积关系 2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路 : “ 等积” 变“ 比例”,“ 比例” 找“ 相像”2 找相像：通过“ 横找” “ 竖看” 查找三角形,即横向看或纵向查找的时候一共各有三个不 同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相像的,就可证明这两个三角形相像,然后由相像三角形对应边成比例即可证的所需的结论 . 3 找中间比：如没有三角形 即横向看或纵向查找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这 几个字母在同一条直线上 ,就需要进行“ 转移” 或“ 替换” ,常用的“ 替换” 方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换 . 即：找相像找不到,找中间比；方法：将等式左右两边的比表示出来；am,cmm为中间比am,cm ', nnn' 通常是添加平行线 构成（即bndnnbndam,cm'mm',nn' 或mm' 'bndn'nn4 添加帮助线：如上述方法仍不能奏效的话,可以考虑添加帮助线比例 . 以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止. 平面直角坐标系中通常是作垂线注：添加帮助平行线是获得成比例线段和相像三角形的重要途径；得平行线）构造相像三角形或比例线段；（ 5）比例问题：常用处理方法是将“ 一份” 看着k; 对于等比问题,常用处理方法是设“ 公比” 为k；（ 6）对于复杂的几何图形,通常采纳将部分需要的图形（或基本图形）“ 分别” 出来的方法处理；_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学问点 12 相像多边形的性质1 相像多边形周长比,对应对角线的比都等于相像比2 相像多边形中对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比3 相像多边形面积比等于相像比的平方留意：相像多边形问题往往要转化成相像三角形问题去解决,因此,娴熟把握相像三角形学问是基础和关 键学问点 13 位似图形有关的概念与性质及作法1. 假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图 形. 2. 这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比 . 注：（1） 位似图形是相像图形的特例,位似图形不仅相像,而且对应顶点的连线相交于一点. . （2） 位似图形肯定是相像图形,但相像图形不肯定是位似图形. （3） 位似图形的对应边相互平行或共线. 3. 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比注：位似图形具有相像图形的全部性质. 4. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长（或截取）. . （3） 依据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形注：位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上（图形边上或顶点上）；外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“ 外位似” （即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“ 内位似” （即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中,假如位似变换是以原点O为位似中心,相像比为k（k>0）, 原图形上点的坐标为（x,y ）, 那么同向位似图形对应点的坐标为kx,ky, 反向位似图形对应点的坐标为-kx,-ky, _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 经典例题透析类型一、相像三角形的概念1判定对错：1两个直角三角形肯定相像吗？为什么？2两个等腰三角形肯定相像吗？为什么？3两个等腰直角三角形肯定相像吗？为什么？4两个等边三角形肯定相像吗？为什么？5两个全等三角形肯定相像吗？为什么？思路点拨： 要说明两个三角形相像,要同时满意对应角相等,对应边成比例 .要说明不相像,就只要否定其 中的一个条件 . 解： 1不肯定相像 .反例直角三角形只确定一个直角,其他的两对角可能相等,也可能不相等.所以直角三角形不肯定相像. 2不肯定相像 .反例等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不肯定等于对应腰的比,所以等腰三角形不肯定相像 . 3肯定相像 .在直角三角形ABC 与直角三角形A BC 中_精品资料_ 设 AB=a , AB=b,就BC=a,BC=b,AC=a,AC=b 第 7 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ABC ABC4肯定相像 .由于等边三角形各边都相等,各角都等于 个等边三角形肯定相像 . 5肯定相像 .60 度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两全等三角形对应角相等,对应边相等,所以对应边比为1,所以全等三角形肯定相像,且相像比为1. 举一反三【变式 1】两个相像比为 1 的相像三角形全等吗？解析： 全等 .由于这两个三角形相像,所以对应角相等 .又相像比为 1,所以对应边相等 . 因此这两个三角形全等 . 总结升华： 由上可知,在特殊的三角形中,有的相像,有的不肯定相像 . 1两个直角三角形,两个等腰三角形不肯定相像 . 2两个等腰直角三角形,两个等边三角形肯定相像 . 3两个全等三角形肯定相像,且相像比为 1；相像比为 1 的两个相像三角形全等 . 【变式 2】以下能够相像的一组三角形为 A. 全部的直角三角形 B.全部的等腰三角形C.全部的等腰直角三角形 D.全部的一边和这边上的高相等的三角形解析： 依据相像三角形的概念,判定三角形是否相像,肯定要满意三个角对应相等,三条对应边的比相等 .而 A 中只有一组直角相等,其他的角是否对应相等不行知；B 中什么条件都不满意；D 中只有一条对应边的比相等； C 中全部三角形都是由 90° 、 45° 、 45° 角组成的三角形,且对应边的比也相等 .答案选 C. 类型二、相像三角形的判定2如下列图,已知 中, E 为 AB 延长线上的一点,AB=3BE ,DE 与 BC 相交于 F,请找出图中各对相像三角形,并求出相应的相像比 . 思路点拨： 由 可知 AB CD, AD BC,再依据平行线找相像三角形 . 解： 四边形 ABCD 是平行四边形, AB CD ,AD BC, BEF CDF, BEF AED. BEF CDF AED. _精品资料_ 当 BEF CDF 时,相像比；当 BEF AED 时,相像比；第 8 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 当 CDF AED 时,相像比 . 总结升华： 此题中BEF、 CDF、 AED 都相像,共构成三对相像三角形 .求相像比不仅要找准对应边,仍需留意两个三角形的先后次序,如次序颠倒,就相像比成为原先的倒数 . 3已知在 Rt ABC 中, C=90° , AB=10 ,BC=6. 在 Rt EDF 中, F=90° , DF=3,EF=4,就ABC和 EDF 相像吗？为什么？思路点拨： 已知 ABC 和 EDF 都是直角三角形, 且已知两边长, 所以可利用勾股定理分别求出第三边 AC和 DE,再看三边是否对应成比例 . 解： 在 Rt ABC 中, AB=10 ,BC=6 , C=90° . 由勾股定理得 . 在 Rt DEF 中, DF=3 ,EF=4, F=90° . 由勾股定理,得,. ,在 ABC 和 EDF 中, ABC EDF三边对应成比例,两三角形相像 . 总结升华：1此题易错为只看 3,6, 4,10 四条线段不成比例就判定两三角形不相像 .利用三边判定两三角形相似,应看三角形的三边是否对应成比例,而不是两边 . 2此题也可以只求出 AC 的长,利用两组对应边的比相等,且夹角相等,判定两三角形相像 . 4如下列图,点 D 在 ABC 的边 AB 上,满意怎样的条件时,ACD 与 ABC 相像？试分别加以列举 . 思路点拨： 此题属于探究问题,由相像三角形的识别方法可知,ACD 与 ABC 已有公共角 A,要使此两个三角形相像,可依据相像三角形的识别方法查找一个条件即可 . 解： 当满意以下三个条件之一时,ACD ABC. 条件一： 1=B. 条件二： 2=ACB. 条件三：,即. 用分析法, 可先假设ACD总结升华： 此题的探究钥匙是相像三角形的识别方法.在探究两个三角形相像时, ABC ,然后查找两个三角形中边的关系或角的关系即可.此题易错为显现条件四：.不符合第 9 页,共 18 页条件“ 最小化” 原就,由于条件三能使问题成立,所以显现条件四是错误的. _精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 举一反三【变式 1】已知：如图正方形 ABCD 中, P 是 BC 上的点 ,且 BP=3PC,Q 是 CD 的中点求证：ADQ QCP思路点拨： 因 ADQ 与 QCP 是直角三角形,虽有相等的直角,但不知AQ 与 PQ 是否垂直,所以不能用两个角对应相等判定而四边形 ABCD 是正方形, Q 是 CD 中点,而 BP=3PC,所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定详细证明过程如下：证明 ：在正方形 ABCD 中, Q 是 CD 的中点,=2 =3,=4 又 BC=2DQ ,=2 在 ADQ 和 QCP 中,=, C=D=90° , ADQ QCP【变式 2】如图, 弦和弦相交于内一点,求证：. 思路点拨： 题目中求证的是等积式,我们可以转化为比例式,从而找到应证哪两个三角形相像 .同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会敏捷应用 . 证明： 连接,. 在. 【变式 3】已知：如图,AD 是 ABC 的高, E、F 分别是 AB、AC 的中点求证：DFE ABC 思路点拨： EF 为 ABC 的中位线, EF=BC,又 DE 和 DF 都是直角三角形斜边上的中线, DE=AB ,DF=AC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相像第 10 页,共 18 页_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明： 在 Rt ABD 中, DE 为斜边 AB 上的中线,DE=AB ,即同理=EF 为 ABC 的中位线,EF= BC,即 = DFE ABC 总结升华： 此题证明方法较多,可先证EDF= EDA+ ADF= EAD+ FAD= BAC ,再证夹这个角的两边成比例, 即=,也可证明 FED= EDB= B,同理 EFD=FDC= C,都可以证出DEF ABC 类型三、相像三角形的性质5 ABC DEF,如 ABC 的边长分别为 DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由 . 5cm、6cm、 7cm,而 4cm 是 DEF 中一边的长度,你能求出思路点拨： 因没有说明长 4cm 的线段是DEF 的最大边或最小边,因此需分三种情形进行争论 . 解： 设另两边长是 xcm,ycm,且 x<y. 1当 DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 5cm 线段是对应边时,有,从而 x= cm,y= cm. 2当 DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 6cm 线段是对应边时,有,从而 x=cm, y=cm. 3当 DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 7cm 线段是对应边时,有,_精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 从而 x=cm,y=cm. 综上所述,DEF 的另外两边的长度应是cm,cm 或cm,cm 或cm,cm 三种可能 . 总结升华： 肯定要深刻懂得“ 对应”,如题中没有给出图形,要特殊留意是否有图形的分类 . 6如下列图,已知ABC 中, AD 是高,矩形 EFGH 内接于ABC 中,且长边 FG 在 BC 上,矩形相邻两边的比为 1：2,如 BC=30cm ,AD=10cm. 求矩形 EFGH 的面积 . 思路点拨： 利用已知条件及相像三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽,从而求出矩形的面积 . 解： 四边形 EFGH 是矩形,EH BC, AEH ABC. AD BC, AD EH,MD=EF. 矩形两邻边之比为 1： 2,设 EF=xcm ,就 EH=2xcm. 由相像三角形对应高的比等于相像比,得,. EF=6cm, EH=12cm. . 总结升华： 解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的运算问题,常常利用相像三角形“ 对应高的比等于相似比” 和“ 面积比等于相像比的平方” 的性质,如图中没有高可以先作出高 . 举一反三【变式 1】 ABC 中, DE BC,M 为 DE 中点, CM 交 AB 于 N,如,求. 解： DE BC , ADE ABC M 为 DE 中点,DM BC , NDM NBC _精品资料_ =1：2. 第 12 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 总结升华： 图中有两个“” 字形,已知线段AD 与 AB 的比和要求的线段ND 与 NB 的比分别在这两个 “”字形,利用M 为 DE 中点的条件将条件由一个“” 字形转化到另一个“” 字形,从而解决问题. 类型四、相像三角形的应用7如图,我们想要测量河两岸相对应两点方案 1：如上左图,构造全等三角形,测量方案 2：A 、B 之间的距离 即河宽 ,你有什么方法？CD ,得到 AB=CD ,得到河宽 . 思路点拨： 这是一道测量河宽的实际问题,仍可以借用相像三角形的对应边的比相等,比例式中四条线段,测出了三条线段的长,必能求出第四条 . 如上右图, 先从 B 点动身与 AB 成 90° 角方向走 50m 到 O 处立一标杆, 然后方向不变, 连续向前走 10m 到 C 处,在 C 处转 90° ,沿 CD 方向再走 17m 到达 D 处,使得 A 、O、D 在同一条直线上那么 A、B 之间的距 离是多少？解： AB BC,CD BC ABO= DCO=90 °又 AOB= DOC AOB DOC BO=50m ,CO=10m ,CD=17m AB=85m 答： 河宽为 85m总结升华： 方案 2 利用了“. ” 型基本图形,实际上测量河宽有许多方法,可以用“” 型基本图形,借助相像；也可用等腰三角形等等第 13 页,共 18 页_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 举一反三【变式 1】如图：小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m1图中 ABC 与 ADE 是否相像 .为什么 . 2求古塔的高度解： 1 ABC ADE BCAE ,DE AE ACB= AED=90 ° A=A ABC ADE 2由1得 ABC ADE AC=2m ,AE=2+18=20m ,BC=1.6m DE=16m 答： 古塔的高度为 16m. 【变式 2】已知：如图,阳光通过窗口照耀到室内,在地面上留下 1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙 脚距离 CE=1.2m,窗口高 AB=1.8m ,求窗口底边离地面的高 BC？思路点拨： 光线 AD/BE ,作 EF DC 交 AD 于 F.就,利用边的比例关系求出 BC. 解： 作 EFDC 交 AD 于 F.由于 AD BE,所以又由于,所以,所以. _精品资料_ 由于 AB EF, AD BE,所以四边形ABEF 是平行四边形,所以EF=AB=1.8m. 第 14 页,共 18 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所以 m. 类型五、相像三角形的周长与面积8已知：如图,在ABC 与 CAD 中, DA BC,CD 与 AB 相交于 E 点,且 AE EB=1 2,EF BC 交AC 于 F 点, ADE 的面积为 1,求 BCE 和 AEF 的面积思路点拨： 利用 ADE BCE ,以及其他有关的已知条件,可以求出BCE 的面积ABC 的边 AB 上的高也是BCE 的高,依据AB BE=3 2,可求出ABC的面积最终利用AEF ABC ,可求出AEF的面积解： DA BC, ADE BCES ADE S BCE =AE2BE2AE BE=12,S ADE S BCE =14S ADE =1,S BCE=4S ABC S BCE =AB BE=3 2,S ABC =6EF BC, AEF ABC AE AB=1 3,S AEF S ABC =AE2AB2=19S AEF = =总结升华： 留意,同底 或等底 三角形的面积比等于这底上的高的比；同高 或等高 三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相像时,它们的面积比等于对应线段比的平方,即相像比的平方举一反三【变式 1】有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为 似比和面积比 . 1200 和 1500,求：甲地图与乙地图的相解： 设原地块为ABC ,地块在甲图上为A 1B1C1,在乙图上为A 2B 2C2. ABC A 1B 1C1 A 2B 2C2且,_精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - . 【变式 2】如图,已知：ABC 中, AB=5 ,BC=3 ,AC=4 ,PQ/AB , P 点在 AC 上与点 A、C 不重合 ,Q点在 BC 上1当 PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP 的长；2当 PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长；解： 1S PQC=S 四边形 PABQ